2024-2025學年高一年級上冊期末復習：集合與常用邏輯用語 十大題型歸納（基礎篇）（含答案）

2024學年高一上學期期末復習第一章十大題型歸納（基礎篇）

【人教A版（2019）］

判斷元素能否構成集合

1.（2023上?天津南開?高一統(tǒng)考期中）下列給出的對象能構成集合的有（）

①某校2023年入學的全體高一年級新生；②魚的所有近似值；

③某個班級中學習成績較好的所有學生；④不等式3*-10<0的所有正整數(shù)解

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2023?高一課時練習）下列各組對象的全體能構成集合的有（）

（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學書中所有的難題；（3）平方后等于負數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學

生身高在1.7米的學生；（5）平面內到線段A8兩端點距離相等的點的全體.

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.（2023?江蘇?高一專題練習）考察下列每組對象能否構成一個集合.

（1）不超過20的非負數(shù)；

（2）方程/-9=0在實數(shù)范圍內的解；

（3）某班的所有高個子同學；

（4）8的近似值的全體.

4.（2023?高一課時練習）下列研究對象能否構成一個集合？如果能，采用適當?shù)姆绞奖硎舅?

（1）小于5的自然數(shù)；

（2）某班所有個子高的同學；

（3）不等式2x+l>7的整數(shù)解.

題型2卜判斷元素與集合的關系

1.(2023上?湖北?高一校聯(lián)考期中)下列關系中不正確的是()

1

A.0GNB.ngRC.jeQD.-3gN

2.(2023上?上海楊浦?高一?？奸_學考試)若用={%|%=。魚+瓦。€2為€2},則下列結論中正確結論

的個數(shù)為()

②ZcM；

③若%1，%2WM,則％1+%2GM；

④若％i，%2eM且％2。。，則生eM；

X2

⑤存在Xe"且XeZ,滿足X-2022eM

A.2B.3C.4D.5

3.(2023上?北京順義?高一?？茧A段練習)已知4={x|x=3k,keZ},B=[x\x=3k+l.keZ].

(1)判斷3,5是否在集合A中，并說明理由；

(2)判斷6m-2(zneZ)是否在集合2中，并說明理由；

(3)若ae4beB,判斷a+6是否屬于集合8,并說明理由.

4.(2023上?高一課時練習)設集合S中的元素全是實數(shù)，且滿足下面兩個條件:

①1任S；②若a6S,則一一eS.

1-a

(1)求證：若aWS,貝!J1—6S；

a

(2)若2ES,則在S中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素.

相等問題oI

1.(2023上?河北?高一校聯(lián)考階段練習)已知集合”={(1,0)},則下列與M相等的集合個數(shù)為()

①{(”)北芯2}

②{(%,y)Iy=Vx-1+Vi-x]

③卜Ix=(T；T,nGN}

?{x|—1<x<2,x6N}

A.0B.1C.2D.3

2.(2023上?上海浦東新?高一?？计谀?設Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+b&,a,beQ,x40},在下列

集合中；

(1){y\y=2x,xEX]；(2){y\y=-^=,xEX}；(3){y\y=^,xEX}；(4){y\y=x2,xEX}；與X相同

的集合有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.(2023上?高一課時練習)判斷下列集合4、B是否表示同一集合，若不是，請說明理由.

(1)4={2,4,6},B={4,2,6}；

(2)4={(2,3)},B={(3,2)}；

(3)4={x\x>3},B={t\t>3}；

(4)4={y\y=2x,xER},B={(居y)|y=2x,xeR).

4.(2023上?高一課時練習)已知集合/={a,,1},B={a2,a+b,0},若Z=求彥。21+52022的值.

題型44集合間關系的判斷

1.(2023上?福建三明?高一?？茧A段練習)若集合A={x\x=2fc+l,fc￡Z},B={x\x=2k-l,kEZ},

C={x|x=4k-l,k6Z},則的關系是()

A.CA^BB.AQCQB

C.A=BCD.BQAQC

2.(2023?江蘇?高一專題練習)已知集合4=口,a},8={1,2,3},那么()

A.若a——3,則4￡BB.若4UB,則a=3

C.若a=3,則4cBD.若則a=2

3.(2022.高一課時練習)判斷下列每對集合之間的關系：

(1)X={x\x=2k,keN},B={y\y=4m,m￡N}；

(2)C={1,2,3,4},D={x|x是12的約數(shù)};

(3)E={x\x-3<2,x6N+},F={1,2,3,4,5}.

