江蘇省蘇北四市（徐連淮宿）2025屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題(含答案)

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省蘇北四市（徐連淮宿）2025屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|y=1?x}，則A∩B=A.(?1,1] B.[?1,1] C.(?1,1) D.[0,2]2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i?1，則|z|=(

)A.22 B.24 C.3.已知向量a=(3,2m)，b=(m+1,?2)，若|a+bA.3 B.?3 C.4 D.04.在矩形ABCD中，AB=2BC，則以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為(

)A.5?12 B.3?125.若f(x)=x(42ax+1?a)A.14 B.12 C.1 6.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(x1)=f(x2)=A.23 B.1 C.32 7.已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面積為47，則該四棱錐的外接球的表面積為(

)A.83π B.323π C.8.定義：A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)間的“M距離”為|x2?xA.4c(a?c) B.4a(a?c) C.2(a2?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)甲袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取1個(gè)球放入乙袋，用事件A1，A2分別表示從甲袋中取出的是白球和紅球.再從乙袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，用事件B表示從乙袋中取出的是白球，則(

)A.A1，A2互斥 B.A1與B相互獨(dú)立 C.P(B|10.已知α，β為銳角，cos(α+β)=35，tanα+A.sinαcosβ=310 B.cos(α?β)=111.已知數(shù)列a，b，c，d，前三項(xiàng)a，b，c成等差數(shù)列，且公差不為0，后三項(xiàng)b，c，d成等比數(shù)列，則(

)A.當(dāng)a+b+c>0時(shí)，d>0

B.當(dāng)a<c時(shí)，b<d

C.當(dāng)a+d=4，b+c=3時(shí)，a=0或a=154

D.sina，sinb，第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，A=π3，AB=8，cosC=?17，則13.寫出一條與圓x2+y2?3y+1414.已知函數(shù)f(x)=13x3?ax2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)某新能源汽車公司對其銷售的A，B兩款汽車向消費(fèi)者進(jìn)行滿意度調(diào)查，從購買這兩款汽車消費(fèi)者中各隨機(jī)抽取10名進(jìn)行評分調(diào)查(滿分100分)，評分結(jié)果如下：數(shù)據(jù)Ⅰ(A型車):67，81，73，80，81，77，86，85，90，90;數(shù)據(jù)Ⅱ(B型車):61，76，81，67，72，87，86，95，93，90．(1)求數(shù)據(jù)Ⅰ的25百分位數(shù);(2)該公司規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3人溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中購買B型車的消費(fèi)者人數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．16.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，AA1(1)證明：BD⊥(2)當(dāng)cos∠A1AC=1317.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ex(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍．18.(本小題17分)已知雙曲線C:x2a2?y2b(1)求C的方程;(2)過F1的直線l分別交C的左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，直線BF2交C?①若S△PF1F?②是否存在常數(shù)λ，使得1kAF2+119.(本小題17分)定義：S(m)表示正整數(shù)m的各位數(shù)之和，如：S(2025)=2+0+2+5=9.記an(1)求a1和(2)求數(shù)列{an(3)若正整數(shù)m的各位數(shù)非零且成等差數(shù)列，S(m2)=2S(m)答案和解析1.B

【解析】解：集合A={x|?1≤x≤2}，即A=[?1,2]，

B={x|y=1?x}=x|1?x?0=x|x?1

即B=?∞,1,2.C

【解析】解：因?yàn)?1+i)z=2i?1，

所以z=?1+2i1+i=(?1+2i)(1?i)1+i1?i=1+3i2=12+3.A

【解析】解：因?yàn)閍=(3,2m)，b=(m+1,?2)，|a+b|=|即a2+2a即可得3(m+1)?4m=0，解得m=3．

故選：A．4.A

【解析】解：|AB|=2|BC|=2c，則|AC|=AB2+BC2=5c，

因?yàn)镃在橢圓上，所以由橢圓定義知：|CA|+|CB|=2a，5.D

【解析】解：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，

則?x(42?ax+1?a)=x(42ax+1?a)，

即

4·26.A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，滿足f(x1)=f(x2)=32，

不妨令ωx1+φ=π3+2kπ，ωx7.B

【解析】解：設(shè)正四棱錐的斜高為?0，高為?，外接球的半徑為R，

因?yàn)檎睦忮F側(cè)面積為47，

則4×12×2×?0=47，解得?0=7，

則正四棱錐的高?=8.C

【解析】解：設(shè)M(x,y)，則“M橢圓”方程是x?c+y+x+c+y=2a，

即x?c+x+c+2y=2a，

易得“M橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱，

研究“M橢圓”在第一象限圖象，

當(dāng)0?x?c，y?0時(shí)，方程為y=a?c，是一條線段，端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,a?c)，(c,a?c)，

當(dāng)x>c，y?0時(shí)，方程為x+y=a，表示一條線段，端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(c,a?c)，(a,0)，

