2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式專項講義（原卷版+解析）

第5講基本不等式

二^知識梳理

知識點1基本不等式

1、如果Q,Z?￡R,那么/+/22而(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號"=”)?

2222

證明：（。一人）220oa-2ab+b>0<^>a+b>2ab

推論：ab<（a.bGR）.

2

2、如果〃>0,b>0^\a-]-b>2y[ab,（當(dāng)且僅當(dāng)〃二b時取等號“="）.

a2+b22"）2

推論：ab<(^—)；

22

a2+b2>2ab成立的條件與等》夜成立的條件相同嗎？

提示:不同,a2+b2^2ab成立的條件是aCR,beR,而等》成立的條件是a>0,b>0

3、基本不等式相wg"

⑴設(shè)a>0,&>0,則處分的算術(shù)平均數(shù)為『一，幾何平均數(shù)為癰，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)

平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

(2)基本不等式成立的條件：。>0,本>0.

⑶等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=差時取等號.

?注：在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件.“一正”是說每個項都必須為正

值，“二定”是說各個項的和(或積)必須為定值.“三相等”是說各項的值相等時，等號成立.多次使用均值不

等式解決同一問題時，要保持每次等號成立條件的一致性和不等號方向的一致性.

4、幾個重要的不等式

la2+Z>2>2flZ>,a,BGR；

2§+號2,aZ?O;

當(dāng)且僅當(dāng)a=8時

3ab<,a,萬￡R；等號成立.

a2+b2僮+。\

4~^rA-rra'feGR

（5）-^-<^<^-<］J?^（a>0,b>0）.

ab

證明：由a+622j茄（a>0,6>0）,可得工+工2211-,即-茄（當(dāng)且僅當(dāng)a=人時等號成立）

abVab1.i

—I—

ab

拓展：（6）a>0,b>0,c>0則弓二，正比.

5、利用基本不等式求最值

已知x>0，j>0j則

⑴如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時Jx+y有最小值是2、份.（簡記：積定和最?。?/p>

⑵如果和x+y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，孫有最大值是］.（簡記：和定積最大）

6、基本不等式公式推導(dǎo)圖

而工立￡（a,beR,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時等號成立）

a2+b2>2abCa,beR,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立）

2

［（用8,、歷分別代換a?）

a+b>14ab（.a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b時等號成立）

注：為什么不是a120：

若a力至少一個為0時，不等式a+Z>之2J茄顯然成立，沒有研究的必要,,（"+"）工立￡Ca,beR,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時等號成立）

22

故一般規(guī)定a,b>0

苫之疝當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

2（a>0,Z>>0,a=Z>Q64（券）2（a,bcR,當(dāng)且僅當(dāng)Q=Z>時等號成立）

第二*

喜高頻考點

考點三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題考點一利用基本不等式比較大小

廠直接法

考點四基本不等式的實際應(yīng)用

基本不等式（-湊項

L配湊法一一湊系數(shù)

與函數(shù)的結(jié)合、

J分離

與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合一

-常數(shù)代換法

與平面向量的結(jié)合—考點五基本不等式的綜合應(yīng)用考點二利用基本不等式求最值

-消元法

與數(shù)列的結(jié)合-

一換元法

與解析幾何的結(jié)合

一重組轉(zhuǎn)化

J利用兩次基本不等式求最值

I基本根式與對勾函數(shù)

真題熱身

1.（2023?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

°404

A.=x*2*45+2x+4B.y=|sinx|H——；-----C.y=2x+22~xD.y=lruc-\------

Isinx|Inx

4.（2023?天津）已知a>0,b>0,貝!|工+二+6的最小值為

5.（2023?上海）已知函數(shù)/（幻=3"+1‘3>0）的最小值為5,貝!Ja=^.

2.（2023?上海）下列不等式恒成立的是C）

A.a?+Z?2,,2abB.+Z??...—2abC.Q+Z?..2ab|D.Q?+H,,—2ab

3.【多選】（2023?海南）已知a>0,b>Qf且a+〃=L則（）

A./+Z??..—B.2a-b>-

;22

D.y/u+y/b?yf2

C.log2a+log2b..—2

11Q

6.（2023?天津）已知a>0,Z?>0,且必=1,則一+—+的最小值為

2alba+b

7.（2023?江蘇）已知5//+,4=］（%?￡B，則<+>2的最小值是

8.（2023?上海）若x,yeR+,且工+2y=3,則上的最大值為

XX

9.（2023?天津）設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則色土嶼土衛(wèi)的最小值為

