2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE8-正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)(15分鐘35分)1.函數(shù)f(x)=cosQUOTE的周期為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.2π【解析】選C.(方法一：定義法)因?yàn)閒(x)=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=f(x+π)，即f(x+π)=f(x)，所以函數(shù)f(x)=cosQUOTE的周期T=π.(方法二：公式法)因?yàn)閥=cosQUOTE，所以ω=2.又T=QUOTE=QUOTE=π.所以函數(shù)f(x)=cosQUOTE的周期T=π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=sinQUOTE，x∈R的周期為_(kāi)______.

【解析】因?yàn)閟inQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE，由周期函數(shù)的定義知，y=sinQUOTE的周期為6π.答案：6π2.函數(shù)f(x)=sin(-x)是 ()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)【解析】選A.由于x∈R，且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).3.函數(shù)y=sinQUOTE(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ的值是 ()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】選C.由題意得sinφ=±1.因?yàn)棣铡蔥0，π]，所以φ=QUOTE.故選C.4.函數(shù)f(x)=xsinQUOTE ()A.是奇函數(shù) B.是非奇非偶函數(shù)C.是偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】選A.由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)=xsinQUOTE=xcosx，所以f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcosx=-f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).5.已知函數(shù)f(x)對(duì)于隨意x∈R滿意條件f(x+3)=QUOTE，且f(1)=QUOTE，則f(2020)=_______.

【解析】因?yàn)閒(x+6)=QUOTE=f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為6，故f(2020)=f(4)=QUOTE=2.答案：26.推斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=-2cos3x；(2)f(x)=xsin(x+π).【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x)，所以f(x)=-2cos3x為偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f(x)=xsin(x+π)=-xsinx，所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x).故為偶函數(shù).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.下列函數(shù)中最小正周期為π的偶函數(shù)是 ()A.y=sinQUOTE B.y=cosQUOTEC.y=cosx D.y=cos2x【解析】選D.A中函數(shù)是奇函數(shù)，B、C中函數(shù)的最小正周期不是π，只有D符合題目要求.2.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿意f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()【解析】選B.由x∈R，f(-x)=f(x)，得f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由f(x+2)=f(x)，得f(x)的周期為2.3.設(shè)函數(shù)f(x)=sinQUOTEx，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.0【解析】選A.因?yàn)閒(x)=sinQUOTEx的周期T=QUOTE=6，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=336sinQUOTE+sinQUOTEπ+sinπ+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ+sin2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sinQUOTE+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ=QUOTE.4.函數(shù)y=xcosx-sinx的部分圖象大致為 ()【解析】選C.函數(shù)y=f(x)=xcosx-sinx滿意f(-x)=-f(x)，又x∈R，則該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故解除B；當(dāng)x=π時(shí)，y=f(π)=πcosπ-sinπ=-π<0，故解除A；又因?yàn)閒(QUOTE)=QUOTEcosQUOTE-sinQUOTE=QUOTE<0，故解除D.【誤區(qū)警示】解決此類問(wèn)題時(shí)，留意不要看過(guò)題目后，就自己干脆畫圖，那樣難度是很大的，要想方法利用特別值、奇偶性，依據(jù)題目的選擇項(xiàng)等找尋答案.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+φ)以下說(shuō)法中，正確的是 ()A.對(duì)隨意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)B.存在φ，使f(x)是偶函數(shù)C.存在φ，使f(x)是奇函數(shù)D.對(duì)隨意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)【解析】選BC.因?yàn)閒(x)=sin(x+φ)，所以當(dāng)φ=0時(shí)，f(x)=sinx，是奇函數(shù)，當(dāng)φ=QUOTE時(shí)，f(x)=cosx是偶函數(shù).6.下列函數(shù)中，周期為π的是 ()A.y=sin2x B.y=cos(-3x)C.y=|sinx| D.y=|cos2x|【解析】選AC.對(duì)于選項(xiàng)A，依據(jù)公式T=QUOTE=π，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，依據(jù)公式T=QUOTE=QUOTEπ，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，D，畫出函數(shù)的圖象，即可立刻得到選項(xiàng)C是正確的，D是不正確的.三、填空題(每小題5分，共10分)7.若f(x)=cosx，則f(1+QUOTE)-fQUOTE=_______.

【解題指南】依據(jù)f(x)的解析式推斷函數(shù)的奇偶性，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn).【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE=f(-(1+QUOTE))=f(1+QUOTE)，所以f(1+QUOTE)-fQUOTE=f(1+QUOTE)-f(1+QUOTE)=0.答案：0【補(bǔ)償訓(xùn)練】f(x)=sinxcosx是_______(填“奇”或“偶”)函數(shù).

【解析】因?yàn)閒(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x)，即f(x)是奇函數(shù).答案：奇8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，且f(1)=1，則f(-35)=_______，f(5)=_______.

【解析】由于函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，則f(-35)=f(-35+6×6)=f(1)=1，f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1)=-1.答案：1-1四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，且x∈QUOTE時(shí)，f(x)=1-sinx，求當(dāng)x∈QUOTE時(shí)，f(x)的解析式.【解析】x∈QUOTE時(shí)，3π-x∈QUOTE，因?yàn)閤∈QUOTE時(shí)，f(x)=1-sinx，所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又因?yàn)閒(x)是以π為周期的偶函數(shù)，所以f(3π-x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)的解析式為f(x)=1-sinx，x∈QUOTE.10.已知函數(shù)y=QUOTEsinx+QUOTE|sinx|.(1)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？假如是，求出它的最小正周期.【解析】(1)y=QUOTEsinx+QUOTE|sinx|=QUOTE函數(shù)圖象如圖所示.(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象每隔2π重復(fù)一次，則函數(shù)的最小正周期是2π.1.方程cosQUOTE=QUOTE在區(qū)間(0，100π]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是 ()A.98 B.100 C.102 D.200【解析】選B.由于y=cosQUOTE=-sinx，所以在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=-sinx和y=QUOTE的圖象，由圖象知兩函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，因此所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2×QUOTE=100，故選B.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2，則f(99)=_______.

【解析】因?yàn)閒(x)·f(x+2)=13，所以f(x+2)=QUOTE，所以f(x+4)=QUOTE=QUOTE=f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(99)=f(3+4×24)=f(3)=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE2.推斷函數(shù)f(x)=lg(s