2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）4．5．2 用二分法求方程的近似解（三大題型）

4．5．2用二分法求方程的近似解目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：用二分法求近似解的條件 2題型二：用二分法求方程近似解的過程 3題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程 5【重難點集訓(xùn)】 8【高考真題】 16【題型歸納】題型一：用二分法求近似解的條件1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，根據(jù)零點存在性定理，以及二分法的概念，即可得出結(jié)果.令，則，，用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是．故選：C．2．（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，只能用二分法求其零點的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得；由得；由得；即ABC選項，均可根據(jù)解對應(yīng)的方程求出零點；D選項，由，不能直接求解，因此需要用二分法求函數(shù)零點.故選：D.3．（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故A能用二分法求零點；對于B，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故B能用二分法求零點；對于C，不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，但函數(shù)值在零點兩側(cè)都是正的，故C不能用二分法求零點；對于D，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故D能用二分法求零點.故選：C.4．（2024·高一·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，在0,+∞上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故A錯誤；對于B，在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故B錯誤；對于C，，故不可以使用二分法，故C正確；對于D，在0,+∞上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故D錯誤.故選：C題型二：用二分法求方程近似解的過程5．（2024·高一·上?！て谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間的一個零點的近似值用二分法逐次計算列表如下：那么方程的一個近似解為（精確到0.1）【答案】【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的零點在區(qū)間之間，結(jié)合題設(shè)要求，可得方程的一個近似解為.故答案為：.6．（2024·高一·天津·階段練習(xí)）若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，第一次取區(qū)間的中點為，那么第二次取區(qū)間的中點為．【答案】/【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故下一次應(yīng)取區(qū)間的中點，即.故答案為：.7．（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）已知函數(shù).(1)求證：在上為增函數(shù).(2)若，求方程的正根（精確度為0.01）.【解析】（1）證明：設(shè)，，，，，，；，且，，，，即，函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）由（1）知，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，故在上也單調(diào)遞增，因此的正根僅有一個，以下用二分法求這一正根，由于，，取為初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列出下表：區(qū)間中點中點函數(shù)值0.50.7320.250.3750.3220.31250.1240.281250.0210.2656250.2734375由于，原方程的根的近似值為0.2734375.即的正根約為0.2734375.8．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)（1）證明方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解；（2）使用二分法，取區(qū)間的中點三次，指出方程，的實數(shù)解在哪個較小的區(qū)間內(nèi)．【解析】（1），，由函數(shù)的零點存在性定理可得方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解；（2）取，得由此可得，下一個有解區(qū)間為再取，得，下一個有解區(qū)間為再取，得，下一個有解區(qū)間為，綜上所述，得所求的實數(shù)解在區(qū)間，．題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程9．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個精確到0.1的正實數(shù)零點的近似值為．【答案】0.7【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為[0.64，0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零點在區(qū)間[0.68，0.72]，且該區(qū)間的左、右端點精確到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點的近似值．故答案為：0.7.10．（2024·高一·全國·課堂例題）求曲線和直線的交點的橫坐標(biāo)（誤差不超過0.05）．【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出，的圖象如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)方程有唯一解，記為，并且解在區(qū)間(1,2)內(nèi)．設(shè)，則的零點為．用計算器計算得，；，，，，，，，，∵，∴曲線和直線的交點的橫坐標(biāo)約為．11．（2024·高一·全國·課堂例題）用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個零點的近似值．（誤差不超過0.01）【解析】經(jīng)計算，，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，取的中點，經(jīng)計算，因為，所以，如此繼續(xù)下去，如下表：區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值因為，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)誤差不超過的一個零點近似值可取為．12．（2024·高一·上海·專題練習(xí)）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并用二分法求零點的近似值．(精確度)【解析】因為，所以，因為，所以在區(qū)間內(nèi)有零點，因為在上為增函數(shù)，所以有且只有一個零點，取區(qū)間的中點，，所以，可得，取區(qū)間的中點，，所以，可得，取區(qū)間的中點，，所以，可得，取區(qū)間的中點，，所以，可得，因為，所以零點的近似值可取為.【重難點集訓(xùn)】1．在使用二分法計算函數(shù)的零點的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來至少需要計算（