孫

考點精析

考點一利用基本不等式比較大小

解題方略:

畫面面耒不辱贏嬴示前廠商福后i［高薪詞M函

【例1-11【多選】（2023?湖南?模擬預(yù)測）已知。>0,>>0,且。+6=2,貝（J（）

11

A.T-b<4

a2+b2-2

C.lga+lgZ?<0D.-+->4

ab

【例1-2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知3。=5"=岳，則下列選項錯誤的是（）

A.a+b=2abB.ab>\

C.log2?+log2z?>0

【題組練透】

1、【多選】（2023?江蘇無錫?高三期末）已知e,v/vl，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2<b2B.-I—>2

ab

C.ab>b2D.1ga2<lg（6iZ?）

2、【多選】（2023?湖北嚼春縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測）若，>。力>。，且a+b=4,則下列不等式恒成立的

是（）

A.0<—<-B.-+->1

ab4ab

1

C.log24z+log2Z?<2D.9<-

a+b8

3、【多選】（2023?廣東汕尾?高三期末）已知e）都是不等于1的正實數(shù)，且〃>兒0<c<l,則下列不等式一

定成立的是（）

abcc

A.c>cB.a>b

C.loga>logbD.（?+Z?）（-+y）>4

ccab

考點二利用基本不等式求最值

解題方略:

（-）直接法

①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動型、和與平方和一定一動型.

積ab,和a+匕和平方和片+〃三者之間的不等式關(guān)系:

a+b

ab<(與與(aneR)

②需要注意的是驗證等號成立的條件，特別地，由基本不等式而W等，求最值時要求”一正、二定、三

相等”.

③轉(zhuǎn)化符號：若含變量的項是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值.

④乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值.

【例2-1］（2023?全國?模擬預(yù)測（文））若實數(shù)a,B滿足a+8=l,則而的最大值為（）

A.2B.1C.1D.-

24

【例2-2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)a）=4x+?x>0,a>0）在x=3時取得最小值，則a=

4

【例2-3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+—（尤<0）,則下列結(jié)論正確的是（）

X

A.有最小值4B.〃x）有最大值4C.有最小值TD.有最大值T

Q

【例2?4】（2023?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)y=1-2爐—卷的最大值是（）

A.7B.-7C.9D.-9

【題組練透】

1、（2023?安徽?高三期末（文））已知%>0,y>0,2x+y=3,則9"+3）的最小值為（）

A.27B.12百C.12D.673

2、（2023?江西?模擬預(yù)測（文））函數(shù)的最大值為________.

1+2tanxI3）

3、（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）若直線辦-勿-3=0（a>0*>0）過點（1,-1）,則而i+^的最大值為

（二）配湊法

將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.

⑴應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.

所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值,

“三相等”是指滿足笠號成立的條件.

⑵配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方

面的問題：

①配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；

②代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；

③拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.

d++「

（3）形如y二-----------的分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開

kx+m

A

再利用不等式求最值。即化為y=mg（x）+--------1-B（A>0,B>0）,g（x）恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基

g（x）

本不等式來求最值。

【例2-4］（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））函數(shù)尸無++（尤>-2）的最小值為（）

A.3B.2C.1D.0

【例2-5］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知則/（x）=4x-2+i±的最大值為.

【例2-6］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知0<x<l,則x（3—3x）取得最大值時x的值為（）

函數(shù)y=*+3x+3Q<T）的最大值為（）

【例2-7］（2023?全國?高三專題練習(xí)）

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【題組練透】

4

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）求函數(shù)y=x+—尤>1）的最小值及此時x的值；

x-1

丫2_yI1

2、（2023?上海?高三專題練習(xí)）若則函數(shù)"十的最小值為.

x-1

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃耳=匚生土2）在％=。處取最小值，則。=（）

x-2

A.1+5/5B.2C.4D.6

（三）常數(shù)代換法

（1）若已知條件中的“1”（常量可化為“1”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式

相乘模型），則實施“1”代換，配湊和或積為常數(shù).

模型1已知正數(shù)羽y滿足"+Z?y=1,求一+—的最小值。（〃>0力>0,m>0,〃>0）

xy

ah

模型2已知正數(shù)羽y滿足一+―=1,求初％+改的最小值。（a>0,b>0,m>0,n>0）

%V

（2）常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：

①根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；

②把確定的定值（常數(shù)）變形為1；

③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；

④利用基本不等式求解最值.

（3）有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細(xì)究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類

問題時，需要對條件和結(jié)論中的表達(dá)式進(jìn)行合理、巧妙的配湊與構(gòu)造;從而變形、構(gòu)造出和與倒數(shù)和的關(guān)系.

