浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題

2027屆實(shí)驗(yàn)班高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次不等式與根式的定義域求解，再取交集即可.【詳解】，，故.故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求解其共軛復(fù)數(shù)，最后求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】由題意，所以，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.3.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用必要不充分條件判斷即可.【詳解】若，取，，但是無(wú)意義，所以由“”推不出“”，若“”，則，所以可得，所以由“”可推出““，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖象對(duì)稱(chēng)性先探究函數(shù)的奇偶性，再由在區(qū)間上函數(shù)值的范圍可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故排除AB項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，又，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角差余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系建立等式求解，再由兩角和的余弦公式求解即可．【詳解】由已知可得，解得，，，，故選：D．6.已知，，，則的最小值為（）A B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】借助向量數(shù)量積公式及模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.7.設(shè)集合，且，函數(shù)（且），則（）A.為增函數(shù) B.為減函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上不是增函數(shù)，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上為增函數(shù)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，故D正確；故選：D.8.設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點(diǎn)，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】【分析】直接利用，，求出和的表達(dá)式，進(jìn)一步利用在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，通過(guò)分類(lèi)討論求出的值，進(jìn)而可得最大值.【詳解】由已知得，，，則，其中，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以，解得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)，成立；所以的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)條件將和都用整數(shù)表示出來(lái)，然后對(duì)的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABC：利用基本不等式化簡(jiǎn)整理求解即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)D：利用作差法判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，由基本不等式得，即，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，，即，由基本不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，又，得，所以，所以選項(xiàng)D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.10.若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A.角C可以為銳角 B.C.的最小值為 D.【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式對(duì)已知等式化簡(jiǎn)可得，即可判斷；選項(xiàng)B，由A和余弦定理，即可判斷；選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)論，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、正弦定理和余弦定理，可推出，從而可判斷；選項(xiàng)C，結(jié)合選項(xiàng)D的結(jié)論，再由三角形的內(nèi)角和定理與正切的兩角和公式，結(jié)合基本不等式，即可判斷．【詳解】解：∵，∴，即，∴，又，∴C一定為鈍角，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得，故選項(xiàng)B正確；∵，∴，故選項(xiàng)D正確；∵，∴，∵C為鈍角，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)，D.函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到，由周期性知A正確；根據(jù)得到2,0為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，知B錯(cuò)誤；利用可推導(dǎo)得到在時(shí)的解析式；結(jié)合可知C正確；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=fx，圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的方式可知D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)，，，，即，，即是以為周期的周期函數(shù)，，A正確；對(duì)于B，，∴fx圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，.的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱(chēng)，的定義域?yàn)椋?，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，由得：，的值域?yàn)?，則由得：，作出y=fx，的部分圖象，如圖所示，由圖可知，它們有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，，若，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意分析出hx的解析式，進(jìn)而作出的大致圖象，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，令，得，解得或；令，得，解得或；所以，又，，作出的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知的最大值為.故答案為：.13.已知函數(shù)，若對(duì)，總使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______________.【答案】【解析】【分析】判斷出在上的值域是在上的值域的子集，由此求出兩函數(shù)值域，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意可知在上的值域是在上的值域的子集，在上單調(diào)遞增，則其值域?yàn)?，即；在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，則，即且，解得，.故答案為：14.已知平面向量滿(mǎn)足，，與的夾角為，，則的最大值是_____________________.【答案】##【解析】【分析】由題意結(jié)合向量的加減可構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，利用正弦定理表示出，，，進(jìn)而可表示出，結(jié)合三角變換即可求得答案；另解，可用極化恒等式求解,【詳解】由知，作，，，則，，，所以四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為，半徑為，設(shè)，，在中由正弦定理得，則，，，要使取最大值，則為銳角，所以，則，（為輔助角，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值是.