2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線，，若，則的值為（）A. B. C. D.或【正確答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：D.2.在下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大B.過點(diǎn)的直線方程都可以表示為：C.經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線方程都可以表示為：D.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【正確答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，截距式方程的適用范圍，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，傾斜角越大，斜率越大；當(dāng)時(shí)，不存在斜率；當(dāng)時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不可以用表示，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線，當(dāng)斜率等于零時(shí)，，，方程為，能用方程表示；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，方程為，能用方程表示，故C正確，對(duì)D：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知雙曲線上焦點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)位置可得標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得解.【詳解】因?yàn)橹p曲線的上焦點(diǎn)為，所以可化為，故.故選：D4.已知直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)，半徑以及圓心到點(diǎn)的距離的關(guān)系，求得圓心到直線的距離，再求切線長(zhǎng)距離的最小值即可.【詳解】圓，其圓心為，半徑r=1，則到直線的距離；設(shè)切線長(zhǎng)為，則，若最小，則取得最小值，顯然最小值為，故的最小值為，即切線長(zhǎng)的最小值為.故選：A.5.已知橢圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，整理化簡(jiǎn)求得，再結(jié)合離心率計(jì)算公式求解即可.【詳解】易知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)題意可得：，故可得或，又，故；則離心率.故選：D.6.直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn).若，則（）A. B.3 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線焦半徑公式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出弦長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，由，得，則，由，得，得，聯(lián)立解得，，所以.故選：C7.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，利用三角形的重心坐標(biāo)公式可得，將其代入可得結(jié)果.【詳解】分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，G點(diǎn)是三角形的重心則，得，又是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，，即，又G點(diǎn)是三角形的重心，所以點(diǎn)G的軌跡方程為故選：B8.已知過定點(diǎn)的直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，所有滿足條件直線的條數(shù)為（）A.11 B.20 C.21 D.22【正確答案】C【分析】先求出的范圍，找到為整數(shù)的條數(shù)即可.【詳解】由已知圓，得所以圓心為，半徑，且設(shè)定點(diǎn)為，易知在圓內(nèi)，當(dāng)與垂直時(shí)，，最小為當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大為故，即又因?yàn)椋?，長(zhǎng)為整數(shù)所以當(dāng)時(shí)，直線的條數(shù)各為兩條，當(dāng)時(shí)，直線的條數(shù)為一條，共條.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于曲線，下面說法正確的是（）A.若，曲線C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.若曲線是橢圓，則的取值范圍是C.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍是D.若曲線是橢圓且離心率為，則的值為或【正確答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】曲線，A選項(xiàng)，，，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若曲線是橢圓，則，解得且，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，曲線是橢圓且離心率為，，由B選項(xiàng)的分析可知且，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，解得；當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，解得，所以的值為或，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.已知兩圓方程為與，則下列說法正確的是（）A.若兩圓外切，則B.若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為，則D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則【正確答案】AB【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑.設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑..A選項(xiàng)，若兩圓外切，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)，滿足兩圓相交，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則或1B.不存在點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C.若直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率D.內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，由離心率求得，再結(jié)合雙曲線定義即可判斷；對(duì)于B，由即可判斷；對(duì)于C,結(jié)合雙曲線漸近線斜率即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合雙曲線定義即可【詳解】對(duì)于A，離心率為，解得：，則或1.又因?yàn)?，故A錯(cuò)；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，又，線段，聯(lián)立與雙曲線，整理得：，，矛盾，所以不存在點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，故B正確；對(duì)于C，由于雙曲線的漸近線斜率為，直線與雙曲線的兩支各有1個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率，故C正確；對(duì)于的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)，則由雙曲線定義得：，所以，即內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，所以D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.已知雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)漸近線、焦點(diǎn)以及求得.【詳解】依題意雙曲線的漸近線，由焦點(diǎn)得，由，解得.故13.已知橢圓的右焦點(diǎn)F，P是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，則的最大值是______.【正確答案】13【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由可知，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)且當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立．的最大值為，故答案為.14.寫出使得關(guān)于的方程組無解的一個(gè)的值為______.（寫出一個(gè)即可）【正確答案】，3，（寫出一個(gè)即可）【分析】根據(jù)方程組無解，討論其中一方程無解、兩方程表示的直線平行、一方程表示直線過，另一方程表示直線不過該點(diǎn)的情況得解.【詳解】顯然，當(dāng)時(shí)，不表示直線，無解，故方程組無解；當(dāng)時(shí)，由方程組可看作求兩直線（）與的交點(diǎn)，則方程組無解，即直線無交點(diǎn)，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時(shí)，過點(diǎn)，即，解得或，此時(shí)，不過點(diǎn)，方程組無解.綜上，的取值為.故，3，（寫出一個(gè)即可）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）已知，直線的斜率為，則直線的斜率為1，由，可得直線的方程，直線和直線交點(diǎn)為B，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入所在直線的方程可求出點(diǎn)C所在直線方程，聯(lián)立所在直線的方程，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，，所以直線的斜率為1，又因?yàn)?，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線的方程為，所以，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.16.已知圓.（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）已知點(diǎn)．則在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由．【正確答案】（1）或；（2）存在，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2,理由見解析【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，（2）由題意列式得軌跡方程，由圓和圓的位置關(guān)系求解，【小問1詳解】由題意圓C：，圓心，半徑，1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，符合題意；2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：即，則圓心C到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為即綜上，直線l的方程為或；【小問2詳解】假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)，則C：，又，即，P的軌跡是圓心為，半徑為3的圓.因?yàn)椋詧AC：與圓相交，所以點(diǎn)P個(gè)數(shù)為217.已知拋物線，過的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，．（1）求拋物線C的方程；（2）若F點(diǎn)是拋物線C的焦點(diǎn)，求的最小值．【正確答案】（1）（2）10【分析】（1）設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2（2）由（1）知，，而，化簡(jiǎn)后可求出其最小值【小問1詳解】由題意知，直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程得：，恒成立，設(shè)Ax1,y1，B又，即，所以，即，所以拋物線C的方程為．【小問2詳解】由（1）知：，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為10．18.已知雙曲線的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線的斜率為，求弦長(zhǎng)MN；（3）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）利用雙曲線的焦距、結(jié)合雙曲線方程求出值即可；（2）先求出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（3）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式，推理計(jì)算即得.【小問1詳解】由題意，雙曲線的焦距為，則，即，由，得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】依題意，直線的方程為，聯(lián)立，即，設(shè)，，則，，所以弦長(zhǎng)【小問3詳解】證明：依題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，即，則，且，，即，而，，所以為定值.19.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，為其左焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求△面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.【正確答案】（1）；（2）最大值為，此時(shí)直線l的方程.【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出a,b,c滿足的等量關(guān)系，求得a,b,c，則橢圓方程得解；（2）對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，在斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，即可表達(dá)出三角形面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求函數(shù)的最大值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意可得：，，又，解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①當(dāng)直線l斜率為零時(shí)，顯然不滿足題意；②直線