2024-2025學年高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程3.1.2橢圓的簡單性質(zhì)課時作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE1課時作業(yè)13橢圓的簡潔性質(zhì)時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．若橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率e＝eq\f(\r(10),5)，則m的值是(B)A．3 B．3或eq\f(25,3)C.eq\r(15) D.eq\r(5)或eq\f(5\r(15),3)解析：若焦點在x軸上，則a＝eq\r(5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),5)得c＝eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦點在y軸上，則b2＝5，a2＝m.∴eq\f(m－5,m)＝eq\f(2,5)，∴m＝eq\f(25,3).所以m的值為3或eq\f(25,3).2．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是(D)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由右焦點為F(1,0)可知c＝1，因為離心率等于eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故選D.3．已知點(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則2m＋4的取值范圍是(A)A．[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)] B．[4－eq\r(3)，4＋eq\r(3)]C．[4－2eq\r(2)，4＋2eq\r(2)] D．[4－eq\r(2)，4＋eq\r(2)]解析：由8x2＋3y2＝24，得eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,8)＝1.∴－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，4－2eq\r(3)≤2m＋4≤4＋2eq\r(3).4．橢圓的焦距、短軸長、長軸長構(gòu)成一個等比數(shù)列，則橢圓的離心率為(A)A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：依題意4b2＝4ac，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c,a)，即1－e2＝e.∵在橢圓中a2＝b2＋c2，∴e2＋e－1＝0.∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)(舍去負值)．5．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：依據(jù)條件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b＝2，橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.6．設F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝eq\f(3a,2)上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：由題意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝2c.∴3a＝4c.∴e＝eq\f(3,4).7．橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是(B)A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)] B．[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C．[eq\f(1,2)，1] D．[eq\f(3,4)，1]解析：如圖：直線A2M的方程為y＝－(x－2)＝2－x.代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12，整理得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝eq\f(16,7)，∴x＝eq\f(2,7).∴M點坐標為(eq\f(2,7)，eq\f(12,7))．同理可得N點坐標為(eq\f(26,19)，eq\f(24,19))．∴kA1M＝eq\f(\f(12,7),\f(2,7)＋2)＝eq\f(3,4)，kA1N＝eq\f(\f(24,19),\f(26,19)＋2)＝eq\f(3,8).∴直線PA1斜率的取值范圍是[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]．8．已知P(m，n)是橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一個動點，則m2＋n2的取值范圍是(B)A．(0,1] B．[1,2]C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：因為P(m，n)是橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一個動點，所以m2＋eq\f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故選B.二、填空題9．橢圓的短軸長大于其焦距，則橢圓的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).解析：由題意2b>2c，即b>c，即eq\r(a2－c2)>c，∴a2－c2>c2，則a2>2c2.∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，∴0<e<eq\f(\r(2),2).10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是eq\f(\r(3),3).解析：如圖，因為△ABF2是正三角形，所以∠AF2B＝60°，因為直線AB與橢圓長軸垂直，所以F2F1是正三角形ABF2的高，∠AF2F1＝eq\f(1,2)×60°＝30°，Rt△AF2F1中，設|AF1|＝m，sin30°＝eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,2)，所以|AF2|＝2m，|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)m因此，橢圓的長軸2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m，焦距2c＝eq\r(3)m，所以橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).11．設F1、F2分別為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，則點A的坐標是(0,1)或(0，－1)．解析：如圖，設直線AB與x軸交于點N(n,0)，∵eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴eq\f(|NF2|,|NF1|)＝eq\f(1,5)，∴eq\f(n－\r(2),n＋\r(2))＝eq\f(1,5)，∴n＝eq\f(3\r(2),2).設直線AB方程為x＝my＋eq\f(3\r(2),2)，代入橢圓方程，得：(m2＋3)y2＋3eq\r(2)my＋eq\f(3,2)＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－eq\f(3\r(2)m,m2＋3)，y1y2＝eq\f(3,2m2＋3)，由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，得y1＝5y2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6y2＝－\f(3\r(2)m,m2＋3)，,5y\o\al(2,2)＝\f(3,2m2＋3)，))∴eq\f(5m2,2m2＋32)＝eq\f(3,2m2＋3)，∴m＝±eq\f(3\r(2),2)，∴y2＝±eq\f(1,5)，從而y1＝±1，∴A點坐標為(0，±1)．三、解答題12．求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12；(2)對稱軸是坐標軸，一個焦點是(0,7)，一個頂點是(9,0)．解：(1)依題意設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12，∴2a＝12，即a＝6.∵橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(36－b2),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴b2＝9.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由題意知橢圓的焦點在y軸上，可設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則b＝9，c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,130)＋eq\f(x2,81)＝1.13．設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點坐標．解：(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)．設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中點坐標eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．——實力提升類——14．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，右頂點為A，點M的橫坐標為eq\f(9,2)，設MF與橢圓交于點P，直線PA，MA的斜率分別為k1，k2，則k1k2的取值范圍是(－∞，－eq\f(26,9))．解析：如圖所示，設P(x0，y0)，M(eq\f(9,2)，y1)，又F(－2,0)，A(3,0)，則直線PF的方程為y＝eq\f(y0,x0＋2)(x＋2)．令x＝eq\f(9,2)，得y1＝eq\f(13y0,2x0＋2)，即M(eq\f(9,2)，eq\f(13y0,2x0＋2))，于是得k1＝eq\f(y0,x0－3)，k2＝eq\f(13y0,3x0＋2)，所以k1k2＝eq\f(13y\o\al(2,0),3x0－3x0＋2).由點P在橢圓上，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(5,9)(9－xeq\o\al(2,0))，代入得k1k2＝eq\f(13,3x0－3x0＋2)×eq\f(5,9)(9－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(65,27)(1＋eq\f(1,x0＋2))．因為點P是線段FM與橢圓的交點，則點P只可能在直線x＝－2的右側(cè)且異于點A，即x0∈(－2,3)，所以1＋eq\f(1,x0＋2)>eq\f(6,5)，故k1k2<－eq\f(26,9).15．已知，橢圓C過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，兩個焦點為(－1,0)，(1,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，假如直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．解：(1)由題意c＝1，由定義|F1A|＋|F2A|＝eq\r(4＋\f(9,4))＋eq\r(\f(9,4))＝4＝2a，∴a＝2，∴b＝eq\r(3)，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)證明：設直線AE方程為：y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0，設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，因為點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,