結(jié)合曲線的對稱性，“M橢圓”大致圖象如圖：

四邊形OACB是直角梯形，上底長為c，下底長為a，高為a?c，

梯形OACB面積為19.AC

【解析】解：由題意

A1，

A2

是互斥的事件，故A正確；

且P(A1)=

25，P(A2)=35，P(B|A2)=P(A2B)P(A2)=

35×1435=

14，故C10.BCD

【解析】解：α，β為銳角，cos(α+β)=35，

可得sin(α+β)=1?cos2(α+β)=1?352=45，①

tanα+tanβ=1，得sinαcosα+sinβcosβ=sin(α+β)cosαcosβ=1，②

由①②得

cosαcosβ=45，

又cos(α+β)=35，得sinαsinβ=15，

則cos(α?β)=cosαcosβ+11.ACD

【解析】解：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，b，c，d成等比數(shù)列，

所以a+c=2b，c2=bd，

對于A，當(dāng)a+b+c>0時(shí)，

則3b>0，即b>0，

又c≠0，所以c2=bd>0，所以d>0，故A正確；

對于B，取a=?8,b=?2,c=4,d=?8滿足a，b，c成等差數(shù)列，b，c，d成等比數(shù)列，

又a<c，但b>d，故B錯(cuò)誤；

對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為m，m≠0，

則b=a+m,c=a+2m,d=a+2m2a+m，

因?yàn)閍+d=4，b+c=3，

所以a+a+2m2a+m=42a+3m=3,

解得a=0m=1或a=154m=?32，故C正確；

若sina，sinb，sinc成等比數(shù)列，

則sin2b=sinasinc，

所以12(1?cos2b)=sinasinc，

∴1?cos2b=2sinasinc，

∴1=cos2b+2sinasinc，

12.3

【解析】解：在?ABC中，由cos?C=?17，

可得sin?C=1?cos2C=437，

由正弦定理得，ABsinC=BCsinA，即8437=BC13.y=x?12或

y=?x?1【解析】解：設(shè)公切線與拋物線x2=2y切于點(diǎn)M(x0,12x02)，而y′=

x，

所以M處的公切線方程為y?12x02=x0(x?x0)，

即x0x?y?12x02=0，

14.(?1【解析】解：f(x)=13x3?ax2?3a2x的定義域?yàn)镽，

f′(x)=x2?2ax?3a2=(x?3a)(x+a)，

①：當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=x2≥0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，

則不等式恒成立，滿足題意；

②：當(dāng)a>0時(shí)，3a>?a，

令f′(x)>0，可得x>3a或x<?a，

令f′(x)<0，可得?a<x<3a，

故f(x)在(?∞,?a)，(3a,+∞)上單調(diào)遞增，在(?a,3a)上單調(diào)遞減，

又2a?1?3a=?1?a<0，則2a?1<3a，

所以要使不等式成立，只需滿足2a?1≠?a，且a>0，即a≠13，且a>0，

③：當(dāng)a<0時(shí)，?a>3a，令f′(x)>0，可得x>?a或x<3a，令f′(x)<0，可得3a<x<?a，

故f(x)在(?∞,3a)，(?a,+∞)上單調(diào)遞增，在(3a,?a)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒(?a)=15.解：(1)將數(shù)據(jù)Ⅰ從小到大排列為：67，73，77，80，81，81，85，86，90，90．

因?yàn)?0×25%=2.5，所以數(shù)據(jù)Ⅰ的25百分位數(shù)為77；

(2)數(shù)據(jù)Ⅰ中75分以下的有67分，73分，

數(shù)據(jù)Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分，

所以上述不滿意的消費(fèi)者共5人，其中A車型中2人，B車型中3人，

所以X的所有可能取值為1，2，3，

P(X=1)=C22C31C53=310，

P(X=2)=C2116.解：(1)證明：

在等邊三角形ABC中，D為AC中點(diǎn)，

所以BD⊥AC，

因?yàn)閭?cè)面ACC1A1⊥底面ABC，側(cè)面ACC1A1∩底面ABC=AC，

BD?平面ABC，所以BD⊥平面ACC1A1，

又因?yàn)锳1C?平面ACC1A1，

所以BD⊥A1C；

(2)在△A1AC中，AA1=3，AC=2，

所以A1C2=AA12+AC2?2AA1?ACcos∠A1AC=9+4?2×3×2×13=9，

所以A1C=3，

所以△A1AC是等腰三角形，

又D為AC中點(diǎn)，所以A1D⊥AC，

由(1)知，BD⊥AC，AC∩A1C=C,AC,A1C?平面ACC1A1BD⊥平面ACC1A1，

又A1D?平面ACC1A1，

所以BD⊥A1D，

所以DB，DC，DA1兩兩垂直，

以D為原點(diǎn)，DB，DC17.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=ex?2sinx，f′(x)=ex?2cosx，

則f′(0)=e0?2cos0=?1，又f(0)=e0?2sin0=1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為x+y?1=0；

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，由0≤x≤π可知f(x)=ex?ax0(0,π(πg(shù)′+0?g↗極大值↘所以g(x)max=g(π4)=22eπ4=12e18.解：(1)由題意得2c=4ba=33c2=a2+b2，

解得a=3b=1，所以C的方程為x23?y2=1；

(2)①設(shè)BF2:x=m1y+2，l:x=m2y?2，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，

由x=m1y+2x23?y2=1，得(m12?3)y2+4m1y+1=0，

則m12?3≠0Δ>0y2+y3=?4m1m12?3y2y3=1m12?3,

由19.解：(1)a1=m=19S(m)=S(1)+S(2)+S(3)+?+S(9)

=1+2+3+?+9=45，

a2=m=1099S(m)=m=1019S(m)+m=2029S(m)+?+m=9099S(m)

=(10+45)+(20+45)+?+(90+45)=9[(10+45)+(90+45)]2=855；

(2)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Tn，

則an+1=10n(1+2+3+?+9)+9(a1+a2+?+an)，

即an+1=45×10n+9Tn，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=45×10n