福建省福州市福州則徐中學(xué)2020-2021學(xué)年8下期中試卷（解析版）

晉安區(qū)2020-2021學(xué)年第二學(xué)期期中七校聯(lián)考初二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若二次根式有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列式求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義∴x﹣3≥0，即：x≥3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零．2.下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的條件：①被開方數(shù)不能含有開得盡方的數(shù)，②被開方數(shù)不能含有分母，由此可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、是最簡(jiǎn)二次根式，故符合題意；C、，故不符合題意；D、，故不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式條件是解題的關(guān)鍵．3.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)角線相等C.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線互相垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形、菱形及正方形的性質(zhì)可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：∵矩形的對(duì)角線互相平分且相等，菱形的對(duì)角線互相平分且垂直且平分每一組對(duì)角，正方形的對(duì)角線具有矩形和菱形所有的性質(zhì)，∴矩形、菱形和正方形的對(duì)角線都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形及正方形的性質(zhì)，熟練掌握矩形、菱形及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.下列運(yùn)算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、，故不符題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、無法計(jì)算，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，且AB∥CD，添加下列哪個(gè)條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB＝CD B.AD∥BC C.OA＝OC D.AD＝BC【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、若添加AB=CD可根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；B、若添加AD∥BC可根據(jù)“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；C、由AB∥CD可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，結(jié)合OA=OC可證△ABO≌△CDO（AAS），然后可得OB=OD，進(jìn)而根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定，故不符合題意；D、若添加AD=BC不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6.如圖，矩形OABC，OA＝2，AB=1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，交正半軸于一點(diǎn)，則此點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）A.2.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠OAB=90°，然后根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，∴∠OAB=90°，∵OA＝2，AB=1，∴，∴這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.△ABC三邊分別為a、b、c，下列能說明△ABC是直角三角形的是（）A.b2＝a2﹣c2 B.a∶b∶c＝1∶2∶2C.2∠C＝∠A＋∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、由可根據(jù)勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合題意；B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，則△ABC是等腰三角形，故不符合題意；C、由2∠C＝∠A＋∠B結(jié)合三角形內(nèi)角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合題意；D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和，熟練掌握勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．8.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題．“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”秋于的繩索始終拉的很直，則繩索長為（）A.15.5尺 B.14.5尺 C.13.5尺 D.12.5尺【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，作BE垂直于地面，延長OA交地面于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得CD=BE=5尺，BC=10尺，設(shè)繩索長為x尺，進(jìn)而可得OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，作BE垂直于地面，延長OA交地面于點(diǎn)D，如圖所示：由題意知CD=BE=5尺，BC=10尺，AD=1尺，設(shè)繩索長為x尺，∴OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，∴在Rt△OCB中，，即，解得：，∴繩索長為14.5尺；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9.把圖1的矩形紙片ABCD折疊，B、C兩點(diǎn)恰好重合落在AD邊上的點(diǎn)P處（如圖2），已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，則矩形ABCD的面積為（）A.12 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意易得MN=5，然后可得Rt△MPN的高，進(jìn)而可得矩形的寬AB的長，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BC的長，最后問題可求解．【詳解】解：∵∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，∴，設(shè)Rt△MPN斜邊上的高為h，則矩形的寬AB即為h，∴根據(jù)直角三角形的面積公式可得：，由折疊的性質(zhì)知，，∴矩形的面積為；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形與折疊性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在正方形OABC中，OA＝6，點(diǎn)E、F分別在邊BC，BA上，OE＝，若∠EOF＝45°，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延長BA到點(diǎn)M，使AM=CE，連接OM，由題意易得△OCE≌△OAM，則有OE=OM，∠COE=∠AOM，然后可得∠EOF=∠MOF，進(jìn)而可得△EOF≌△MOF，則有FM=EF，根據(jù)勾股定理可得CE=3，設(shè)AF=x，則EF=3+x，BE=3，BF=6-x，最后根據(jù)勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：延長BA到點(diǎn)M，使AM=CE，連接OM，如圖所示：∵四邊形OABC是正方形，OA＝6，∴，∴△OCE≌△OAM，∴OE=OM，∠COE=∠AOM，∵∠EOF＝45°，∴，∴，∴∠EOF=∠MOF，∵OF=OF，OE=OM，∴△EOF≌△MOF（SAS），∴，∵OE＝，∴在Rt△OEC中，，設(shè)AF=x，則EF=3+x，BE=3，BF=6-x，∴在Rt△EBF中，，∴，解得：，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為2；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、勾股定理及圖形與坐標(biāo)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理及圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）11.在菱形ABCD中，AB＝2，則菱形的周長是___．【答案】8cm【解析】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由菱形的四條邊相等可得：菱形的周長為2×4=8cm，故答案為8cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.請(qǐng)寫出“全等三角形的面積相等”的逆命題___．【答案】面積相等兩個(gè)三角形全等【解析】【分析】根據(jù)逆命題的概念可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：“全等三角形的面積相等”的逆命題為面積相等的兩個(gè)三角形全等；故答案為面積相等的兩個(gè)三角形全等．【點(diǎn)睛】本題主要考查逆命題，熟練掌握逆命題的概念：把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題．13.如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為2cm2和8cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為___cm2．【答案】2【解析】【分析】由題意易得這兩張正方形紙片的邊長分別為，則有，然后根據(jù)割補(bǔ)法可求解．【詳解】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為2cm2和8cm2，∴這兩張正方形紙片的邊長分別為，∴，∴空白部分的面積為；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知∠AOB=60°，AB＝2，則AC的長為___．

