高一數學講義（人教A版2019）12集合間的基本關系（七大題型）

1．2集合間的基本關系目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 3【思維導圖】 3【知識點梳理】 3【典型例題】 4題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數問題 4題型二：韋恩圖及其應用 6題型三：由集合間的關系求參數的范圍 8題型四：集合間的基本關系 10題型五：判斷兩集合是否相等 13題型六：根據兩集合相等求參數 14題型七：空集的性質 16

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一．集合與集合的關系（1）一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為B的子集．記作：讀作：A包含于B（或B包含A）．圖示：（2）如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．記作：讀作：A等于B．圖示：知識點詮釋：（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）當不是的子集時，我們記作“（或）”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．知識點二．真子集若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集．記作：A?B（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）知識點三．空集不含有任何元素的集合稱為空集，記作：．規(guī)定：空集是任何集合的子集．結論：（1）（類比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若則（類比，則）（4）一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數為2n個，其真子集數為2n1個，特別地，空集的子集個數為1，真子集個數為0．【典型例題】題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數問題【典例11】（2024·江蘇南京·三模）集合的子集個數為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】由題意，得,故集合A子集個數為個.故選：D.【典例12】（2024·高一·廣東梅州·開學考試）集合的真子集的個數是（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】D【解析】由題可得：，所以集合的真子集個數為；故選：D【方法技巧與總結】（分類討論是寫出所有子集的方法）1、分類討論是寫出所有子集的有效方法，一般按集合中元素個數的多少來劃分，遵循由少到多的原則，做到不重不漏．2、若集合A中有n個元素，則集合A有個子集，有個真子集，有個非空子集，有個非空真子集，該結論可在選擇題或填空題中直接使用．【變式11】（1）寫出集合的子集和真子集．（2）寫出集合的所有子集和真子集．（3）寫出集合的所有子集和真子集．【解析】（1）子集：，；真子集：；（2）子集：，，，；真子集：，，；（3）子集：，，，，，，，；真子集：，，，，，，．【變式12】（2024·高一·福建泉州·階段練習）已知集合.(1)寫出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集數、真子集數和非空真子集數;(3)猜想:含n個元素的集合的所有子集的個數是多少?真子集的個數及非空真子集的個數呢?【解析】（1）由題意可知，所以其子集為：，真子集為；（2）由題意可知，所以其子集為：，共個，真子集為：，共個，非空真子集為：，共個；（3）由（1），（2）可猜想含有n個元素的集合其子集個數為個，真子集個數為個，非空真子集個數為個.【變式13】（2024·高一·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個數是個.故選：B.題型二：韋恩圖及其應用【典例21】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）下列表示集合和關系的Venn圖中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得．故選：C【典例22】（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】，又，所以?，選項B符合，故選：B.【方法技巧與總結】Venn是集合的又一種表示方法，使用方便，表達直觀，可迅速幫助我們分析問題、解決問題，但它不能作為嚴密的數學工具使用．【變式21】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習）下列表示集合和關系的Venn圖中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：由題意得，所以N是M的真子集．故選：B【變式22】（2024·高一·內蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={1，0}和N={x|x2x=0}關系的韋恩(Venn)圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡集合，判斷集合沒有包含關系，即可得出答案.，集合沒有包含關系故選：A題型三：由集合間的關系求參數的范圍【典例31】（2024·高一·上海楊浦·期中）已知集合，集合.(1)若，求實數的取值范圍(2)若，求實數的值【解析】（1）若，則，即實數的取值范圍為；（2）若，則即實數的值為2.【典例32】（2024·高一·上?！ふn堂例）已知集合，且，且.求實數k的取值范圍.【解析】因為，當，即時，，滿足條件；當，即時，有，解得，此時；綜上所述，實數的取值范圍為，故的范圍為.【方法技巧與總結】（根據集合之間關系，求參數的值或范圍）1、求解此類問題通常是借助于數軸，利用數軸分析法，將各個集合在數軸上表示出來，以形定數，同時還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“=”用實心點表示，不含“=”用空心點表示．2、涉及“A?B”或“A?B，且B≠?”的問題，一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應引起足夠的重視．【變式31】（2024·高一·上海·課堂例）已知集合，.是否存在實數，使得？若存在，求a的值；若不存在，說明理由.【解析】因為，，，所以1是的根，即，解得，當時，，符合，故存在，使得.【變式32】（2024·高一·江蘇南京·階段練習）已知，若，求a的取值范圍．【解析】①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得，將代入方程，得，解得，所以，符合要求；③若為雙元素集合，則，即，此時，即，解得；綜上所述，或.【變式33】（2024·高一·全國·專題練習）已知集合，．(1)若，求m的取值范圍．(2)若，求m的取值范圍．【解析】（1）若，如圖所示，則，解得，所以m的取值范圍為；（2）若，有和兩種情況，當時，，解得，當時，如圖所示，則，解得，綜上，m的取值范圍為．【變式34】（2024·高一·安徽馬鞍山·階段練習）已知集合，其中是關于的方程的兩個不同的實數根.(1)若，求出實數的值；(2)若，求實數的取值范圍.【解析】（1）因為，故，又的兩根分別為，故，故；（2）因為，故，又的兩根分別為，故，解得，故實數的取值范圍是.題型四：集合間的基本關系【典例41】（2024·高三·山西晉中·階段練習）下列關系中：①，②?，③，④正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①：因為0是的元素，所以，故①正確；對于②：因為空集是任何非空集合的真子集，所以?，故②正確；對于③：因為集合的元素為0，1，集合的元素為，兩個集合的元素全不相同，所以之間不存在包含關系，故③錯誤；對于④：因為集合的元素為，集合的元素為，兩個集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④錯誤；綜上所述：正確的個數為2.故選：B.【典例42】（2024·高一·全國·課前預習）已知是正數，是正整數，是實數，那么之間的關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】集合的關系如圖：故選：B.【方法技巧與總結】判斷兩個集合間的關系的關鍵在于：弄清兩個集合的元素的構成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的．這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數形集合表示）．【變式41】（2024·高三·河北唐山·階段練習）已知集合，則下列表述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由,得,所以，故C正確；對于A,故A錯誤；對于B,,故B錯誤；對于D,故D錯誤.故選：C.【變式42】（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】任取，則，，所以，所以，任取，則，，所以，所以，所以，任取，則，，所以，所以，又，，所以，所以，故選：C.【變式43】（多選題）（2024·高一·全國·專題練習）已知集合，，下列說法正確的是（

