2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.5增長速度的比較學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-4.5增長速度的比較素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.能利用函數(shù)的平均變更率，說明函數(shù)的增長速度．2．比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會常見函數(shù)的增長速度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．必備學(xué)問·探新知學(xué)問點函數(shù)的平均變更率(1)定義：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變更率為eq\f(Δf,Δx)＝__eq\f(fx2－fx1,x2－x1)__．(2)實質(zhì)：___函數(shù)值__的變更量與自變量的變更量之比．(3)理解：自變量每增加1個單位，函數(shù)值將增加__eq\f(Δy,Δx)__個單位．(4)應(yīng)用：比較函數(shù)值變更的快慢．思索：對于函數(shù)f(x)＝x＋1，g(x)＝4x－3，當(dāng)Δx足夠大時，對于x∈R，f(x0＋Δx)，g(x0＋Δx)的大小關(guān)系能確定嗎？提示：當(dāng)Δx足夠大時，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)．學(xué)問點三種常見函數(shù)模型的增長差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增減性__增函數(shù)__增函數(shù)__增函數(shù)__圖像的變更隨x的增大漸漸變“陡”隨x的增大漸漸趨于穩(wěn)定隨x的增大勻速上升增長速度y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝logax的增長增長后果會存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，有ax＞kx＞logax思索：指數(shù)增長和線性增長中增長速度哪一個大？提示：指數(shù)增長．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型比較函數(shù)值增加的快慢┃┃典例剖析__■典例1已知函數(shù)y＝4x，分別計算函數(shù)在區(qū)間[1,2]與[3,4]上的平均變更率，并說明，當(dāng)自變量每增加1個單位時，函數(shù)值的變更規(guī)律．[分析]依據(jù)平均變更率的公式進(jìn)行計算，再說明變更規(guī)律．[解析]因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x2－4x1,x2－x1)＝eq\f(4x14x2－x1－1,x2－x1)，所以y＝4x在區(qū)間[1,2]上的平均變更率為eq\f(4142－1－1,2－1)＝12，在區(qū)間[3,4]上的平均變更率為eq\f(4344－3－1,4－3)＝192，所以當(dāng)自變量每增加1個單位時，區(qū)間的左端點越大，函數(shù)值增加越快．規(guī)律方法：平均變更率在探討函數(shù)值增加快慢中的應(yīng)用(1)計算函數(shù)在不同區(qū)間上的平均變更率，利用平均變更率的大小比較函數(shù)值增加的快慢．(2)平均變更率的大小也代表了區(qū)間的端點處的曲線上兩點連線斜率的大小，通過直線可以直觀視察函數(shù)值的變更對曲線變更趨勢的影響．┃┃對點訓(xùn)練__■1．已知函數(shù)y＝x2－2x－3．(1)分別計算函數(shù)在區(qū)間[1,2]與[3,4]上的平均變更率，分析當(dāng)自變量每增加1個單位時，函數(shù)值變更的規(guī)律；(2)設(shè)f(x)＝x2－2x－3.記A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，比較直線AB的斜率與直線CD的斜率的大小關(guān)系．[解析](1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x\o\al(2,2)－2x2－3－x\o\al(2,1)－2x1－3,x2－x1)＝x2＋x1－2，所以在區(qū)間[1,2]上的平均變更率為1，在區(qū)間[3,4]上的平均變更率為5，所以自變量每增加1個單位，區(qū)間長不變的條件下，端點之和越大，函數(shù)值增加越快．(2)直線AB的斜率為1，直線CD的斜率為5，直線AB的斜率小于直線CD的斜率．題型比較函數(shù)的平均變更率大小┃┃典例剖析__■典例2已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比較這三個函數(shù)在區(qū)間[a，a＋1](a＞1)上的平均變更率的大小．[分析]計算出平均變更率，再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小．[解析]因為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝2×3a，eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(2a＋1－2a,a＋1－a)＝2，eq\f(Δh,Δx)＝eq\f(log3a＋1－log3a,a＋1－a)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，又因為a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))＜log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))＝log32＜log33＝1＜6，因此在區(qū)間[a，a＋1]上，f(x)的平均變更率最大，h(x)的平均變更率最小．規(guī)律方法：不同函數(shù)平均變更率大小的比較計算不同的函數(shù)在同一個區(qū)間上的平均變更率；利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，一般選取一個中間值進(jìn)行比較，以確定平均變更率的大?。Зc訓(xùn)練__■2．已知函數(shù)f(x)＝4x，g(x)＝5x，分別計算這兩個函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的平均變更率，并比較它們的大?。甗解析]eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(43－42,3－2)＝48，eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(53－52,3－2)＝100，所以在區(qū)間[2,3]上f(x)的平均變更率比g(x)的?。}型函數(shù)增長速度的應(yīng)用┃┃典例剖析__■角度1增長曲線的選擇典例3高為H，滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的大致圖像是(B)[解析]當(dāng)h＝H時，體積是V，解除A，C，h由0變到H的變更過程中，V的變更起先時增長速度越來越快，類似于指數(shù)型函數(shù)的圖像，后來增長速度越來越慢，類似于對數(shù)型函數(shù)模型，綜合分析知選B．角度2函數(shù)變更率大小的應(yīng)用典例4函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖像如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖像示意圖，推斷f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大?。甗分析](1)依據(jù)兩類函數(shù)圖形的特征推斷．(2)由圖像的交點坐標(biāo)分界，利用圖像凹凸推斷大?。甗解析](1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x．(2)因為f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2020＞x2，從圖像上可以看出，當(dāng)x1＜x＜x2時，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)；當(dāng)x＞x2時，f(x)＞g(x)，所以f(2020)＞g(2020)；又因為g(2020)＞g(6)，所以f(2020)＞g(2020)＞g(6)＞f(6)．┃┃對點訓(xùn)練__■3．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖像如圖所示：(1)試依據(jù)函數(shù)增長差異找出曲線C1，C2對應(yīng)的函數(shù)；(2)比較函數(shù)增長差異(以兩圖像交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．[解析](1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx．(2)當(dāng)x＜x1時，g(x)＞f(x)；當(dāng)x1＜x＜x2時，f(x)＞g(x)；當(dāng)x＞x2時，g(x)＞f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．易錯警示┃┃典例剖析__■典例5下列四種說法中，正確的是(D)A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．?x＞0，xn＞logaxC．?x＞0，ax＞logaxD．不肯定存在x0，當(dāng)x＞x0時，總有ax＞xn＞logax[辨析]四類增長函數(shù)模型是有前提的：一次函數(shù)模型中要求k＞0，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型要求底數(shù)a＞1，冪函數(shù)模型要求指數(shù)n＞0.當(dāng)一次函數(shù)模型中k＜0，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型中底數(shù)0＜a＜1，冪