【例2-8］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知必>0,a+b=l,則工+，的最小值為（）

ab

A.0.5B.1C.2D.4

41

【例2-9］（2023?天津紅橋?一模）設(shè)。>0,b>l,若。+6=2,則一+「■的最小值為（）

ab-1

A.6B.9C.35/2D.18

【例2-10］（2023?全國?模擬預(yù)測）已知x，y為正實數(shù)，且2x+y=孫，則2x+y的最小值是（）

A.2B.4C.8D.16

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x>0,y>0,K-+-=2,則x+2y的最小值為_________

xy

41

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知乂丁都是正數(shù)，且x+y=2,則--+—的最小值為（）

x+2y+1

139

A.—B.2C.-D.3

155

3、（2023?安徽?南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））若實數(shù)6滿足24+匕=3卜>:/>[,則4+二的最小值

<2）2a-lb-\

為（）

A.6B.4C.3D.2

4、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a>0,b>0,a+b=2,則工+:的最小值為（）

ab

A.—1~25/2B.—Hy/2C.3*^^D.2'Ji

222

I9

5、（2023?四川?廣安二中模擬預(yù)測（理））已知a"為正實數(shù)，且a+b=6+±+J,則。+6的最小值為_______

ab

6、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若lVa<3,則工+」一的最小值為（）

a4—a

A.4B.3C.2D.1

（四）消元法

消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉(zhuǎn)化為只含有一

個變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式

求解.注意所保留變量的取值范圍

【例2-11]（2023?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實數(shù)a,b滿足ab+2a-2=0,則4a+b的最小值是

（）

A.2B.4亞-2C.473-2D.6

【題組練透】

12b

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)〃，6滿足±+b=l,則名的最大值為.

aa

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)x,y滿足孫+2x+y=4,則x+_y的最小值為

3、（2。23?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a,b滿足2"人血則―》最小值為（）

A.0B.2C.4D.6

（五）換元法

當(dāng)條件式中給出了“和“與“積”之間的關(guān)系時，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于

“和“或“積”的不等式，解此不等式即可求得“和“或“積”的最值.

【例2-12］（2023?遼寧?模擬預(yù)測）若a>0,6>0且2必=2a+b+3,則2a+6的最小值為.

【題組練透】

4a+〃

1、（2023?天津南開?一■模）若a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,則----+----的最小值為______

a+bc

（六）重組轉(zhuǎn)化

當(dāng)條件式或目標(biāo)式較為復(fù)雜、不易理清其結(jié)構(gòu)特點與內(nèi)在聯(lián)系時，可從拆分、合并等角度嘗試進(jìn)行

重組，注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，尋找條件式與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征及相互聯(lián)系.

【例2-13】（2023?天津?一模）已知正實數(shù)6,滿足3a+b=2,貝++力的最小值為.

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知a,6為非負(fù)數(shù)，且滿足2a+6=6,則（1+4）?+"）的最大值為

（）

167169

A.40B.一C.42D.一

44

2

2、（2023?浙江臺州?二模）已知正實數(shù)〃/滿足2a+b=2,貝!力的最大值為__________；a2+ab+a+b—--

ab

的最大值為.

3、（2023?河北保定?二模）已知a,Z?e（0,+oo）,且〃+3必+仍2=7,貝!|a+2Z?的最大值為（）

A.2B.3C.2A/2D.3亞

（七）利用兩次基本不等式求最值

在求解某些復(fù)雜一些的最值問題時，可能會需要連續(xù)多次使用基本不等式進(jìn)行放縮.此時，我們需要注

意兩點:一是由基本不等式進(jìn)行放或縮一定要考慮到不等號的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者

多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號成立的條件，只有多個等號能

夠同時成立時方可.

【例2-14】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,則2疝+2+工的最小值是（）

ab

A.2B.4C.4V2D.6

【題組練透】

12

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃*）=4'+彳+「可的最小值為（）

A.2夜B.2A/3C.4D.3亞

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）若a,bcR,ab>0,則斗，的最大值為（）

a+4b+1

A.-B.《C.2D.4

42

7,兒c均為正實數(shù)，則2曲譽的最大值為（

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））若,)

a+2b+c

A—B.：C.—D.立

22

（八）基本不等式與對勾函數(shù)

對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙

飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：f（x）=ax+-（aZ?>0）的函數(shù)；

X

對勾函數(shù)f（x）=ax+—當(dāng)awO,bw0時，對勾函數(shù)f（x）=ar+2是正比例函數(shù)/（%）=依與反

x%

比例函數(shù)/（%）=-“疊加”而成的函數(shù)；

X

（1）當(dāng)a7同號時，對勾函數(shù)/（乃=分+2的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)為如下圖所示：

（2）當(dāng)a,6異號時，對勾函數(shù)/（x）=ax+2的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示:

【例2-15】（2023?河南?模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（）

A.y=x2+2x+6B.J=lcosx|+---------

|COSXI

99

C.y=3x+—D.y=lnx+-----

3XInx

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)是（）

/(彳)=尤+工/(x)=e^+4

A.