）A．不存在實數使得B．當時，C．當時，D．存在實數使得【答案】AD【解析】選項A：若集合，則有，因為此方程組無解，所以不存在實數使得集合，故選項A正確.選項B：當時，，不滿足，故選項B錯誤.若，則①當時，有，；②當時，有此方程組無實數解；所以若，則有，故選項C錯誤，選項D正確.故選：AD.題型五：判斷兩集合是否相等【典例51】（2024·高一·上?！るS堂練習）下列集合，，，中，有一個與眾不同的集合是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，，，只有B表示，其它A、C、D均表示，B與眾不同．故選：B【典例52】（2024·高一·寧夏石嘴山·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數，整數集B．，C．，D．，【答案】C【解析】A選項，整數中的元素是整數，整數集中的元素是整數集，故不是同一集合；B選項，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C選項，與都表示直線上的所有點，故是同一集合；D選項，中的元素是數1，2，中的元素是有序數對，故不是同一集合；故選：C.【方法技巧與總結】判斷兩集合是否相等，關鍵在于確認它們是否擁有完全相同的元素，即兩個集合中的每一個元素都能在另一個集合中找到，且元素的數量也相同。不考慮元素的排列順序，只關注元素的存在性和數量。若滿足這些條件，則兩個集合相等?！咀兪?1】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】A：根據集合元素具有無序性，則，故A正確；B：和是不同元素，故B錯誤；C：圖為中的元素是有序實數對，而中的元素是實數，所以C錯誤；D：因為中有兩個元素，即4，3，而中有一個元素，即，所以D錯誤.故選：A【變式52】（2024·高一·湖北宜昌·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】A選項：與不是同一個點，A選項錯誤；B選項：集合是點集，集合是數集，B選項錯誤；C選項：根據集合中元素的無序性可知，是同一個集合，C選項正確；D選項：集合是數集，集合是點集，D選項錯誤；故選：C.題型六：根據兩集合相等求參數【典例61】（2024·高三·湖南常德·階段練習）若集合，則．【答案】【解析】因為，可得，所以，當時，，顯然不成立；所以，解得或（舍去），所以.故答案為：.【典例62】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知集合A含有兩個元素1和2，集合B表示方程的解組成的集合，且集合A與集合B是同一個集合，則a＝；b＝．【答案】－32【解析】因為集合A與集合B是同一個集合，且，所以，即1，2是方程的兩個實數根，所以，解得.故答案為：，2【變式61】（2024·高一·上海嘉定·階段練習）已知集合，，若，則.【答案】【解析】依題意可知，由于，所以，此時，所以，解得或（舍去），所以.故答案為：.【變式62】（2024·高一·全國·競賽）已知，若集合，則.【答案】2【解析】因為，所以，于是可得或，由得，而無解，所以，所以=2.故答案為：2【變式63】已知集合，其中，若，則．【答案】【解析】，即，又，所以，解得，當時，，與元素的互異性矛盾，所以．時，符合要求，故答案為：【方法技巧與總結】根據兩集合相等求參數，關鍵在于利用集合相等的定義：兩個集合相等當且僅當它們擁有完全相同的元素。這意味著，我們可以通過比較兩個集合的元素，建立等式或不等式關系，進而求解參數。求解過程中，需要確保集合中的元素滿足相等條件，從而解出參數的值。題型七：空集的性質【典例71】（2024·高一·上海寶山·期中）已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據元素與集合、集合與集合關系：是的一個元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C【典例72】（2024·廣東·一模）下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A選項，的表示格式不對，元素與集合間用，不能用等號，故A不正確；對于B選項,正確，因為事任何集合的子集；對于C選項,因為事任何集合的子集,所以有，故C不正確；對于D選項,由于空集中沒有任何元素，所以事錯誤的，故D不正確，故選B.【方法技巧與總結】空集是特殊的集合，它不包含任何