4.(2023?江蘇?高一假期作業(yè))指出下列各對集合之間的關系.

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

(2)A={x[—l<x<4},B={x|x—5<0}；

(3)A={x|尤是等邊三角形},8={x|x是等腰三角形};

(4)Af={x|x=2?-bwGN*},N={x\x=2n+\,〃dN*}；

(5)A={x|尤=2a+36,aGZ,bGZ},B—{x\x—4m—3n,mRZ,wdZ}.

一\集合的基本運算

1.(2023上?江西?高三校聯(lián)考期中)集合4={neZ|看CZ},B=N,則4CB=()

A.{-1,0,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)設全集U={x\xH2k,kGZ},集合M={x\x=4k,kGZ},則QM=

A.{x\x=4fc—1,fceZ}B.{x\x=4fc—2,fcGZ}

C.{x|x=4/c—3,/cGZ}D.{x|x=4/c,fc￡Z)

3.(2023上?新疆伊犁?高一校聯(lián)考期中)已知集合4={x|x2—3x—4<0},B={x|a+l<;c<3a+l}.

(1)當a=2時，求4UB；

(2)若4C8=B,求a的取值范圍.

4.（2023上?江蘇南京?高一金陵中學?？计谥校┮阎?={久|5WxW7},B={x\m+1<x<2m-1}.

（1）當爪=3時，求AUB和AnB；

（2）若4C8=0,求實數(shù)機的取值范圍.

圖表達集合的關系和運算。

1.（2023上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中）已知集合3=R,集合4={0,1,2,3},8={X|X>1},則圖中陰影部

分所表示的集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}

3.（2023上?云南昆明?高一?？茧A段練習）已知全集U為實數(shù)集，集合力={幻-1<久<6},B=

{x\a+l<x<3a—1].

(1)若。=4,求圖中陰影部分的集合M；

(2)若BU4,求實數(shù)a的取值范圍.

4.(2023上?四川南充?高一?？茧A段練習)設全集U=R,集合4={x|-2<x<6},B={x\xW—5或x23}.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；

(2)已知集合。={幻10-?！垂?lt;2a+l},若(CuB)cC=0,求a的取值范圍.

判斷命題的真假O|

1.(2023上?上海?高一?？计谥?已知命題：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，給出下列命

題，其中真命題的個數(shù)是()

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；

③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2C.3D.4

2.(2023上?上海閔行?高一校聯(lián)考期中)下列命題中：

①關于x的方程—2x+3=。是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x>3,那么久>0；

④兩個實數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個數(shù)都是有理數(shù).其中是真命題的有（）

A.①②③B.②③C.②③④D.①②④

3.（2023?全國?高一課堂例題）判斷下列語句哪些是命題，是真命題還是假命題.

（l）x>0；

（2）等腰三角形兩底角相等；

（3）若a,b是任意實數(shù)且a?>則口>》.

4.（2023上?高一課前預習）把下列命題改寫成“若p,則/的形式，并判斷命題的真假.

（1）偶數(shù)不能被2整除；

（2）當|a—1|2+\b-1|2=。時，a=b=1；

（3）兩個相似三角形是全等三角形.

充分條件、必要條件及充要條件的判定

1.（2023上?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）己知XCR,若集合M={l,x},1={1,2,3},則“x=2”是“MUN”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023上?河南南陽?高一校聯(lián)考期中）已知a,beR,則下列選項中，使a+6<0成立的一個充分不必要

條件是（）

A.a>。且b>0B.a<0且b<0C.a>0且b<0D.a<0且b>0

3.（2023?江蘇?高一專題練習）判斷下列各題中p是q的什么條件.

（l）p:ab>0,q:a,b中至少有一個不為零；

(2)p:x>1,q\x>0；

(3)p:4C\B=A,q:CuB￡QuA.

4.(2023?江蘇?高一專題練習)指出下列各題中，p是q的什么條件:

⑴P：數(shù)a能被6整除，q:數(shù)a能被3整除；

(2)p:|x|>1,q-.x2>1；

(3)p:△ABC有兩個角相等，q:△ABC是正二角形；

(4)p:\ab\=ab,q:ab>0.

全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

1.(2023上?遼寧鞍山?高一期中)下列命題中為真命題的是()

A.pi：3x6/?,x2+1<0

B.P2：V%ER，%4-|x|>0

C.p3:VxEZ,\x\GN

2

D.p4:3%6/?,%—7%+15=0

2.(2023?江蘇?高一專題練習)下列命題中的假命題是()

A.Vx6R,4-1>0B.Xfx6R,>—%

C.3x￡R,|x|<1D.3%￡R,A+1=2

kl

3.(2023?江蘇?高一專題練習)判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題:

(1)凸多邊形的外角和等于360。；

(2)有的速度方向不定；

(3)對任意直角三角形的兩銳角N4NB,都有乙力+NB=90°.