）次區(qū)間中點的函數(shù)值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次二分法計算，區(qū)間長度為原來的一半，經(jīng)過次二分法計算后，區(qū)間長度變?yōu)?，又使用二分法計算函?shù)的在區(qū)間上零點的近似解時，要求近似解的精確度為0.1，所以，則，又，所以，又，故，所以接下來至少需要計算你次區(qū)間中點的函數(shù)值．故選：C.2．已知定義在上的增函數(shù)f(x)，在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，，，又，則函數(shù)f(x)的零點為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由f(x)在上單調(diào)遞增得：，，又恒成立，∴，解得，∴f(x)的零點為，故選：C.3．下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點的是（

）A．（k，b為常數(shù)，且）B．（a，b，c為常數(shù)，且）C．D．（，k為常數(shù)）【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知其沒有函數(shù)零點，故C，D不能用“二分法”求其零點，故CD錯誤；對于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且），當(dāng)時，不能用二分法，故B錯誤；由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，且存在函數(shù)零點，故可以用“二分法”求其零點，故A選項正確.故選：A4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)內(nèi)的近似解的過程中，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，則該方程的根所在的區(qū)間是（

）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)【答案】B【解析】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)f(x)的一個零點x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的區(qū)間是(1.25，1.5)，故選：B5．已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，如果用“二分法”求這個零點（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至少是（

）A．4 B．6 C．7 D．10【答案】D【解析】設(shè)需計算次，則滿足，即．由于，故計算10次就可滿足要求，所以將區(qū)間等分的次數(shù)至少是10次．故選：D．6．用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，下一個有根區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)，其中，又由，則，可得方程根在區(qū)間．故選：A．7．用二分法求f(x)＝0在區(qū)間(1，2)內(nèi)的唯一實數(shù)解x0時，經(jīng)計算得，f(2)＝－5，，則下列結(jié)論正確的是()A．x0∈ B．x0＝C．x0∈ D．x0＝1【答案】C【解析】根據(jù)二分法求區(qū)間根的方法只須找到滿足由于，所以.故選C.8．已知在區(qū)間內(nèi)有一個零點，若用二分法求的近似值(精確度)為，則最少需要將區(qū)間等分的次數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)需要將區(qū)間等分次，因為每次等分區(qū)間，都會將區(qū)間的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，原區(qū)間長度為1，所以，得，因為，所以的最小值為3，故選：A9．（多選題）下列說法正確的是（

）A．已知方程的解在內(nèi)，則B．函數(shù)的零點是C．函數(shù)有兩個不同的零點D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區(qū)間上【答案】AD【解析】對A，記，易知都在R單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一零點，且，即方程的唯一解在內(nèi)，所以，A正確；對B，令，解得或，所以函數(shù)的零點是或，B錯誤；對C，作出的圖象如圖：當(dāng)時，函數(shù)和的圖象顯然有一個交點，又，所以函數(shù)和的圖象在處相交，所以有三個不同的零點，C錯誤；對D，因為，所以由零點存在性定理可知，零點近似值在區(qū)間上，D正確.故選：AD10．（多選題）教材中用二分法求方程的近似解時，設(shè)函數(shù)來研究，通過計算列出了它的對應(yīng)值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是：（