Xe

r\f+3

C.f(x)=sinxd——--0<x<D.(

sinx

4

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=log2%+-——(xe[2,4])的最大值為

log2x

4、（2023?全國?高三專題練習(xí)）方程——依+4=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)有解求°的取值范圍;

考點三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題

解題方略:

H1蔡贏福莉福冠贏面一

觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍.

j2、求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法

:若不等式/（%X）NO（xeD）（2是實參數(shù)）恒成立，將〃%為20轉(zhuǎn)化為42g（x）或4Wga）（xe0恒成

1立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為22g⑺1mx或九三8⑺加乂工?。），求g（x）的最值即可.

【例3-1］（2023?浙江?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式X+3N4-3”對任意實數(shù)x>0恒成立，則實數(shù)。的

X

取值范圍為（）

A.{a\-l<a<4}B.{a\a<-2a>5}C.-1或壯4}D.［a\-2<a<5}

21

【例3-2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知%>0,>0,一+―=1,若x+2y>加之-2加恒成立，則實數(shù)相

xy

的取值范圍是（）

A,或機工一2B.根22或機K-4

C.—2<m<4D.-4<m<2

【例3?3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）若對任意x>0,2:?。恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（)

x+3x+l

【例3-4］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x,yG（0,-Ko）,且x+y=l,若不等式V+V+孫>口產(chǎn)〃恒

成立，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.f-pl'jB.-1,1C.（-2,1）D.卜鞏一T卜（1,+oo）

【例3-5】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程l°g/a-3，）=尤-2有解，則實數(shù)。的取值范圍為（）

3

A.⑵+00)B.[4,+oo)C.[6,+oo)D.[8,+“)

【題組練透】

9

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x>2,若1+—^>蘇-2機恒成立，則實數(shù)冽的取值范圍是（）

A.根W—2或m三4B.m<-4m>2

C.—2<m<4D.-4<m<2

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）對任意的正實數(shù)x。，不等式無+4y2加而恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是

A.(0,4]B.(0,2]C.(-8,4]D.(-00,2]

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知不等式（尤+y）—+—N9對任意正實數(shù)x,y恒成立，則正實數(shù)。的最

%y

小值為（

考點四基本不等式的實際應(yīng)用

解題方略：

利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的三個注意點

⑴設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

⑵根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

⑶在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解.

【例4-1]（2023?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）小李從甲地到乙地的平均速度為。，從乙地到甲地的

平均速度為優(yōu)。>6>0）,他往返甲乙兩地的平均速度為,，則（）

4Q+Z7I--

A.2B?v=yJab

C.<v<----D.b<v<y[ab

2

【例4-2］（2023?北京4（）1中學(xué)高三階段練習(xí)）已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量。（單位：件）

之間的關(guān)系為。=而。2+3000.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為。時的平均成本為/（。）（單位：元/件），則的

最小值是（）

A.30B.60C.900D.1800

【例4-3］（2023?湖北?一模）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32m2的矩形空地，并計

劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5m,各試驗區(qū)之間也空0.5m.

則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為m2.

【題組練透】

1、（2023?全國?高三專題練習(xí)）某入圍一個面積為32mz的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其

平面示意圖如下），墻高3m,新墻的造價為1000元/??,則當(dāng)X?。ǎr，總造價最低？（假設(shè)舊墻

足夠長）

/，//////////////////，，

*------------X------------->

A.9B.8C.16D.64

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社

交平臺也相繼入場，平臺用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不

覺間自我說服，然后引起消費行動.某廠家往年不與直播平臺合作時，每年都舉行多次大型線下促銷活動，

經(jīng)測算,只進(jìn)行線下促銷活動時總促銷費用為24萬元.為響應(yīng)當(dāng)?shù)卣酪哒?，決定采用線上（直播促銷）

線下同時進(jìn)行的促銷模式，與某直播平臺達(dá)成一個為期4年的合作協(xié)議，直播費用（單位：萬元）只與4

年的總直播時長x（單位：小時）成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺合作后該廠家每年所需的線下

促銷費C（單位：萬元）與總直播時長x（單位：小時）之間的關(guān)系為c=（x.O,左為常數(shù)）.記該

廠家線上促銷費用與4年線下促銷費用之和為y（單位：萬元）.