4.（2023上?江西宜春?高一?？奸_學考試）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真

假.

（1）至少有一個整數(shù)，既能被11整除，又能被9整除；

（2）Vx￡R,%2—4%+6>0；

（3）3%6N*,使x為29的約數(shù)；

（4）VxeN,x2>0.

命題的否定。I

1.（2023上?四川南充?高二?？计谀┟}叼曲>0,-詔+2通-1>?！钡姆穸椋ǎ?/p>

A.3%>0,—X2+2%—1<0B.3%<0,—%2+2%—1<0

C.Vx>0,—x2+2x—1<0D.Vx>0,—x2+2x-1>0

2.（2023上?安徽合肥?高一校聯(lián)考期末）命題“VxeN,久32/，，的否定形式是（）

A.\fxEN,%3<x2B.BxEN,x3>x2

C.BxGN,x3<x2D.BxEN,x3<x2

3.（2023上?北京大興?高一統(tǒng)考期末）已知命題p:VxeR,久2+2乂+1>0.

⑴寫出命題〃的否定；

（2）判斷命題p的真假，并說明理由，

4.（2023上?陜西西安?高二校考期末）判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定，并

說出這些否定的真假，不必證明.

(1)末尾數(shù)是偶數(shù)的數(shù)能被4整除；

(2)對任意實數(shù)無，都有一-2%-3<0；

(3)方程/-5乂-6=。有一個根是奇數(shù).

高一上學期期末復習第一章十大題型歸納（基礎篇）

【人教A版（2019）］

判斷元素能否構成集合

1.（2023上?天津南開?高一統(tǒng)考期中）下列給出的對象能構成集合的有（）

①某校2023年入學的全體高一年級新生；②魚的所有近似值；

③某個班級中學習成績較好的所有學生；④不等式3*-10<0的所有正整數(shù)解

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】根據(jù)集合的定義判斷即可.

【解答過程】對于①：某校2023年入學的全體高一年級新生，對象確定，能構成集合，故①正確；

對于②：魚的所有近似值，根據(jù)精確度不一樣得到的近似值不一樣，對象不確定，故不能構成集合，故②

錯誤；

對于③：某個班級中學習成績較好是相對的，故這些學生對象不確定，不能構成集合，故③錯誤；

對于④：不等式吩-10<0的所有正整數(shù)解有1、2、3,能構成集合，故④正確；

故選：B.

2.（2023?高一課時練習）下列各組對象的全體能構成集合的有（）

（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學書中所有的難題；（3）平方后等于負數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學

生身高在1.7米的學生；（5）平面內到線段兩端點距離相等的點的全體.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解題思路】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.

【解答過程】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能

組成集合.

故選：C.

3.（2023?江蘇?高一專題練習）考察下列每組對象能否構成一個集合.

（1）不超過20的非負數(shù)；

⑵方程比2—9=0在實數(shù)范圍內的解；

（3）某班的所有高個子同學；

（4）次的近似值的全體.

【解題思路】根據(jù)集合的定義和特征依次判斷即可.

【解答過程】（1）對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負數(shù)”，所以能構成集合.

（2）方程/-9=0在實數(shù)范圍內的解是久=3或％=-3,所以方程能構成集合.

（3）“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合.

（4）“舊的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構成

集合.

4.（2023?高一課時練習）下列研究對象能否構成一個集合？如果能，采用適當?shù)姆绞奖硎舅?

（1）小于5的自然數(shù)；

（2）某班所有個子高的同學；

（3）不等式次+1>7的整數(shù)解.

【解題思路】（1）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合；

（2）根據(jù)集合元素的確定性進行判斷即可；

（3）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合.

【解答過程】（1）小于5的自然數(shù)為0、1、2、3、4,元素確定，所以能構成集合，且集合為{0,1,2,3,4}；

（2）個子高的標準不確定，所以集合元素無法確定，所以不能構成集合；

（3）由2%+1>7得x>3,因為x為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，

所以用描述法表示為{幻%>3,%GZ}.

題型2一判斷元素與集合的關系。|

1.（2023上?湖北?高一校聯(lián)考期中）下列關系中不正確的是（）

1

A.0GNB.TtgRC.j6QD.-3gN

【解題思路】根據(jù)常見的數(shù)集及元素與集合的關系判斷即可.