）A．B．方程有實數(shù)解C．若精確度到0.1，則近似解可取為1.375D．若精確度為0.01，則近似解可取為1.4375【答案】BC【解析】∵與都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴在R上至多有一個零點，由表格中的數(shù)據(jù)可知：，，∴在R上有唯一零點，零點所在的區(qū)間為，∴，A錯誤；方程有實數(shù)解，B正確；，即精確度到0.1，則近似解可取為1.375，C正確；，即精確度為0.01，則近似解不可取為1.4375，D錯誤.故選：BC.11．（多選題）下列方程中能用二分法求近似解的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A項，設(shè)，則，，所以，，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.根據(jù)零點的存在定理可知，，使得，故A正確；對于B項，設(shè)，則，，所以，，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線..根據(jù)零點的存在定理可知，，使得，故B正確；對于C項，設(shè)，則，，所以，，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線..根據(jù)零點的存在定理可知，，使得，故C正確；對于D項，設(shè)，因為恒成立，不存在函數(shù)值異號區(qū)間，所以不滿足二分法的條件，故D錯誤.故選：ABC.12．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，若要求精確度為0.001，則至少進行次二分．【答案】11【解析】根據(jù)題意，原來區(qū)間的長度等于2，每經(jīng)過一次二分法操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則經(jīng)過次操作后，區(qū)間的長度為，令，又，解得.故答案為：11．13．用二分法求函數(shù)的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程的一個近似解為．（精確到0.01）【答案】1.56【解析】因為，，根據(jù)零點存在性定理，可知零點在內(nèi)，由二分法可得零點的近似值可取為，所以的一個零點的近似值可取為1.55935，誤差不超過0.005．故答案為：1.5614．用二分法求方程的實根，由計算器可算得，，，那么下一個有根區(qū)間為．【答案】【解析】因為，，，所以下一個有根區(qū)間為，故答案為：．15．現(xiàn)有a個乒乓球，從外觀上看完全相同，除了1個乒乓球質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的乒乓球質(zhì)量均相同.你能用一架天平盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎？(1)當(dāng)時，若只稱3次就可以找到此“壞乒乓球”，并得出它是偏輕還是偏重，該如何稱？(2)若已知“壞乒乓球偏輕”，當(dāng)時，至少稱幾次就一定可以找到此“壞乒乓球”？【解析】（1）第一次，天平左右各放4個乒乓球，有兩種情況：①若平，則“壞乒乓球”在剩下的4個乒乓球中，第二次，取剩下的4個乒乓球中的3個乒乓球為一邊，取3個“好乒乓球”為另一邊，放在天平上.（i）若仍平，則“壞乒乓球”為剩下的4個乒乓球中未取到的那個乒乓球，將此乒乓球與1個“好乒乓球”放上天平一看，即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重；（ii）若不平，則“壞乒乓球”在取出的3個乒乓球之中，且知是偏輕還是偏重，任取其中2個乒乓球放在天平上，無論平還是不平，均可確定“壞乒乓球”.②若不平，則“壞乒乓球”在天平上的8個乒乓球中，不妨設(shè)右邊偏重，從右邊4個乒乓球中取出3個乒乓球置于一容器內(nèi)，然后從左邊4個乒乓球中取3個乒乓球移入右邊，再從外面“好乒乓球”中取3個乒乓球補入左邊，看天平，有三種可能.（i）若平，則“壞乒乓球”是容器內(nèi)3個乒乓球之一且偏重；（ii）若左邊重，則“壞乒乓球”已從一邊換到另一邊，因此，“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的3個乒乓球之一，并且偏輕；（ⅲ）若右邊重，據(jù)此知“壞乒乓球”未變動位置，而未被移動過的乒乓球只有兩個（左右各一），“壞乒乓球”是其中之一（暫不知是偏輕還是偏重）.顯然對于以上兩種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞乒乓球”，且知其是偏輕還是偏重.（2）將26個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那13個乒乓球里面；從這13個乒乓球中拿出1個，然后將剩下的12個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則“壞乒乓球”一定是拿出的那一個，若天平不平衡，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那6個乒乓球里面；將這6個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那3個乒乓球里面；從這3個乒乓球中任拿出2個，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一個即是“壞乒乓球”，若天平不平衡，則質(zhì)量小的那一個即是“壞乒乓球”.綜上可知，至少稱4次就一定可以找到這個“壞乒乓球”.16．求方程的零點（精確到0.1）．【解析】令，設(shè)函數(shù)y=fx的零點為，因為f2<0，，所以，由二分法得到下表，中點所在區(qū)間2.52.252.1252.18752.156252.1406252.1484375因為在精確度為0.1時，，，所以在精確度為0.1時，．17．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．【解析】（1）在單調(diào)遞增；證明如下：任取，不妨設(shè)，，因為，則，，，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內(nèi)有且僅有一個零點，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值區(qū)間長度1此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個近似解，比如2.6是方程在上的一個近似解．18．判斷方程在區(qū)間內(nèi)是否有解；如果有，求出一個近似解．（精確度為0.1）【解析】設(shè)，利用二分法，列表計算如下：x11.51.251