2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破課件：專題六 圓的綜合題

專題六圓的綜合題類型一

圓的基本性質(zhì)的證明與計算(成都2024.17，2023.17，2022.17；綿陽2024.24)奪

冠

技

法

1．圓中求解角度問題時：(1)可利用圓的性質(zhì)等進(jìn)行等角代換；(2)可利用圓周角定理及其推論構(gòu)造直角三角形，由兩銳角之和等于90°，進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，或利用特殊角的三角函數(shù)值求解；(3)可通過設(shè)未知數(shù)，選用內(nèi)角和公式、和差倍半關(guān)系等列等量關(guān)系式求解．2．圓中求解線段問題時：(1)利用圓的性質(zhì)，得到相等的角，結(jié)合相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例建立等式來解答；(2)利用垂徑定理或圓周角定理及其推論，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程，或利用銳角三角函數(shù)求解；(3)直接求線段長不好求時，可考慮等量代換，求解與之相等的線段長；(4)求證線段相等時，可利用圓中弧、弦、圓心角的關(guān)系證明線段相等，也可通過證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明．例1(2024·成都)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB上一點，以BD為直徑作☉O，交AC于E，F(xiàn)兩點，連接BE，BF，DF．(1)求證：BC·DF＝BF·CE；由圓周角定理的推論及∠C＝90°得到兩組等角，進(jìn)而證得△BCE∽△BFD，由相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊的比例關(guān)系式，即可得證．?解題思路

連接DE，過點E作EH⊥BD于點H．由銳角三角函數(shù)的定義及相似三角形的性質(zhì)等，求出DH的長，由線段的和差求解即可．?解題思路

類型二

與切線的判定有關(guān)的證明與計算(南充2024.22，2022.22；內(nèi)江2024.27，2023.26，2022.21；涼山州2024.27，2023.27，2022.27；巴中2024.23，2023.22)奪

冠

技

法

證明切線的方法1．(1)作垂直，證半徑：當(dāng)切點不確定時，先過圓心作所證直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑長，常用到的方法有：①當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線時，利用角平分線的性質(zhì)證明垂線段的長等于半徑長；②利用全等三角形的性質(zhì)證明兩條對應(yīng)邊相等，證明所作垂線段的長等于半徑長；(2)連半徑，證垂直：當(dāng)切點確定時，先連接圓心和切點，構(gòu)造半徑，再證明半徑與所證直線垂直．常用到的方法有：①當(dāng)圖形中無90°角或垂直時，可利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得垂直，也可利用圓周角定理的推論構(gòu)造垂直；②當(dāng)圖形中有90°角或垂直時，可利用等角代換得垂直，也可利用平行線的性質(zhì)得垂直，還可利用全等三角形的性質(zhì)得垂直．2．當(dāng)圓中已知一條切線，需證明另一條切線時，先過圓心向準(zhǔn)切線作垂線，或連接圓心與準(zhǔn)切點，構(gòu)造雙切線模型，通過角平分線的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)證明垂線段的長等于半徑長．

例2?解題思路連接OD，由圓的對稱性及平行線的性質(zhì)，得OD⊥DF，即可得證．

答圖①(2)求證：BD＝ED．

由圓周角定理的推論得到∠DBC＝∠BAD，由角平分線的定義得到∠ABE＝∠CBE，再結(jié)合三角形內(nèi)外角的關(guān)系得到∠DEB＝∠DBE，即可得證．?解題思路(3)若DE＝5，CF＝4，求AB的長．

連接CD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠DCF，由平行線的性質(zhì)得到∠ACB＝∠F，結(jié)合圓周角定理的推論證得△ABD∽△DCF，列出比例式，結(jié)合(2)的結(jié)論，求出所需線段的長，即可得解．?解題思路

答圖②

類型三

與切線的性質(zhì)有關(guān)的證明與計算(南充2023.22；綿陽2023.24，2022.23；瀘州2024.24，2023.24，2022.24；巴中2022.24)奪

冠

技

法

1．題目中已知切線時，常連接圓心與切點，利用切線的性質(zhì)得到垂直，再進(jìn)行求解或證明．2．在證明線段的乘積式時，可以考慮先化為比例式，注意相等線段的替換，然后找到有可能相似的三角形，分析已知，看已有的相等線段或成比例線段，再根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行倒推，得出需要證明的比例線段．3．在圓中已知三角函數(shù)值或求解三角函數(shù)值時，可利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形求解，或找到相等的角，利用相等的角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行求解．例3

連接OE，由切線的性質(zhì)及圓周角定理的推論、等腰對等角得到∠BEF＝∠EAB，再結(jié)合已知等角，等量代換即可得證．?解題思路【解答】如答圖，連接OE，交BC于點G．∵EF與☉O相切于點E，∴∠OEF＝90°，∴∠BEF＋∠OEB＝90°．∵AB是☉O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠OBE＝90°．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEF＝∠EAB．∵∠BEF＝∠CAE，∴∠CAE＝∠EAB，∴AE平分∠BAC．答圖

(2)若BF＝10，EF＝20，求AC的長．

根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例，求得AB及半徑的長；再由平行線分線段成比例，列出比例式求解即可．?解題思路

綜合訓(xùn)練

(1)證明：如答圖，連接OD．∵AC為☉O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．∵DE是☉O的切線，OD＝OC，∴∠ODE＝90°，∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴CE＝DE．∵∠EBD＋∠ECD＝90°，∠BDE＋∠EDC＝90°，∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝CE．答圖

2．(2024·成都青羊區(qū)校級模擬)如圖，已知△ABC內(nèi)接于☉O，BC為☉O的直徑，D為☉O上一點，連接AD交BC于點E，且AB＝BE，連接OD．(1)求證：∠ABC＝∠COD．(2)若☉O的半徑為2，E是OC的中點，求AC和AD的長．

答圖

(2)證明：如答圖，連接OC.∵OA