【解答過程】因為N為自然數(shù)集，所以06N,-3CN,故A、D正確；

R為實數(shù)集，所以ireR,故B錯誤；

Q為有理數(shù)集，所以26Q,故C正確；

故選：B.

2.（2023上?上海楊浦?高一?？奸_學考試）若用={%|久=?；?匕,￡1€2/62},則下列結論中正確結論

的個數(shù)為（）

②Z￡M；

③若%1，%2EM，則久1+%2eM；

④若%L%26M且第2。0，則包EM；

X2

⑤存在XeM且％eZ,滿足X-2022eM

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】利用集合的特征性質對選項進行判斷.

(解答過程]若M-[x\x-ay/2+b,aeZ,beZ],

對于①，-4T==3+2V2￡M,①正確；

3-2V2

對于②，當?shù)?。/+€Z,bEZ中a=0時，xEZ,所以ZUM,②正確；

對于③，若不妨設%i=+仇冷=+d,

則％1+切=(a+c)+b+d,a+cEZ,b+dcZ,所以汽1+%2CM,③正確；

對于④，若%i，%2EM且％200，七'EM不正確，例如％1=2,第2=3，—=-gM,④不正確；

%2%23

對于⑤，存在XCM且X《Z,滿足X-2O22CM,

例如久=3-2V2GM,刀-1=3+2V26M,j=匕+12&GM,

若％-71=aV2+bEM(,nEN*),貝卜-何+1)=(aV2+b)(3+2&)=(3a+2b)/+3b+4aEM,

故X-2022eM,⑤正確.

①②③⑤正確.

故選：C.

3.(2023上?北京順義?高一?？茧A段練習)已知4={%|x=3k,keZ},B={x\x=3k+l,keZ).

(1)判斷3,5是否在集合A中，并說明理由；

(2)判斷6zn-2QneZ)是否在集合8中，并說明理由；

(3)若ae4bGB,判斷a+6是否屬于集合8,并說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)集合A中元素的特征判斷求解；

(2)根據(jù)集合8中元素的特征判斷求解；

(3)設a=3p,peZ,b=3q+l,qEZ,進而根據(jù)集合B中元素的特征判斷求解.

【解答過程】(1)：3=3xl,；.3在集合A中，

令3k=5,則k=|《Z,故5不在集合A中.

(2)6m-2=3(2m-1)+1,且2nl-1GZ,故6爪-2(meZ)在集合B中.

(3)設a=3p,peZ,b—3q+1,qGZ,

則a+b=3(p+q)+l,p+qEZ,

所以a+b屬于集合8.

4.(2023上?高一課時練習)設集合S中的元素全是實數(shù)，且滿足下面兩個條件:

①1￡S；②若aES,則ES.

l-a

(1)求證：若aES,貝—6S；

CL

(2)若26S,則在S中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素.

【解題思路】(1)根據(jù)集合S中元素的性質，循環(huán)迭代即可得出證明；

(2)由2eS可得一les,由一les可得ges,由|es可得2es,由此可知會循環(huán)出現(xiàn)2,-1祗三個數(shù)，所

以集合S中必含有-兩個元素.

【解答過程】(1)證明：因為1《S,所以1—a力。，由aeS,則^—eS,

l-a

可得3es,即-i-=二=1一三es,

1---1-------aa

l-al-a

故若aES,貝！J1—工€S.

a

(2)由2€S,得—=-1€S；

1—2

由—1es,得；=jEs；

而當工es時，--y=26s,...j

21——

2

因此當2GS時，集合S中必含有-1J兩個元素.

集合相等問題。I

1.(2023上?河北?高一校聯(lián)考階段練習)已知集合”={(1,0)},則下列與M相等的集合個數(shù)為()

①{(“)1儲箕力

②{(%,y)Iy=V%-1+Vi-%}

③{%|X=T,九GN}

@{x|—1<x<2,%6N)

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】解方程組可化簡①，由偶次根式有意義可計算②，分別研究〃為奇數(shù)、〃為偶數(shù)可計算③，由

N定義可得④，依次判斷即可求得結果.

【解答過程】對于①，|(x,y)?；二：［={(1，。)}=M；

對于②，{(x,y)Iy=V%-1+71-x}中{;_；］解得％=1>故{(x,y)Iy=Vx-1+V1-x}=

{(1,0))=M；

對于③，當“為奇數(shù)時，”=—1；當〃為偶數(shù)時，％=0,

所以{xI%=eN}={-1,0}豐M；

對于④，{%I—1<x<2中eN}={0,1}豐M.

