2024-2025學年新教材高中數學第八章立體幾何初步8.5空間直線平面的平行8.5.3平面與平面平行習題含解析新人教A版必修第二冊

.5.3平面與平面平行課后篇鞏固提升基礎達標練1.(多選題)(2024安徽安慶檢測)設a,b是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在一個平面γ,滿意α∥γ,β∥γD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α解析對于選項A,若存在一條直線a,a∥α,a∥β,則α∥β或α與β相交.若α∥β,則存在一條直線a,使得a∥α,a∥β.所以選項A的內容是α∥β的一個必要條件而不是充分條件;對于選項B,存在一條直線a,a?α,a∥β,則α∥β或α與β相交.若α∥β,則存在一條直線a,a?α,a∥β.所以選項B的內容是α∥β的一個必要條件而不是充分條件;對于選項C,平行于同一個平面的兩個平面明顯是平行的,故選項C的內容是α∥β的一個充分條件;對于選項D,可以通過平移把兩條異面直線平移到其中一個平面γ中,成為相交直線,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,則α∥β,所以選項D的內容是α∥β的一個充分條件.答案CD2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若經過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E,F,則四邊形D1EBF的形態(tài)是()A.矩形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正方形解析如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,過D1B的平面BED1F與平面ABB1A1交于直線BE,與平面CDD1C1交于直線D1F.由面面平行的性質定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四邊形D1EBF為平行四邊形.答案C3.如圖,在三棱臺A1B1C1-ABC中,點D在A1B1上,且AA1∥BD,點M是△A1B1C1內的一個動點,且有平面BDM∥平面A1C,則動點M的軌跡是()A.平面 B.直線C.線段,但只含1個端點 D.圓解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,過D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(圖略),則點M的軌跡是線段DE1(不包括點D).答案C4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分別是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1解析易知GH∥D1C,因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行,所以BD1,GH不行能相互平行,故選項A錯誤;易知EF∥A1B,與選項A類似可推斷選項B錯誤;因為EF∥A1B,而直線A1B與平面ABCD相交,故直線EF與平面ABCD也相交,所以平面EFGH與平面ABCD相交,選項C錯誤;因為EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.答案D5.(2024遼寧大連模擬)已知直線l,m,平面α,β,下列命題正確的是()A.l∥β,l?α?α∥βB.l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥βC.l∥m,l?α,m?β?α∥βD.l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β解析如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB∥CD,則直線AB∥平面DC1,直線AB?平面AC,但是平面AC與平面DC1不平行,所以選項A錯誤;取BB1的中點E,CC1的中點F,則可證EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC與平面BC1不平行,所以選項B錯誤;直線AD∥B1C1,AD?平面AC,B1C1?平面BC1,但平面AC與平面BC1不平行,所以選項C錯誤;很明顯選項D是兩個平面平行的判定定理,所以選項D正確.答案D6.如圖是一幾何體的平面綻開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點,在此幾何體中,給出下面五個結論:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直線EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正確結論的序號是.

解析把圖形還原為一個四棱錐,然后依據線面、面面平行的判定定理推斷可知①②③④正確.答案①②③④7.如圖,P是△ABC所在平面外一點,平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,則=.

解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',從而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',.答案8.已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.證明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,依據平面與平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點.問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?解當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.證明如下.∵Q為CC1的中點,P為DD1的中點,∴QB∥PA.∵P,O分別為DD1,DB的中點,∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.10.如圖,四邊形ABCD為矩形,A,E,B,F四點共面,且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求證:平面BCE∥平面ADF.證明∵四邊形ABCD為矩形,∴BC∥AD,又BC?平面ADF,AD?平面ADF,∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,又BE?平面ADF,AF?平面ADF,∴BE∥平面ADF.又BC?平面BCE,BE?平面BCE,BC∩BE=B,∴平面BCE∥平面ADF.實力提升練1.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點是P,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則該截面的面積為()A.2 B.2C.2 D.4解析由題意作的截面如圖所示,易知該截面唯一,且E,F分別為AB,D1C1的中點.又因為正方體的棱長為2,所以A1E=CE=CF=FA1=,所以四邊形A1ECF為菱形.又因為A1C=2,EF=2,故截面面積為2.答案C2.(多選題)如圖是正方體的平面綻開圖,在這個正方體中,下列命題中,正確的有()A.BM∥平面DEB.CN∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF解析綻開圖可以折成如圖①所示的正方體.①②在正方體中,連接AN,如圖②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四邊形ABMN是平行四邊形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF,∴AB正確;③如圖③所示,連接NF,BE,BD,DM,CF,可以證明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,則平面BDM∥平面AFN,同理可證平面BDE∥平面NCF,所以CD正確.答案ABCD3.(多選題)α,β,γ為三個不重合的平面,a,b,c為三條不重合的直線,則下列命題中正確的是()A.?a∥b B.?a∥bC.?α∥β D.?α∥β解析對于A,由平行線的傳遞性可知,A正確;對于B,兩條直線都與同一個平面平行,則這兩條直線可能相交,也可能異面,故B不正確;對于C,兩個平面都與同一條直線平行,則這兩個平面可以平行,也可以相交,故C不正確;對于D,由面面平行的傳遞性可知平行于同一平面的兩個平面平行,故D正確.答案AD4.(2024江西吉安檢測)如圖,在多面體ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,則()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF解析如圖所示,取DG的中點M,連接AM,FM,則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形,∴DE∥FM,且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四邊形ABFM是平行四邊形,∴BF∥AM.又BF?平面ACGD,AM?平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故選A.答案A5.(2024山東東營模擬)已知a和b是異面直線,且a?平面α,b?平面β,a∥β,b∥α,則平面α與β的位置關系是.

解析在b上任取一點O,則直線a與點O確定一個平面γ.設γ∩β=l,則l?β.∵a∥β,∴a∥l,∴l(xiāng)∥α.又b∥α,∴依據面面平行的判定定理可得α∥β.答案平行6.(2024全國高一課時練習)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M,交BC于點N,則=.

解析由題意,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M,交BC于點N,則平面MNE∥平面ACB1,故有平面BB1C1C∩平面MEN=EN,則由面面平行的性質定理可得EN∥B1C,同理可得EM∥B1A.又∵E為BB1的中點,∴M,N分別為BA,BC的中點,∴MN=AC,即.答案7.如圖①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D為AP的中點,E,F,G分別為PC,PD,CB的中點,將△PCD沿CD折起,得到四棱錐P-ABCD,如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中,AP∥平面EFG.證明在四棱錐P-ABCD中,E,F分別為PC,PD的中點,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP?平面PAB,∴AP∥平面EFG.8.如圖,E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中點,求證:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明(1)取B1D1的中點O,連接GO,OB,易證OG∥B1C1,且OG=B1C1.因為BE∥B1C1,且BE=B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四邊形BEGO為平行四邊形.所以OB∥GE.因為OB?平面BDD1B1,GE?平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方體的性質,易知B1D1∥BD,且易證BF∥D1H.因為B1D1?平面BDF,BD?平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因為HD1?平面BDF,BF?平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024湖南高一月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F為AD的中點,E是線段PD上的一點.(1)若E為PD的中點,求證:平面CEF∥平面PAB;(2)當點E在什么位置時,PB∥平面ACE?(1)證明因為E,F分別為PD,AD的中點,所以EF∥PA.因為EF?平面PAB,PA?平面PAB,所以EF∥平面PAB.又因為AD=2