2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE2課時(shí)作業(yè)9等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，則a20＝(B)A．38 B．40C．－36 D．－38解析：∵an＋1＝an＋2，∴an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．∵a1＝2，∴a20＝2＋(20－1)×2＝40.2．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則cos(A＋C)＝(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以A＋C＝2B.又因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以A＋C＝eq\f(2π,3)，故cos(A＋C)＝－eq\f(1,2).3．等差數(shù)列的相鄰4項(xiàng)是a＋1，a＋3，b，a＋b，那么a，b的值依次為(A)A．2,7 B．1,6C．0,5 D．無法確定解析：∵d＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴(a＋b)－b＝a＝2，∴b＝(a＋3)＋2＝5＋2＝7.4．已知{an}是等差數(shù)列，a1與a2的等差中項(xiàng)為1，a2與a3的等差中項(xiàng)為2，則公差d＝(C)A．2 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1與a2的等差中項(xiàng)為1，a2與a3的等差中項(xiàng)為2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，兩式相減得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.5．在等差數(shù)列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相鄰兩項(xiàng)之間各插入一個(gè)數(shù)，使之成等差數(shù)列，則新等差數(shù)列的公差為(B)A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(6,7) D．－1解析：設(shè)原等差數(shù)列的公差為d，則8＋4d＝2，解得d＝－eq\f(3,2)，因此新等差數(shù)列的公差為－eq\f(3,4).6．已知數(shù)列{an}，a3＝2，a7＝1，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))為等差數(shù)列，則a11＝(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C．1 D．2解析：由已知可得eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(1,2)是等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的第3項(xiàng)和第7項(xiàng)，故其公差d＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),7－3)＝eq\f(1,24)，由此可得eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a7＋1)＋(11－7)d＝eq\f(1,2)＋4×eq\f(1,24)＝eq\f(2,3)，解得a11＝eq\f(1,2).二、填空題7．若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，則m與n的等差中項(xiàng)是3.解析：∵m和2n的等差中項(xiàng)為4，∴m＋2n＝8.又2m和n的等差中項(xiàng)為5，∴2m＋n＝10.兩式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.故m與n的等差中項(xiàng)為eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.8．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＝22，a6＝7，則a5＝8.解析：由條件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝22，,a1＋5d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.))∴a5＝12＋4×(－1)＝8.9．已知直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，則它們長(zhǎng)度的比等于345.解析：設(shè)這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a－d，a，a＋d，依據(jù)勾股定理，得(a－d)2＋a2＝(a＋d)2，解得a＝4d，于是這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是3d,4d,5d，即這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)的比是345.三、解答題10．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求{an}的通項(xiàng)公式．解：由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1·a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝d，,a\o\al(2,1)＋a1d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝0.))(舍去)∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時(shí)，求x100.解：(1)證明：xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，所以eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，所以eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且n∈N*)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3).所以eq\f(1,x100)＝eq\f(100＋5,3)＝35.所以x100＝eq\f(1,35).——實(shí)力提升類——12．一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起先為負(fù)數(shù)，則它的公差是(C)A．－2B．－3C．－4D．－6解析：設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d.則有a7＝23＋6d<0，a6＝23＋5d>0，－eq\f(23,5)<d<－eq\f(23,6)，又d是整數(shù)，所以d＝－4，選C.13．下列命題正確的是(C)A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列解析：因?yàn)閍，b，c為等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，故a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．14．在數(shù)列{an}中，a1＝3，對(duì)于隨意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則an＝3n2.解析：由題意，知eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)(n≥2)，∴數(shù)列{eq\r(an)}為以eq\r(3)為首項(xiàng)，eq\r(3)為公差的等差數(shù)列．∴eq\r(an)＝eq\r(3)＋(n－1)×eq\r(3)＝eq\r(3)n.∴an＝3n2(n＝1時(shí)也滿意此式)．15．在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)若λan＋eq\f(1,an)≥λ對(duì)隨意的n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解：(1)證明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).(3)λan＋eq\f(1,an)≥λ對(duì)隨意的n≥2恒成立，即eq\f(λ,3n－2)＋3n－2≥λ對(duì)隨意的n≥2恒成立，整理，得λ≤eq\f(3n－22,3n－3)對(duì)隨意的n≥2恒成立．令f(n)＝eq\f(3n－22,3n－3)，則f(n＋1)－f(n)＝eq\f(3n＋12,3n)－eq\f(3n－