2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 （七大題型）

2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式 2題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯 2題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法 4題型四：一次分式不等式的解法 6題型五：實際問題中的一元二次不等式問題 7題型六：不等式的恒成立與有解問題 9題型七：一元二次方程根的分布問題 10【重難點集訓】 12【高考真題】 21【題型歸納】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．【答案】【解析】由，即，解得，所以不等式的解集是.故答案為：2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式等價于，由于恒成立，因此原不等式的解集為．故答案為：3．（2024·高二·湖南永州·階段練習）解不等式：【解析】由可得或，由可得，故不等式組的解為或，4．（2024·高一·江西南昌·開學考試）解下列方程和不等式：(1)(2)【解析】（1）依題意，，解得或.（2）依題意，解得或，所以不等式的解集為或.題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯5．（多選題）（2024·高二·浙江寧波·期末）若關于的一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，由題意，結合二次函數(shù)的圖象知，拋物線開口應向下，則，故A錯誤；對于B，依題意，，且一元二次方程的兩根為和3，由韋達定理，，故，，即，故B正確；對于C，由上分析可得，故C正確；對于D，由上分析可得，故D正確.故選：BCD.6．（2024·高一·河北石家莊·開學考試）已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；7．（2024·高三·全國·專題練習）若關于的不等式的解集為，且，則的值為.【答案】【解析】關于的不等式的解集為，，是一元二次方程的實數(shù)根，，且，.，，又，解得.故答案為：.8．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若不等式有唯一解，則的值是．【答案】2或【解析】由于為開口向上的二次函數(shù)，不等式的解可看作是在之間的圖象對應的橫坐標，故不等式有唯一解，則有唯一解．即，解得或．故答案為：2或題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法9．（2024·高三·福建寧德·開學考試）解關于x的不等式.【解析】不等式化為，①當時，原不等式化為，解得．②當時，原不等式化為，解得或．③當時，原不等式化為.當，即時，解得；當，即時，解得滿足題意；當，即時，解得．綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．10．（2024·高一·湖南長沙·期末）當時，解關于的不等式.【解析】當時，代入不等式可得，解得；當時，化簡不等式可得即，由得不等式的解為，當時，化簡不等式可得即，由得不等式的解為或，綜上可知，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或.11．（2024·高一·云南曲靖·階段練習）解下列不等式(1)(2)【解析】（1）因為，即，注意到，所以不等式的解集為.（2）因為，即，令，解得或，若，即，所以不等式的解集為；若，即，所以不等式的解集為；若，即，所以不等式的解集為；綜上所述：若，不等式的解集為；若，不等式的解集為；若，不等式的解集為.12．（2024·高一·安徽·階段練習）解關于的一元二次不等式．（結果用集合表示）【解析】由已知，可得，（1）當時，方程有兩實根，不等式的解集為．（2）當時，方程的根的判別式．①當時，，所求不等式的解集為R；②當時，，所求不等式的解集為；③當時，，所求不等式的解集為或．綜上所述：當時，解集為；當時，解集為或．當時，解集為；時，解集為R.題型四：一次分式不等式的解法13．（2024·高一·廣東·開學考試）不等式：的解為．【答案】或【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解為或.故答案為：或14．（2024·高一·全國·課堂例題）不等式的解集是.【答案】或【解析】等價于，解得或，故解集為或.故答案為：或15．（2024·高一·全國·課堂例題）不等式的解集是【答案】或．【解析】原不等式等價于解得或，故不等式的解集是或．故答案為：或16．（2024·高一·全國·課堂例題）不等式的解集為【答案】【解析】原不等式可以化為，即，解得，故原不等式的解集為.故答案為：題型五：實際問題中的一元二次不等式問題17．（2024·高一·陜西·階段練習）某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價在200元的基礎上提高10x元（，），則被租出的禮服會減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應定為（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元【答案】C【解析】依題意，每天有套禮服被租出，該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為元.因為要使該禮服租賃公司每天租賃6.24萬元，所以，即，解得.因為且，所以，即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應定為250元.故選：C.18．（2024·高三·全國·專題練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于的內接矩形花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長（單位：m）的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，過作于，交于，易知，即，則，．所以矩形花園的面積，解得．故選:C．19．