所以與M相等的集合個數(shù)有2個.

故選：C.

2.(2023上?上海浦東新?高一?？计谀?設Q是有理數(shù)，集合X={久氏=a+b&,a,6eQ,K力0},在下列

集合中；

(1){y\y=2x,xeX}；(2){y\y=eX}；(3){y\y=1,xeX］；(4){y\y=x2,xGX}；與X相同

的集合有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解題思路】將x=a+6企分別代入(1)、(2)、(3)中，化簡并判斷p,q與a,b是否一一對應，再舉反

例判斷⑷.

【解答過程】對于(1),由2(a+b&)=p+勺魚，得p=2a,q=2b,一—對應，貝l|{y|y=2x,xeX}=X

對于⑵,由'薩=b+(e=p+qdL得p=d,q=$---對應，貝U{y|y=/,xeX}=X

對于(3)，由高=—+(一占)?&=P+q/，得「==急7,一一對應，則{y|y=e

X}=X

對于(4),-1-V2eX,但方程-1一&=%2無解，貝lj{y|y=/,%€X}與X不相同

故選：B.

3.(2023上?高一課時練習)判斷下列集合/、8是否表示同一集合，若不是，請說明理由.

(1M=億4,6},B={4,2,6}；

(2)4={(2,3)},B={(3,2)}；

(3)4={x\x>3},B={t\t>3}；

(4)2={y\y=2x,xER},B={(%,y)|y=2x,xER).

【解題思路】根據(jù)集合相等的概念，逐項判斷即可.

【解答過程】(1)4={2,4,6},8={4,2,6}元素一樣，是同一集合；

(2)(2,3),(3,2)表示不同的點，故4={(2,3)},B={(3,2)}集合不同

(3)A=(x\x>3},B={t|t>3}表示的范圍相同,是同一集合

(4)不是同一集合，力是數(shù)集，B是點集.

4.(2023上?高一課時練習)已知集合4=卜,\1},B={a2,a+b,0},若4=B,求。2。21+爐。22的值.

【解題思路】結合4=B,尋找元素的對應關系，a=0顯然不成立，故只能b=0,化簡集合4B,解得參

數(shù)a即可求解。2。21+爐。22的值.

【解答過程】因為4=B,集合B中有一元素為0,a=0顯然不成立，故只能b=0,此時4={a,0,1},B=

{a2,a,0},故滿足卜解得a=—l,

(.a豐a

經(jīng)檢驗力=B=[-1,0,1),

故a?。？】+b2022=(—1)2021+02022=—1

題型4-集合間關系的判斷

1.(2023上?福建三明?高一?？茧A段練習)若集合4={x|x=2k+l,keZ},B={x\x=2k-l,ke7.},

C={%|x=4fc-l,/c￡Z},則4B,C的關系是()

A.CA=BB.AQCQB

C.A^BCD.BQAQC

【解題思路】根據(jù)集合的表示含義即可得到答案.

【解答過程】已知力=[x]x=2(fc+1)-l,fceZ},B={x\x=2fc-1,/ceZ},C={x\x=2-2fc-1,fc6Z},

顯然k,k+l可表示整數(shù)，而2k只能表示偶數(shù)；所以C4=8.

故選：A.

2.(2023?江蘇?高一專題練習)已知集合2={1,a},B={1,2,3},那么()

A.若a——3,則4￡BB.若力￡B,貝！|a=3

C.若a=3,則4CBD.若則a=2

【解題思路】求出集合A判斷AC；利用集合包含關系求出a判斷BD.

【解答過程】當a=3時，A={1,3},顯然2UB,A正確，C錯誤；

由AUB,得aeB,而aHl,因此a=2或a=3,BD錯誤.

故選：A.

3.(2022?高一課時練習)判斷下列每對集合之間的關系：

(1)X={x\x=2k,keN},B={y\y=4m,m￡N}；

(2)C={1,2,3,4},D={久|久是12的約數(shù)};

(3)E={x\x-3<2,xGN+},F={1,2,3,4,5}.

【解題思路】(1)分析42集合中元素的關系，即得解；

(2)列舉法表示集合。，即得解；

(3)列舉法表示集合E,即得解

【解答過程】(1)由題意，任取y=有y=2x(2m),2meN,故ye4,

且6e46SB,故BuA；

(2)由于。={x|x是十的約數(shù)}=[1,2,3,4,6,12},

故CuD；

(3)由于E={x\x—3<2,xeN+}={x\x<5,%￡N+}—{1,2,3,4},

故EuF.

