常州期中考高三數(shù)學試卷

常州期中考高三數(shù)學試卷一、選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，則下列選項中，關于函數(shù)的極值點說法正確的是（）

A.函數(shù)有一個極大值點和一個極小值點

B.函數(shù)沒有極值點

C.函數(shù)的極大值點和極小值點重合

D.函數(shù)的極大值點在函數(shù)圖像的左側，極小值點在函數(shù)圖像的右側

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=3$，$a_4=11$，則公差$d$等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐標系中，點$A(2,1)$關于直線$y=x$的對稱點為$B$，則點$B$的坐標是（）

A.$(1,2)$

B.$(2,1)$

C.$(1,1)$

D.$(2,2)$

4.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+3$，則下列選項中，關于函數(shù)的性質說法正確的是（）

A.函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線

B.函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線

C.函數(shù)的圖像與$x$軸沒有交點

D.函數(shù)的圖像與$x$軸有兩個交點

5.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_4=32$，則公比$q$等于（）

A.2

B.4

C.8

D.16

6.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，則下列選項中，關于函數(shù)的定義域說法正確的是（）

A.$x\in[0,+\infty)$

B.$x\in[-\infty,0)\cup[2,+\infty)$

C.$x\in[-\infty,2)\cup[2,+\infty)$

D.$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則下列選項中，關于函數(shù)的性質說法正確的是（）

A.函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線

B.函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線

C.函數(shù)的圖像與$x$軸沒有交點

D.函數(shù)的圖像與$x$軸有兩個交點

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_5=21$，則公差$d$等于（）

A.4

B.5

C.6

D.7

9.在直角坐標系中，點$A(1,2)$關于直線$y=-x$的對稱點為$B$，則點$B$的坐標是（）

A.$(-1,2)$

B.$(1,-2)$

C.$(-1,-2)$

D.$(1,2)$

10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，則下列選項中，關于函數(shù)的單調性說法正確的是（）

A.函數(shù)在$(-\infty,1)$上單調遞增，在$(1,+\infty)$上單調遞減

B.函數(shù)在$(-\infty,1)$上單調遞減，在$(1,+\infty)$上單調遞增

C.函數(shù)在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增

D.函數(shù)在$(-\infty,+\infty)$上單調遞減

二、判斷題

1.在直角坐標系中，若點$A(x_1,y_1)$和點$B(x_2,y_2)$關于原點對稱，則$A$和$B$的坐標滿足$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$。（）

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像是一個開口向上的拋物線，則系數(shù)$a$必須大于0。（）

3.在等差數(shù)列中，任意兩項之和等于它們之間項數(shù)的兩倍。（）

4.對于任意實數(shù)$x$，函數(shù)$f(x)=|x|$的圖像關于$y$軸對稱。（）

5.在等比數(shù)列中，任意兩項之積等于它們之間項數(shù)的次冪。（）

三、填空題

1.函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$的導數(shù)為_________。

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項$a_1=5$，公差$d=3$，則第10項$a_{10}$的值為_________。

3.在直角坐標系中，點$A(3,4)$到直線$3x-4y+5=0$的距離為_________。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的單調性為_________。

5.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項$a_1=8$，公比$q=2$，則前5項的和$S_5$為_________。

四、簡答題

1.簡述二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像特征，并說明如何通過系數(shù)$a$、$b$和$c$來判斷圖像的開口方向、頂點坐標和對稱軸。

2.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并舉例說明如何求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式。

3.如何求一個二次函數(shù)的極值點？請舉例說明。

4.在直角坐標系中，如何判斷一個點是否在直線$Ax+By+C=0$上？請給出判斷方法。

5.請簡述函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在定義域內的單調性，并解釋為什么這個函數(shù)在定義域內是單調的。

五、計算題

1.計算函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$處的導數(shù)值。

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=2$，$a_4=14$，求公差$d$和第10項$a_{10}$的值。

3.在直角坐標系中，求點$A(1,3)$到直線$2x+y-7=0$的距離。

4.求函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在區(qū)間$[1,2]$上的定積分。

5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{3}$，求前$n$項和$S_n$的表達式。

六、案例分析題

1.案例背景：某企業(yè)計劃投資一項新項目，預計該項目在接下來的五年內每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流如下：第1年200萬元，第2年220萬元，第3年240萬元，第4年260萬元，第5年280萬元。假設企業(yè)要求的最低投資回報率為8%，請使用現(xiàn)值法計算該項目的總現(xiàn)值，并判斷該項目是否值得投資。

案例分析：

（1）根據(jù)現(xiàn)金流和最低投資回報率，計算每年現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

（2）將所有年份的現(xiàn)金流現(xiàn)值相加，得到項目的總現(xiàn)值。

（3）判斷總現(xiàn)值是否大于0，如果大于0，則項目值得投資。

2.案例背景：某城市計劃修建一條新的高速公路，預計該高速公路的造價為1.5億元，預計運營期為30年。根據(jù)預測，高速公路每年可產(chǎn)生收入5000萬元，年運營成本為2000萬元，年折舊為500萬元。假設折現(xiàn)率為5%，請計算該高速公路的凈現(xiàn)值，并判斷該項目在經(jīng)濟上是否可行。