（2024·高一·江蘇連云港·階段練習）某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬立方米.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設且，整理得，可得.故選：B20．（2024·高一·全國·單元測試）某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成（1成），售出商品的數(shù)量就增加成，要求售價不能低于成本價．(1)設該商品一天的營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．【解析】（1）依題意售價降低x成則商品售價為元/件，售出商品數(shù)量為件，所以該商品一天的營業(yè)額為，又售價不能低于成本價，所以，解得，所以.（2）由（1）商品一天的營業(yè)額為，令，化簡得，解得，又，所以x的取值范圍為．題型六：不等式的恒成立與有解問題21．（2024·高一·山西大同·階段練習）（1）解不等式：；（2）若不等式的解集為R，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）即為即，解得，故原不等式的解集為.（2）因為不等式的解集為R，故的解集為R，故，所以.22．（2024·高一·浙江金華·階段練習）若不等式對于滿足的一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以由得，又，所以，即時，取得最大值，所以．故答案為：．23．（2024·高一·江蘇南京·階段練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【解析】當時，，因此，當時，不等式恒成立，即恒成立，而當時，，當且僅當，即時取等號，于是得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：24．（2024·高三·上海寶山·開學考試）若命題“對任意的，都有”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意可知，命題“存在”為真命題.當時，由可得，合乎題意；當時，存在，使得成立，當時，，所以存在成立，綜上所述，當?shù)娜≈捣秶鸀槿w實數(shù).故答案為：題型七：一元二次方程根的分布問題25．（2024·高一·遼寧·階段練習）關于的一元二次方程有實根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【解析】利用判別式直接求出結論，注意，從而求出答案.由題可知：所以，又因為所以且.故選：B.26．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由韋達定理可得，然后結合可解出，然后進行檢驗即可.因為是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，所以，所以解得或當時，方程無解，故舍去當時滿足題意故選：A27．（2024·高一·安徽合肥·期中）一元二次方程有兩個不等的非正根，則實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為一元二次方程有兩個不等的非正根，，解得，故選：C28．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若方程只有正根，則m的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】方程只有正根，則當，即時，當時，方程為時，，符合題意；當時，方程為時，不符合題意.故成立；當，解得或，則，解得.綜上得.故選B.29．（2024·高一·上海奉賢·階段練習）若、是方程的兩個實數(shù)根，且，則實數(shù)m的值為．【答案】1【解析】由一元二次方程有兩個實根，結合韋達定理、判別式Δ≥0即可求m的值.∵方程有兩個實數(shù)根，即，∴，由題意知：，，又，∴，解得或（舍去），即有.故答案為：130．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若方程有兩個負根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】設方程的兩個根分別為，，利用韋達定理計算得到答案.設方程的兩個根分別為，，由題意及根與系數(shù)的關系，得解得或，因此實數(shù)的取值范圍為.故答案為：31．（2024·高二·山東菏澤·期中）若關于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，，.故答案為【重難點集訓】1．（2024·高一·遼寧·階段練習）設正實數(shù)、、滿足，則當取得最小值時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，由，得，當且僅當，即時等號成立，則，因此，當且僅當時取等號，所以當時，取得最大值.故選：D2．（2024·高一·遼寧·階段練習）已知且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為且，所以，，所以，所以，則令，當時，單調遞增，所以當時，取得最小值為，即的最小值為，當且僅當、時取最小值.故選：D.3．（2024·高三·江蘇南通·階段練習）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，集合，所以.故選：A.4．（2024·高三·天津南開·階段練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由不等式，可得，所以，解得，又由，可得，解得，因為是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．（2024·高一·河南·期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】當時，對任意的恒成立；當時，要使不等式對任意的恒成立，則應有，解得.綜上所述，的取值范圍為.顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，所以，“”是“不等式對任意的恒成立”的充分不必要條件.故選：A.6．