*

4.(2023?江蘇?高一假期作業(yè))指出下列各對集合之間的關系.

(1)A=[-1,1),2={(T,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1))；

(2)A={x|-l<x<4},8={用尤一5<0}；

(3)A=3尤是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形};

(4)M={x|x=2w—1,wGN*},N={x\x=2n+1,〃GN*}；

(5)A={x|尤=2a+36,aGZ,beZ},B={x\x=4m—3n,mGZ,〃GZ}.

【解題思路】(1)由集合A和集合B的代表元素判斷；

(2)利用數(shù)軸求解判斷；

(3)由等邊三角形和等腰三角形的關系判斷；

(4)由“GN*判斷；

(5)由任意GdZ是否符合集合元素的公共屬性判斷.

【解答過程】(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合2的代表元素是有序實數(shù)對，故A與3之間無包含關系.

(2)集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,8如圖所示，由圖可知A0A

B

..A.

-2-1012345%

(3)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故

(4)兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于“GN*,因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”,

故

(5)A=[x\x=2a+3b,?ez,b^Z],因為任意％GZ,k=2x(-k)+3k^A,所以A={x|x=2a+36,?ez,

Z?EZ}=Z,

因為任意左ez,k=4k—3kEB,所以B={x|x=4〃z—3%sGZ,wGZ}=Z,所以A=8=Z.

集合的基本運算R|

1.(2023上?江西?高三校聯(lián)考期中)集合a={nezi看ez},B=N,則ACB=()

A.{-1,0,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【解題思路】寫出集合a中的元素，然后由交集定義計算.

【解答過程】由題意知，n-1=-2,-1,1,2,所以n=-1,023,

故4={-1,0,2,3},所以an8={0,2,3}.

故選：B.

2.(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)設全集U={x\x=2k,kEZ},集合M={x\x=4k,kEZ},則QM=

()

A.{x\x=4/c—1,fc￡Z}B.{x\x=4fc—2,fceZ}

C.{x\x=4/c—3,fc6Z}D.{x\x—4k,fcGZ}

【解題思路】根據(jù)補集的定義和運算即可求解.

【解答過程】由題意知，M=(x\x=4k,keZ)=(x\x=2(2k),keZ},

又U={x\x=2k,keZ},

所以QM={x\x=2(2/c-l),fcGZ}={x\x=4fc-2,fc6Z}.

故選：B.

3.(2023上?新疆伊犁?高一校聯(lián)考期中)已知集合4={組/一3%—4<0},B={x|a+l<K<3a+l}.

(1)當a=2時，求4UB；

(2)若4CB=B,求a的取值范圍.

【解題思路】(l)a=2時，直接求2UB即可；

(2)由力CB=B得BQA,分8=。與B中0兩類討論求解即可.

【解答過程】(1)由題意可得4={幻一1<x<4}.

當a=2時B={x|3<x<7],

則4UB={x|—1<x<7}.

(2)因為2nB=B,所以BU4

則當B=0時，a+123a+l,解得aWO；

a>0

當BK0時，若BU4需]a+12-l,

,3a+1<4

解得。<a<1.

綜上，a的取值范圍是(一8,1].

4.(2023上?江蘇南京?高一金陵中學?？计谥?已知集合4={久|5W久W7},B=[x\m+1<x<2m-1}.

(1)當加=3時，求AUB和4ClB；

(2)若4CB=0,求實數(shù)機的取值范圍.

【解題思路】(1)代入m=3,得出B,然后即可根據(jù)交集以及并集的運算，計算得出答案；

(2)分B=0以及BK0兩種情況討論求解，即可得出答案.

【解答過程】(1)當m=3時，B-{x|4<x<5}.

所以，A\JB—{x|5<x<7}U{x|4<x<5}={x|4<x<7},

AC\B={x|5<%<7}Cl{x|4<%<5}={5}.

(2)當B=0時，有m+l>2ni—1,則<2；

當B牛。時，

-T-ZBr2m-1>m+1HBJ2nl-1>m+1

可侍t2m-1<5，或tm+1>7'

解得2<m<3或m>6.

綜上可得，實數(shù)機的取值范圍是(-8,3)U(6,+8).

圖表達集合的關系和運算。|

1.(2023上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中)已知集合(/=凡集合4={0,1,2,3},8={幻尤>1},則圖中陰影部

分所表示的集合為()

A.{0}B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}

【解題思路】根據(jù)集合的定義及集合間的關系求解即可.

