2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.1.1第2課時分層抽樣學案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-第2課時分層抽樣素養(yǎng)目標·定方向課程標準學法解讀1.通過實例，了解分層抽樣的特點和運用范圍．2．了解分層抽樣的必要性，駕馭各層樣本量比例安排的方法．通過分層抽樣的學習，提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)．必備學問·探新知學問點分層抽樣1．定義一般地，假如相對于要考察的問題來說，總體可以分成有__明顯差別__的、__互不重疊__的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按__層在總體中所占比例__進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣)思索1：如何理解“層在總體中所占比例”？提示：從N個個體中抽取n個個體，若將總體分為A，B，C三層，含有的個體數(shù)目分別是x，y，z，在A，B，C三層應抽取的個體數(shù)目分別是a，b，c，那么eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)＝eq\f(n,N)．2．應用的廣泛性(1)分層抽樣所得到的樣本，一般更具有代表性，可以更精確地反映總體的特征，尤其是在層內(nèi)個體相對同質(zhì)而層間差異較大時更是如此．(2)分層抽樣在各層中抽樣時，還可依據(jù)各層的特點敏捷地選用不同的隨機抽樣方法．(3)想同時獲得總體的信息和各層的內(nèi)部信息時，常采納分層抽樣．思索2：簡潔隨機抽樣和分層抽樣的聯(lián)系和區(qū)分是什么？提示：類別簡潔隨機抽樣分層抽樣各自特點從總體中逐個抽取將總體分成幾層，分層進行抽取相互聯(lián)系在各層抽樣時采納簡潔隨機抽樣適用范圍總體中的個體數(shù)較少總體由存在明顯差異的幾部分組成共同點①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等②每次抽出個體后不再放回，即不放回抽樣關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型分層抽樣的概念┃┃典例剖析__■典例1下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是(B)A．從10名同學中抽取3人參與座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶．為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中抽取100人調(diào)查上班途中所用的時間D．從生產(chǎn)流水線上抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量[分析]依據(jù)分層抽樣的特點選取．[解析]A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡潔隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層抽樣．規(guī)律方法：分層抽樣的依據(jù)(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的狀況．(2)樣本能更充分地反映總體的狀況．(3)等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等．┃┃對點訓練__■1．(1)分層抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一層(類)，然后每層抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必需進行(C)A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．全部層按同一抽樣比等可能抽樣D．全部層抽取的個體數(shù)量相同(2)某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是__分層抽樣__．[解析](1)保證每個個體等可能地被抽取是基本抽樣的共同特征，為了保證這一點，分層抽樣時必需在全部層都按同一抽樣比例等可能抽取．(2)因為三個年級的學生視力會存在明顯差異，因此運用分層抽樣．題型分層抽樣中的有關(guān)計算┃┃典例剖析__■典例2(1)某校有高級老師26人，中級老師104人，其他老師若干人．為了了解該校老師的工資收入狀況，若按分層抽樣從該校的全部老師中抽取56人進行調(diào)查，已知從其他老師中共抽取了16人，則該校共有老師__182__人．(2)某網(wǎng)站針對“2024年法定節(jié)假日調(diào)休支配”提出的A，B，C三種放假方案進行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35歲以下的人數(shù)20040080035歲以上(含35歲)的人數(shù)100100400①從全部參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，已知從支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．②從支持B方案的人中，用分層抽樣的方法抽取5人，這5人中在35歲以上(含35歲)的人數(shù)是多少？35歲以下的人數(shù)是多少？[解析](1)設該校其他老師有x人，則eq\f(16,x)＝eq\f(56,26＋104＋x)，解得x＝52，經(jīng)檢驗，x＝52是原方程的根，故全校老師共有26＋104＋52＝182人．(2)①由題意得eq\f(6,100＋200)＝eq\f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400)，解得n＝40．②35歲以下的人數(shù)為eq\f(5,500)×400＝4人，35歲以上(含35歲)的人數(shù)為5－4＝1人．[母題探究]將本例的條件改為“A，B，C三種放假方案人數(shù)之比為2∶3∶5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽取一個容量為n的樣本，樣本中A方案有16人”，求樣本的容量n．[解析]由于A，B，C三種放假方案人數(shù)之比為2∶3∶5，樣本中A方案有16人，則eq\f(2,10)＝eq\f(16,n)，解得n＝80．規(guī)律方法：分層抽樣中的求解技巧(1)eq\f(樣本容量n,總體的個體數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))．(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．┃┃對點訓練__■2．(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機抽樣調(diào)查，假設四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150,150,400,300名學生．為了解學生的就業(yè)傾向，用分層隨機抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學生進行調(diào)查，應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為__16__．[解析](1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)設應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為x，則eq\f(40,150＋150＋400＋300)＝eq\f(x,400)，即eq\f(40,1000)＝eq\f(x,400)，解得x＝16．題型分層抽樣的方案設計┃┃典例剖析__■典例3一個單位有職工160人，其中有業(yè)務人員112人，管理人員16人，后勤服務人員32人，為了了解職工的某種狀況，要從中抽取一個容量為20的樣本，寫出用分層抽樣的方法抽取樣本的過程．[分析]分層抽樣中各層抽取個體數(shù)依各層個體數(shù)之比來安排，確定各層抽取的個體數(shù)之后，可采納簡潔隨機抽樣在各層中抽取個體．[解析]三部分所含個體數(shù)之比為112∶16∶32＝7∶1∶2，設三部分各抽個體數(shù)為7x，x,2x，則由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員抽取個體數(shù)分別為14,2和4．對112名業(yè)務人員進行編號，用隨機數(shù)表法抽樣抽取14人．再用抽簽法可抽出管理人員和服務人員的號碼．將以上各層抽出的個體合并起來，就得到容量為20的樣本．規(guī)律方法：分層抽樣的留意事項分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采納的抽樣方法，進行分層抽樣時應留意以下幾點：(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視詳細狀況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個個體等可能入樣，全部層應采納同一抽樣比，等可能抽樣．(3)在每層抽樣時，應采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．[特殊提示]保證每個個體等可能入樣是簡潔隨機抽樣、分層抽樣共同的特征，為了保證這一點全部層按同一抽樣比，等可能抽樣．┃┃對點訓練__■3．某政府機關(guān)有在編人員100人，其中科級以上干部10人，科員70人，辦事員20人．上級機關(guān)為了了解他們對政府機構(gòu)改革的看法，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出詳細的抽樣過程．[解析]因為個體差異較大，而且機構(gòu)改革關(guān)系到各人的不同利益，故采納分層抽樣法抽?。闃舆^程如下：第一步，確定抽樣比：eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)．其次步，確定各層抽取的人數(shù)：從科級以上干部中抽取10×eq\f(1,5)＝2(人)；從科員中抽取70×eq\f(1,5)＝14(人)；從辦事員中抽取20×eq\f(1,5)＝4(人)．第三步，在各層中分別用簡潔隨機抽樣抽取，抽取科級以上干部2人，科員14人，辦事員4人．第四步，將所抽取的個體組合在一起構(gòu)成樣本．易錯警示┃┃典例剖析__■抽樣方法選擇不當導致所得樣本不具有代表性典例4某單位有職工120人，欲