另解：極化恒等式：同方法1構(gòu)圖，取的中點(diǎn)，連接，由極化恒等式有，，由于，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取“=”.即的最大值是.故答案為：點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合題意，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D形，進(jìn)行結(jié)合正弦定理表示出響亮的數(shù)量積，再集合三角恒等變換，求出答案.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)的定義域?yàn)榧螧(其中，且).(1)當(dāng)時(shí)，求集合；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與根式函數(shù)的定義域求解集合,再求解即可.(2)由題可得,再利用區(qū)間端點(diǎn)列出不等式求解即可.【詳解】（1）由或,當(dāng)時(shí),由,,．（2）當(dāng)時(shí),若或,解得或,故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及集合間的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.16.在中，，，，為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿(mǎn)足，求的最小值，并求此時(shí)的．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將化為和表示，利用和的長(zhǎng)度和夾角計(jì)算可得結(jié)果；（2）用、表示，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)（靠近點(diǎn)），所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.17.兩社區(qū)和相距2km，現(xiàn)計(jì)劃在兩社區(qū)外以為直徑的半圓?。ú缓瑑牲c(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造口袋公園（如圖所示），其對(duì)社區(qū)的噪音影響度與所選地點(diǎn)到社區(qū)的距離有關(guān).口袋公園對(duì)社區(qū)的噪音影響度是所選地點(diǎn)到社區(qū)的距離的平方的反比例函數(shù)，比例系數(shù)為0.01；對(duì)社區(qū)的噪音影響度是所選地點(diǎn)到社區(qū)的距離的平方的反比例函數(shù)，比例系數(shù)為，對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為對(duì)社區(qū)和社區(qū)的噪音影響度之和.記點(diǎn)到社區(qū)的距離為，建在處的口袋公園對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)口袋公園建在半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為0.05.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓弧上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的口袋公園對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到社區(qū)的距離；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，當(dāng)該點(diǎn)到社區(qū)的距離時(shí)，袋公園對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小.【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根據(jù)反比例函數(shù)定義和已知條件可解得，即可寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)；（2）利用整體代換和基本不等式確定的最小值，驗(yàn)證等號(hào)成立時(shí)的取值是否符合題意，即可判斷得出結(jié)論并確定位置.【小問(wèn)1詳解】由為直徑可得，所以由題意可知，又當(dāng)口袋公園建在半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度為0.05，即時(shí)，，代入得，所以，即關(guān)于的函數(shù)為【小問(wèn)2詳解】口袋公園對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小，即的取值最小，由（1）知令，則可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；且，所以，即，此時(shí)，即，解得.因此，半圓弧上存在一點(diǎn)，且該點(diǎn)到社區(qū)的距離滿(mǎn)足時(shí)，建在此處的口袋公園對(duì)社區(qū)和社區(qū)的總噪音影響度最小.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的最小值；（2）記的面積為，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，證明：①；②.【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)得到，再由正弦定理和余弦定理，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.（2）設(shè)，，，，，的面積分別為，，，①由余弦定理和面積公式，即可化簡(jiǎn)得到.②由（1）中可得，得到，在，，中求得，，，得到，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理得，可得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）設(shè)，，，，，的面積分別為，，，①因?yàn)?，所以，又因，所?②由（1）中可得，所以，在，，中，同理可得：，所以，，，所以，即，所以.19.已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.（1）試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；（3）證明：對(duì)于的非空子集，集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.【答案】（1）不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分取到的三個(gè)元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2，兩種情況比較三個(gè)條件，即可判斷；（2）先根據(jù)性質(zhì)P確定集合B，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”；（3）先證明充分性，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，證明滿(mǎn)足性質(zhì)P的三個(gè)條件；再證明必要性，均屬于，即可證明.【小問(wèn)1詳解】集合不具有性質(zhì)，理由如下：（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿(mǎn)足條件③.（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，則有，即，不滿(mǎn)足條件②，綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).【小問(wèn)2詳解】由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，因?yàn)椴皇桥紨?shù)，所以不合題意.當(dāng)時(shí)，由，得，即，或，因?yàn)槭桥紨?shù)，不是偶數(shù)，所以不合題意.所以集合，令，解得，顯然，所以集合是集合的“期待子集”得證.【小問(wèn)3詳解】先證充分性：當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，不妨設(shè)，令，，，則，即滿(mǎn)足條件①，因?yàn)椋?，即滿(mǎn)足條件②，因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿(mǎn)足條件③，所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，集合具有性質(zhì).再證必要性：當(dāng)集合具有性質(zhì)，則中存在，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③偶數(shù).令，，，則由條件①得，由條件②得，由條