【解答過程】陰影部分表示在全集范圍內屬于集合力不屬于B的集合，故圖中陰影部分所表示的集合為{0,1}.

故選：B.

2.(2023上?湖南衡陽?高一?？计谥?如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是()

A.XUBB.(CRX)UBC.(CRX)UBD.CR(4UB)

【解題思路】由圖發(fā)現(xiàn)陰影部分在集合48的外部，在R的內部，用集合語言表達即可得到正確選項.

【解答過程】由韋恩圖可得，圖中陰影部分所表示的集合是CR(AUB).

故選:D.

3.(2023上?云南昆明?高一校考階段練習)己知全集U為實數(shù)集，集合4={x[—l<x<6},B=

(1)若。=4,求圖中陰影部分的集合M；

(2)若BU4求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)由圖可知陰影部分表示的是Bn(CuA),從而可求得結果,

(2)分B=。和B力0兩種情況求解即可

【解答過程】(1)當a=4時，B={5<x<11},

因為全集U為實數(shù)集，集合4={幻—1<%<6},

所以QA=(x\x<-1或無>6},

由圖可知陰影部分表示的是Bn(CiM)，

所以M=BC(CM)={x|6<x<11},

(2)當B=0時，BU4成立，此時a+l>3a-L解得a<1,

當B牛。時，因為BU4

a+1W3a—1

所以,a+l>—l,解得lWa<(,

3a—1<6

綜上，a<1,即實數(shù)a的取值范圍為(—8,J.

4.(2023上?四川南充?高一?？茧A段練習)設全集U=R,集合4={幻―2<x<6},B={x\xW—5或x23}.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；

(2)已知集合。={久|10-￡1<%<2￡1+1},若(CuB)CC=0,求a的取值范圍.

【解題思路】由韋恩圖圖及含參數(shù)的集合交并補的混合運算即可求解.

【解答過程】(1)因為4={劃一2WxW6},3={用工4-5或刀23},

所以4CB={x|3<x<6},

則圖中陰影部分表示QQ4nB)={x|-2<x<3].

(2)因為C={x|10-a<x<2a+l],B={x\xW-5或x23},且(QB)CC=0,

所以QB={x[—5<x<3},C￡

所以當C=0時，10-a>2a+1,解得aS3,符合題意；

當C豐0時，{10~2七1或者，

此時不等式組；]二1無解，

不等式組1的解集為3<aW7,

綜上，a的取值范圍為{a|aW7}.

判斷命題的真假。|

1.(2023上?上海?高一?？计谥?已知命題：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，給出下列命

題，其中真命題的個數(shù)是()

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；

③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】由題意可得集合M不是P的子集.由此結合子集的定義與集合的運算性質，逐項判斷即可.

【解答過程】根據(jù)命題"非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，可得M不是P的子集

對于①，集合M雖然不是所有元素都在P中，但有可能有屬于P的元素，因此①是假命題；

對于②，因為M不是P的子集，所以必定有不屬于P的元素，故②是真命題；同理不能確定M有沒有P的元素,

故③是假命題；

對于④，由子集的定義可得，既然M不是P的子集，那么必定有一些不屬于P的元素，因此M的元素不都是P

的元素，可得④是真命題.

故選：B.

2.（2023上?上海閔行?高一校聯(lián)考期中）下列命題中：

①關于x的方程7n--2%+3=。是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x>3,那么x>0；

④兩個實數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個數(shù)都是有理數(shù).其中是真命題的有（）

A.①②③B.②③C.②③④D.①②④

【解題思路】根據(jù)一元二次方程的定義、空集的性質，結合不等式的性質、有理數(shù)的性質逐一判斷即可.

【解答過程】①：當爪=0時，方程變?yōu)?2x+3=0,顯然不是一元二次方程，因此本序號命題不是真命

題；

②：因為空集是任何非空集合的真子集，所以本序號命題是真命題；

③：由％>3顯然能推出x20,所以本序號命題是真命題；

@：因為2+百與2-百的和是有理數(shù)4,但是2+舊和2-8都不是有理數(shù)，所以本序號命題不是真命題,

故選:B.

3.（2023?全國?高一課堂例題）判斷下列語句哪些是命題，是真命題還是假命題.

（l）x>0；

（2）等腰三角形兩底角相等；

（3）若a,b是任意實數(shù)且a?>爐,則a>b.

【解題思路】（1）根據(jù)命題的定義進行判斷即可；

（2）根據(jù)命題的定義，結合等腰三角形的性質進行判斷即可；

（3）根據(jù)命題的定義，結合不等式的性質進行判斷即可.