案例分析：

（1）計算每年凈現(xiàn)金流，即收入減去運營成本和折舊。

（2）使用折現(xiàn)率計算每年凈現(xiàn)金流的現(xiàn)值。

（3）將所有年份的凈現(xiàn)金流現(xiàn)值相加，得到項目的凈現(xiàn)值。

（4）判斷凈現(xiàn)值是否大于0，如果大于0，則項目在經(jīng)濟上可行。

七、應用題

1.應用題：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每單位產(chǎn)品的成本為30元，固定成本為2000元。市場調研表明，產(chǎn)品售價每提高1元，需求量增加10個單位。當前售價為50元，市場需求量為100個單位。請計算以下內容：

（1）在當前售價下，公司的總利潤是多少？

（2）若公司希望總利潤增加20%，應將售價調整至多少？

（3）若市場需求量減少到50個單位，其他條件不變，公司的總利潤將是多少？

2.應用題：某城市打算通過建設一條新的公交線路來改善交通狀況。已知公交線路的建設成本為3000萬元，預計運營期為15年。每年運營收入預計為1200萬元，運營成本為800萬元，每年折舊為100萬元。假設折現(xiàn)率為5%，請計算以下內容：

（1）該公交線路的凈現(xiàn)值是多少？

（2）若預計運營收入提高10%，其他條件不變，該公交線路的凈現(xiàn)值將如何變化？

（3）若運營成本增加15%，其他條件不變，該公交線路的凈現(xiàn)值將如何變化？

3.應用題：某班級有30名學生，其中男女生比例約為2:3。為了提高學生的體育活動水平，學校計劃購買一些新的體育器材。已知每個籃球的價格為200元，每個足球的價格為150元。學校預算為6000元。請計算以下內容：

（1）若購買籃球和足球的總數(shù)量不超過20個，且籃球數(shù)量至少為8個，學校最多可以購買多少個籃球？

（2）若學校希望購買籃球和足球的總價值達到5000元，且籃球數(shù)量至少為10個，學校應該購買多少個籃球和足球？

（3）若學校決定購買籃球和足球的總數(shù)量等于30個，且籃球數(shù)量至少為12個，學校應該如何分配購買籃球和足球的數(shù)量？

4.應用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個產(chǎn)品需要3小時的人工和2小時的機器時間。工廠每天有8小時的人工和12小時的機器時間可供使用。假設人工成本為每小時20元，機器成本為每小時30元。請計算以下內容：

（1）若該產(chǎn)品的售價為50元，工廠每天的最大利潤是多少？

（2）若工廠希望每天至少獲得1000元的利潤，應如何調整生產(chǎn)數(shù)量？

（3）若工廠希望減少機器的使用時間，同時保持利潤不變，應該如何調整生產(chǎn)數(shù)量？

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.B

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

二、判斷題答案：

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空題答案：

1.$f'(x)=6x^2-12x+12$

2.$d=3$，$a_{10}=31$

3.$\frac{5}{\sqrt{5}}$

4.單調遞減

5.$S_n=\frac{3(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$

四、簡答題答案：

1.二次函數(shù)的圖像是一個拋物線，開口方向由系數(shù)$a$決定，當$a>0$時開口向上，當$a<0$時開口向下。頂點坐標為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，對稱軸為$x=-\frac{2a}$。

2.等差數(shù)列的定義是：一個數(shù)列中，從第二項起，每一項與它前一項的差是常數(shù)。等比數(shù)列的定義是：一個數(shù)列中，從第二項起，每一項與它前一項的比是常數(shù)。通項公式分別為$a_n=a_1+(n-1)d$（等差數(shù)列）和$a_n=a_1q^{n-1}$（等比數(shù)列）。

3.求二次函數(shù)的極值點，首先求導數(shù)$f'(x)$，令$f'(x)=0$求出極值點$x$，然后判斷$f''(x)$的正負，若$f''(x)>0$，則$x$是極小值點；若$f''(x)<0$，則$x$是極大值點。

4.判斷點$A(x_1,y_1)$是否在直線$Ax+By+C=0$上，將$A(x_1,y_1)$的坐標代入直線方程，若等式成立，則點在直線上。

5.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在定義域內是單調遞增的，因為對于任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$，這是因為根號函數(shù)在其定義域內是遞增的。

五、計算題答案：

1.$f'(2)=-6$

2.$d=3$，$a_{10}=31$

3.$\frac{5}{\sqrt{5}}$

4.$\int_1^2{\frac{1}{x^2+1}}dx=\arctan(x)\bigg|_1^2=\arctan(2)-\arctan(1)$

5.$S_n=\frac{3(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$

六、案例分析題答案：

1.（1）總利潤=總收入-總成本=（50×100）-（30×100+2000）=2000元

（2）設售價調整為$x$元，則總利潤為$(x-30)(100+10(x-50))$，令總利潤增加20%，即$2000×1.2=2400$元，解得$x=60$元。

（3）總利潤=（50×50）-（30×50+2000）=1000元

2.（1）凈現(xiàn)值=（1200-800-100）/（1+0.05）^1+（1200-800-100）/（1+0.05）^2+...+（1200-800-100）/（1+0.05）^15

（2）若運營收入提高10%，則凈現(xiàn)值增加10%。

（3）若運營成本增加15%，則凈現(xiàn)值減少15%。

3.（1）最多可以購買8個籃球。

（2）購買籃球8個，足球12個。

（3）購買籃球6個，足球24個。

4.（1）每天的最大利潤=（50×6）-（20×8+30×12）=1200元

（2）生產(chǎn)數(shù)量調整為15個，以保持1000元的利潤。

（3）生產(chǎn)數(shù)量調整為12個，以減少機器的使用時