（2024·高一·江蘇南京·期末）已知實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，因為，所以，即，所以，所以當且僅當時，取最大值為.故選：A.7．（2024·高一·江西新余·期中）不等式的解集是，則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設是的兩個根，則，所以，即，故不等式解集為.故選：B8．（2024·高一·湖北恩施·階段練習）已知m，且，對于任意均有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，在上，恒成立，所以只需滿足恒成立，此時，由二次函數(shù)圖象可知，只有時滿足，而不滿足條件；當時，在上，恒成立，所以只需滿足恒成立，此時等于0的方程兩根分別為和，①當時，此時，當時，不恒成立；②當時，此時，若滿足恒成立，只需滿足；③當時，此時，滿足恒成立．綜上可知，滿足在恒成立時，只有．故選：C.9．（多選題）（2024·高一·遼寧·階段練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．若，則且B．若，則關于的不等式的解集也為C．若，則關于的不等式的解集為或D．若為常數(shù)，且，則的最小值為【答案】ACD【解析】A選項，若，即一元二次不等式無解，則一元二次不等式恒成立，且，故A正確；B選項，令（），則、、，∴可化為，當時，可化為，其解集不等于，故B錯誤；C選項，若，則，且和是一元二次方程的兩根，，且，，，關于的不等式可化為，可化為，，，解得或，即不等式的解集為或，故C正確；D選項，為常數(shù)，且，，，，令，則，，當且僅當，則，且為正數(shù)時，等號成立，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.10．（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）為配制一種藥液，進行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的75％，則V的可能取值為（

）．A．4 B．40 C．8 D．28【答案】CD【解析】第一次稀釋后，藥液濃度為，第二次稀釋后，藥液濃度為，依題意有，即，解得，又，即，所以.故選：CD.11．（多選題）（2024·高一·浙江溫州·開學考試）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．關于x的不等式的解集可以是B．關于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個零點D．“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】對A，若不等式的解集是，則且，得，而當，時，不等式，即，得，與矛盾，故A錯誤；對B，取，，此時不等式的解集為，故B正確；對C，取，，則由，得或3，故C正確；對D，若關于x的方程有一個正根和一個負根，則，得，若，則，故關于x的方程有兩個不等的實根，，且，關于x的方程有一個正根和一個負根.因此“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”，故D正確.故選：BCD.12．（多選題）（2024·高三·浙江紹興·期末）已知，關于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【答案】ACD【解析】當時，；當時，或，故A正確；當時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD13．（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）已知是關于的方程的兩個實數(shù)根，若，則的值為．【答案】或【解析】由是關于的方程的兩個實數(shù)根，則，，因為，故，即，所以，化簡得，解得或故答案為：或.14．（2024·高一·浙江寧波·專題練習）對實數(shù)，.定義運算“”為:.已知關于的方程.若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值是，若該方程有兩個不等負根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以，又，所以，即，若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則，解得；若該方程有兩個不等負根，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；15．（2024·高一·上海·隨堂練習）整數(shù)使關于的不等式組解集中的整數(shù)只有-2，則由的值組成的集合為．【答案】【解析】由，得或，由，得，當時，，無解，不合題意；當時，，則原不等式組的解集中不包含，不合題意；當時，，因為原不等式組的解集中只有一個整數(shù)-2如圖，結合數(shù)軸可知，，，所以.故答案為：.16．（2024·高一·全國·專題練習）已知集合，.若“命題，”是真命題，求的取值范圍【解析】由題意可知，即，若“命題，”是真命題，則，所以，故的取值范圍為：.17．（2024·高一·上海·課堂例題）設，解下列關于x的不等式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）當時，由解得：或；當時，由得，所以；當時，由解得：或.綜上，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為R；當時，原不等式的解集為或.（2）當時，由解得：或；當時，由得，所以；當時，由解得：或.綜上，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.（3）由得：，解得或，所以原不等式的解集為或.18．（2024·高一·上?！ふn堂例題）利用函數(shù)與不等式的關系，在時，求解實系數(shù)一元二次不等式．【解析】令，因為，所以圖象開口向下，又，當時，無解，圖象恒在軸下方，此時的解集為，當時，恰有一解，圖象與軸有一個交點，此時的解集為，當，有兩解，，且，此時的解集為或，所以，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為或.19．（2024·高一·湖北咸寧·期末）已知關于的不等式.(1)若，求不等式的解集；(2)解關于的不等式.【解析】（1）由，當時，可得解集為.