【解答過程】（1）因為久>0不能判斷真假，所以不是命題；

（2）因為等腰三角形兩底角相等，

所以本語句是命題，而且是真命題；

（3）當a=—2,6=0時，顯然a?＞匕2成立，但是a＞b不成立，

因為本語句能判斷真假，

所以本語句是命題，而且是假命題.

4.（2023上?高一課前預習）把下列命題改寫成“若0,則q”的形式，并判斷命題的真假.

（1）偶數(shù)不能被2整除；

（2）當|a—=0時，a=b=1；

（3）兩個相似三角形是全等三角形.

【解題思路】根據(jù)命題的定義，逐一進行判斷即可.

【解答過程】（1）若一個數(shù)是偶數(shù)，則它不能被2整除，

根據(jù)偶數(shù)的定義可知，偶數(shù)能被2整除，為假命題；

（2）若|a-1|2+\b-1|2=0,貝=b=1,

要想滿足（a-I）2+（6-1尸=0,貝IJ卷［：］，解得a=b=l,是真命題；

（3）若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形是全等三角形，

兩個三角形相似，則形狀相同，但大小不一定相等，故不一定全等，為假命題.

充分條件、必要條件及充要條件的判定。|

1.（2023上?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）己知xeR,若集合M={l,x},N={1,2,3］,則“x=2”是“MUN”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)題意，分別驗證充分性以及必要性即可得到結果.

【解答過程】若x=2,則”={1,2},所以MUN,故充分性滿足；

若MUN,貝卜=2或3,顯然必要性不滿足；

所以“％=2”是“McN”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2023上?河南南陽?高一校聯(lián)考期中）已知a/CR,則下列選項中，使a+力＜0成立的一個充分不必要

條件是（）

A.a>0且b>0B.a<0且b<0C.a>0且b<0D.a<0且b>0

【解題思路】利用充分條件與必要條件的定義，結合特例法與不等式的性質求解即可

【解答過程】因為a>0且6>0不能推出a+b<0,所以a>0且b>0不是a+b<0的充分條件，A錯；

因為a>0且b<0不能推出a+b<0,所以a>0且b<0不是a+b<0的充分條件，C錯；

因為a<0且b>。不能推出a+b<0,所以a<0且b>0不是a+b<0的充分條件，D錯；

對于B,由a<0且6<。可得a+b<0,充分性成立，若a+b<0不能推出a<0且b<0,例如a=—2,b=1

時，滿足a+b<0,而a<0且b>0,必要性不成立，所以a<0且b<0是a+b<。成立的一個充分不必要

條件，B符合題意.

故選：B.

3.(2023?江蘇?高一專題練習)判斷下列各題中p是q的什么條件.

(l)p:ab>0,q:a,b中至少有一個不為零；

(2)p:x>1,q:x>0；

(3)p:AC\B=A,q:QUBQQUA.

【解題思路】(1)(2)根據(jù)充分、必要條件分析判斷；

(3)根據(jù)集合的包含關系和運算結合充要條件分析判斷.

【解答過程】(1)若ab〉0可得a,b中至少有一個不為零，即充分性成立，

但a,b中至少有一個不為零不能得出ab>0,例如a=l,b=—l,即必要性不成立，

所以p是q的充分不必要條件.

(2)若%>1可得x>0,即充分性成立，

但％N0不能得出x>l,例如x=0,即必要性不成立，

所以p是q的充分不必要條件.

(3)由題意可知：AnB=4等價于4=8,CuB=的4等價于4=8,

所以ACB=4等價于CuBcQUA,

所以p是q的充要條件.

4.(2023?江蘇?高一專題練習)指出下列各題中，p是q的什么條件：

⑴P：數(shù)a能被6整除，q:數(shù)cz能被3整除；

(2)p:|x|>1,q-.x2>1；

(3)p:△ABC有兩個角相等，q-△ABC是正三角形；

(4)p:\ab\=ab,q:ab>0.

【解題思路】分別判斷p能否推出q,q能否推出p即可.

【解答過程】（1）因為能被6整除的數(shù)一定能被3整除，但能被3整除的數(shù)不一定能被6整除,

所以p=>q,但qmp,

所以p是q的充分不必要條件.

（2）由p:|%|>1得，x<—1或%>1,

由q:/>1得，x<—1或%>1,

所以p=q,q=p,

所以p是q的充要條件.

（3）因為有兩個角相等不一定是正三角形，