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該廠家直播時長x為多少時，可使y最??？并求出y的最小值.

3、（2023?全國?高三專題練習(xí)）近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷，美國對我國華為百般刁難，并拉攏歐美一些國

家抵制華為5G,然而這并沒有讓華為卻步.今年，我國華為某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2020

年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)x千

10X2+100x,0<x<40

部手機，需另投入成本R（x）萬元，且R"）=10000，由市場調(diào)研知，每部手機的售價

701.X+----------9450,x240

、x

為0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當(dāng)年能全部銷售完.

⑴求2020年的利潤W（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量了（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）.

（2）2020年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少.

考點五基本不等式的綜合應(yīng)用

解題方略：

求與其他知識交匯的最值問題的類型及策略

⑴應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式（或式子）變形，然后利用基本不等式求解.

⑵條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.

【例5-1］（2023?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)》=。修（。>0,。片1）的圖象恒過定點A,若點A在直線

mx+ny-l=O（nm>0）上，貝!J'的最小值為_______.

2mn

【題組練透】

1、（2023?內(nèi)蒙古?滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））函數(shù)〉=1。8“5-3）+1（。>。且。*1）的圖象恒過定

點p,若點尸在直線力吠+4-1=。上，其中m〃>0,則’+■'■的最小值為.

mn

2、（2023?天津?二模）已知k>g4（x+4y）=l+log2^/^,貝!|x+2y的最小值為.

3、【多選】（2023?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模）已知函數(shù)/（x）=|log2x|,且正實數(shù)。，6滿足/（。）+/（6）=1,

則下列結(jié)論可能成立的是（）

3

A.a=2bB.2?+2修的最大值為5

C.ab=2D.與+』的最小值為2應(yīng)

ab

（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合

【例5-2］（2023?安徽?蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,

已知6=2,S.2acosB-acosC=ccosA+a-b,貝!|一ABC面積的最大值是（）

A.也B.6C.2D.75

2

【題組練透】

1、（2023?全國?模擬預(yù)測）ABC中，ZABC=（內(nèi)角ABC所對的邊分別為"c,線段AC上的點。滿

足NABD=q,且怛￡>|=2,則2a+c的最小值為.

2、（2023?全國?高三專題練習(xí)）在.ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2acos3+c=0,貝!JtanC

的最大值是（）

A.1B.立C.空D.6

32

jr

3、【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知ABC三個內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且NC=§,

c=2,則（）

A.bcosA+acosB=^2B.ABC周長的最大值為6

uuuuum匕乙小、,4V3

C.胃的取值范圍為D.的最大值為2+」一

cosA、73

（三）與平面向量的結(jié)合

【例5-3］（2023?全國?模擬預(yù)測）在一ABC中，點F為線段上任一點（不含端點），若

,、12

AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,貝!+’的最小值為（）

A.9B.8C.4D.2

【題組練透】

1、（2023?安徽淮南?二模（理））已知平面向量"涉的夾角為60。，且|°+切=百，貝!J|a|+g|的最大值為

2、（2023?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（理））設(shè)e?是平面內(nèi)兩個不共線的向量，AB=e2,

21

AC=2bel-e2（a>0,b>0）,若A,B,。三點共線，則‘+g的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

3、（2023?甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點E是ABC的中線8。上的一點（不包括端點）.若

21

AE=xAB+yAC,則一+一的最小值為()

%y

A.4B.6C.8D.9

（四）與數(shù)列的結(jié)合

【例皿（2。23?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)2。，2是'與4〃的等比中項'則焉的最大值為，）

A。［B-I

。WD-I

【題組練透】

_,、11

1、（2023?河南?鶴壁高中模擬預(yù)測（文））設(shè)正項等差數(shù)列｛q｝的前幾項和為S〃，若邑013=2013,則一+——

“2”2012

的最小值為（）

A.1B.2C.4D.8

2、（2023?四川?模擬預(yù)測（理））已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項和，若％+%=6,55=S3+11,則好的

an1

最小值為（）

3、（2023?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模）正項等比數(shù)列｛4｝中，49,-出成等差數(shù)列，且存在兩項

*，。"（楊，"eN*）使得〃屋4=4%,則,+*的最小值是（）