【答案】4【解析】【分析】由題意易得AO=BO，然后可得△AOB為等邊三角形，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO，AC=2AO，∵∠AOB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∵AB＝2，∴AO=BO=AB=2，∴AC=4；故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且a＋c＝27，a-c=3，則b的值是___．【答案】9【解析】【分析】由題意易得a=15，c=12，然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵a＋c＝27，a-c=3，∴a=15，c=12，∵∠BAC＝90°，∴；故答案為9．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA=12，AC＝16，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為___．【答案】【解析】【分析】連接AD，EF，由題意易得BC=20，然后可得四邊形DEAF是矩形，進(jìn)而可得當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值為最小，然后可得GF的最小值．【詳解】解：連接AD，EF，如圖所示：∵∠BAC＝90°，且BA=12，AC＝16，∴，∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF=AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD值為最小，∵，∴，∴EF的最小值為，∵點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共9個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟．）17.計(jì)算：（1）（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可得到答案；（2）先利用平方差公式和整式的計(jì)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．18.如圖，在四邊形ABCD中，，．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】連接證明再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：連接四邊形ABCD中，，，【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形，利用證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.19.如圖，已知正方形CDEF的邊長為13cm，且AC⊥AF，AB=3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，試判斷△ABC的形狀，并說明理由【答案】△ABC是直角三角形，理由見詳解【解析】【分析】由題意易得FC=13cm，則根據(jù)勾股定理可得AC=5cm，然后再根據(jù)勾股定理逆定理可求解問題．【詳解】解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵正方形CDEF的邊長為13cm，∴FC=13cm，∵AC⊥AF，AF＝12cm，∴，∵AB=3cm，BC＝4cm，∴，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．20.如圖在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝．（2）若點(diǎn)A在網(wǎng)格所在的坐標(biāo)平面里的坐標(biāo)為（1，﹣2），請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)D．并作出以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形．直接寫出滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）135°，；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或【解析】【分析】（1）直接利用網(wǎng)格得出∠ABC的度數(shù)，再利用勾股定理可求BC的長；（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可進(jìn)行求解點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由圖可得：，由勾股定理可得：；故答案為135°，；（2）由點(diǎn)A在網(wǎng)格所在的坐標(biāo)平面里的坐標(biāo)為（1，﹣2），可建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，滿足條件的點(diǎn)D共有3個(gè)，以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形分別是：，如圖，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．21.求證：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（根據(jù)題意畫出圖形，并寫出已知、求證和證明過程）【答案】見詳解【解析】【分析】根據(jù)命題先寫出已知、求證和作圖，然后再根據(jù)題意證明求解即可．【詳解】解：已知：如圖，在中，AC=BD，求證：平行四邊形ABCD是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的判定及三角形全等，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到．22.下面是小蘭探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：．特例2：．特例3：．特例4：．（舉一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）（2）觀察、歸納，得出猜想．若n為大于1的正整數(shù)，用含n的式子表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律：．（3）請(qǐng)證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】（1）；（2）；（3）見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給規(guī)律可直接進(jìn)行求解；（2）由（1）及題意總結(jié)規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)分式的運(yùn)算及二次根式的化簡(jiǎn)可直接進(jìn)行證明．【詳解】解：（1）由題中所給特例可得：特例4為；故答案為；（2）∵n為大于1的正整數(shù)，∴觀察例子可得用含n的式子表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律為；故答案為；（3）證明如下：∵n為大于1的正整數(shù)，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及分式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．23.如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D，F(xiàn)分別是AC、AB的中點(diǎn)，CE∥DB，BE∥DC．（1）求證：四邊形DBEC是菱形；（2）若AD＝6，DF＝2，求四邊形DBEC的面積．【答案】（1）見詳解；（2）四邊形DBEC的面積為【解析】【分析】（1）由題意易得四邊形DBEC是平行四邊形，DC=DB，然后問題可求證；（2）連接DE，由三角形中位線可得BC=4，則有CD=AD=6，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)可得DE的長，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DC=DB，∴四邊形DBEC是菱形；（2）解：連接DE，如圖所示：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AD＝6，∴DC=AD=6，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴DF是△DCB的中位線，∵DF＝2，∴BC=2DF=4，∵四邊形DBEC是菱形，∴DE⊥BC，，在Rt△CDO中，∴，∴，∴四邊形DBEC的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．24.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB，連接PD，O為AC中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說明理由．②圖2，試用等式來表示PB、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）PD=PE且PD⊥PE，理由見詳解；（2）①（1）中猜想成立，理由見詳解；②，證明見詳解．【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上，利用三角形的全等判定可以得出問題；（2）①利用三角形全等得出BP=PD，由PB=PE可得PE=PD，要證PE⊥PD可從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，分別分析即可求解；②連接DE，由①知PE=PD，PE⊥PD，由勾股定理可得，由四邊形ABCD是正方形可得BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，根據(jù)知，然后結(jié)合PE=PB可求解．【詳解】解：（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵PC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，∵PE=PB，∴PD=PE，∠PBC=∠PEB，∴∠PDC=∠PEB，∴∠PDC+∠PEC=180°，由四邊形PECD內(nèi)角和為360°，∴∠DPE+∠DCE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DPE=90°，∴PD=PE且PD⊥PE；（2）①（1）中結(jié)論仍成立，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PD=PE，a、當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)PE⊥PD；b、當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖所示：∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∴∠CDP=∠CBP，∵BP=PE，∴∠CBP=∠PEC，∴∠PDC=∠PEC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，綜上所述：PD=PE且PD⊥PE仍成立；②數(shù)量關(guān)系：，證明如下：如圖2，連接DE，由①可得PD=PE且PD⊥PE，∴，∵四邊形ABCD是正方形，