2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§2.3數(shù)學(xué)歸納法[限時(shí)50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步應(yīng)驗(yàn)證A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4解析由題知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n＝3是否成立．答案C2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)＝2(eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n))時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還須要用歸納假設(shè)再證A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立解析因?yàn)橐阎猲為正偶數(shù)，故當(dāng)n＝k時(shí)，下一個(gè)偶數(shù)為k＋2.答案B3．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，假如當(dāng)n＝k(k∈N)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可推得A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立解析反證法．若n＝4時(shí)成立，則n＝4＋1也成立，與已知沖突，故n＝4不成立．答案C4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)＞eq\f(13,24)(n∈N＋)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊的改變狀況為A．增加eq\f(1,2（k＋1）)B．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)C．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，削減eq\f(1,k＋1)D．增加eq\f(1,2（k＋1）)，削減eq\f(1,k＋1)答案C5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次計(jì)算a2，a3，a4歸納推想出{an}的通項(xiàng)表達(dá)式為A.eq\f(2,4n－3) B.eq\f(2,6n－5)C.eq\f(2,4n＋3) D.eq\f(2,2n－1)解析a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，…，可推想an＝eq\f(2,6n－5)，故選B.答案B6．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(（k2＋3k＋2）＋k＋2)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．答案D二、填空題(每小題5分，共15分)7．設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．解析留意末項(xiàng)與首項(xiàng)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).答案eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)8．已知Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)，依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后可猜想Sn的表達(dá)式為________．解析S1＝eq\f(1,3)，S2＝eq\f(2,5)，S3＝eq\f(3,7)，S4＝eq\f(4,9)，猜想Sn＝eq\f(n,2n＋1).答案eq\f(n,2n＋1)9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由此可知對(duì)于任何n∈N＋，等式都成立．上述證明的錯(cuò)誤是________．解析本題在由n＝k成立，證n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符．答案未用歸納假設(shè)三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)證明：eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n)(其中n∈N＋)．證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝eq\f(1,2)，右邊＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＝1－eq\f(1,2k)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＝1－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＝1－eq\f(2－1,2k＋1)＝1－eq\f(1,2k＋1)＝右邊．所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．依據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任何n∈N＋都成立．11．(12分)求證：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)＞eq\f(5,6)(n≥2，n∈N＋)．證明(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＝eq\f(57,60)＞eq\f(5,6)，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＞eq\f(5,6).則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,（k＋1）＋1)＋eq\f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＝eq\f(5,6).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．由(1)、(2)可知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N＋都成立．12．(13分)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，設(shè)Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)．(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n≥6時(shí)，寫出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解析(1)Y6＝{1，2，3，4，5，6}，S6中的元素(a，b)滿意：若a＝1，則b＝1，2，3，4，5，6；若a＝2，則b＝1，2，4，6；若a＝3，則b＝1，3，6.所以f(6)＝13.(2)當(dāng)n≥6時(shí)，f(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n,3)))，n＝6t，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋1，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋2，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n,3)))，n＝6t＋3，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋4，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋5))(t∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝6＋2＋eq\f(6,2)＋eq\f(6,3)＝13，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k≥6)時(shí)結(jié)論成立，那么n＝k＋1時(shí)，Sk＋1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形探討：a．若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋eq\f(k－1,2)＋eq\f(k－2,3)＋3＝(k＋1)＋2＋eq\f(k＋1,2)＋eq\f(k＋1,3)，結(jié)論成立；b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋eq\f(k,2)＋eq\f(k,3)＋1＝(k＋1)＋2＋eq\f(（k＋1）－1,2)＋eq\f(（k＋1）－1,3)，結(jié)論成立；c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋eq\f(k－1,2)＋eq\f(k－1,3)＋2＝(k＋1)＋2＋eq\f(k＋1,2)＋eq\f(（k＋1）－2,3)，結(jié)論成立；d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋eq\f(k,2)＋eq\f(k－2,3)＋2＝(k＋1)＋2＋eq\f(（k＋1）－1,2)＋eq\f(k＋1,3)，結(jié)論成立；e．若k＋1＝6t＋4，則k＝6