2025年人民版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年人民版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷188考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、【題文】已知函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.2、為了確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文2a+b，2b+c，c+5d，2d，例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文4，7，23，8，當(dāng)接收方收到密文7，13，38，14時，則解密得到的明文是（）A.27，64，108，24B.64，27，108，24C.1，3，5，7D.1，5，3，73、若函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，則下列說法不正確的是（）A.y=f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱B.y=f（x+1）圖象關(guān)于y軸對稱C.必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立D.必有f（1+x）=f（1﹣x）成立4、函數(shù)f（x）=x2-（）x的零點有（）個．A.1B.2C.3D.45、若一元二次不等式x2+bx-a＜0的解集為{x|-2＜x＜3}，則a+b=（）A.-6B.1C.5D.66、若函數(shù)f(x)=x(2x+1)(x鈭?a)

為奇函數(shù)，則a=(

)

A.12

B.23

C.34

D.1

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)7、函數(shù)f（x）=（）x-1的定義域是____．8、已知α是第四象限角，則-α是第____象限角．9、設(shè)是R上的偶函數(shù),且在上遞減,若那么x的取值范圍是.10、已知函數(shù)f（x）=lg（2x-b）（b為常數(shù)），若x≥1時，f（x）≥0恒成立，則b的取值范圍是____．11、函數(shù)y=x2+2x+3，x∈[-3，2）的值域為____．12、【題文】下列命題中正確的是________．(填序號)

①若直線a不在α內(nèi)；則a∥α；

②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)；則l∥α；

③若l與平面α平行；則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點；

④平行于同一平面的兩直線可以相交．13、某同學(xué)從區(qū)間[﹣1，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，構(gòu)成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），該同學(xué)用隨機模擬的方法估計n個數(shù)對中兩數(shù)的平方和小于1（即落在以原點為圓心，1為半徑的圓內(nèi)）的個數(shù)，則滿足上述條件的數(shù)對約有____個．14、若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1+=3，a42=則a4=______．評卷人得分三、證明題(共6題，共12分)15、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．16、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．17、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．20、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．評卷人得分四、綜合題(共3題，共6分)21、已知點A（-2，0），點B（0，2），點C在第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線上，∠BAC=60°，那么點C的坐標(biāo)為____．22、已知拋物線y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求證：拋物線的頂點必在x軸的下方；

（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右邊），過A、B兩點的圓M與y軸相切，且點M的縱坐標(biāo)為；求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為P，拋物線與y軸交于點C，求△CPA的面積．23、已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-3；0）；B（1，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB不小于90°．

（1）求點C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求系數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線的頂點為D；求△BCD中CD邊上的高h的最大值．

（4）設(shè)E，當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D2、D【分析】【解答】設(shè)解密得到的明文分別是a，b；c，d．依題意，得。

解得．

∴明文為：1；5，3，7．

故選D．

【分析】已知結(jié)果（密文），求明文，設(shè)解密得到的明文分別是a，b，c，d．根據(jù)規(guī)則，列方程組求解。3、C【分析】【解答】解：對于A選項；由于y=f（x）圖象是由函數(shù)y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位得到，故y=f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，正確；

對于B選項；由于函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，故y=f（x+1）圖象關(guān)于y軸對稱；正確；

對于C選項；函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，有f（1+x）=f（1﹣x）成立，故C錯；

對于D選項；函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，有f（1+x）=f（1﹣x）成立，故D正確；

綜上知；應(yīng)選C．

故選C．

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義“對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都滿足f（x）=f（﹣x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)”及“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱”進行判定．4、C【分析】解：函數(shù)f（x）=x2-（）x的零點，即為方程x2-（）x=0的根，

也就是函數(shù)y=x2與y=（）x的交點的橫坐標(biāo)；

作出兩函數(shù)的圖象如圖；

由圖可知，函數(shù)f（x）=x2-（）x的零點有3個．

故選：C．

把函數(shù)f（x）=x2-（）x的零點轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x2與y=（）x的交點的橫坐標(biāo)；在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象得答案．

本題考查函數(shù)的零點判定定理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．【解析】【答案】C5、C【分析】解：∵一元二次不等式x2+bx-a＜0的解集為{x|-2＜x＜3}；

∴一元二次不等式x2+bx-a＜0所對應(yīng)的一元二次方程x2+bx-a=0的兩個根為-2；3．

由根與系數(shù)關(guān)系得∴．

則a+b=6-1=5．

故選：C．

由一元二次不等式x2+bx-a＜0的解集得到它所對應(yīng)的一元二次方程的兩根，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解a，b的值；則答案可求．

本題考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次不等式的解集與其所對應(yīng)的方程的根之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．【解析】【答案】C6、A【分析】解：隆脽f(x)

為奇函數(shù)。

隆脿f(鈭?1)=鈭?f(1)

隆脿11+a=13(1鈭?a)

隆脿1+a=3(1鈭?a)

解得a=12

故選A

利用奇函數(shù)的定義得到f(鈭?1)=鈭?f(1)

列出方程求出a

．

本題考查利用奇函數(shù)的定義：對定義域內(nèi)任意的自變量x

都有f(鈭?x)=鈭?f(x)

成立．【解析】A

二、填空題(共8題，共16分)7、略

【分析】

由于函數(shù)y=的定義域為R，故函數(shù)f（x）=（）x-1的定義域為{x|x-1∈R}；即{x|x∈R}；

故函數(shù)的定義域為R；

故答案為R．

【解析】【答案】由題意可得f（x）=（）x-1的定義域為{x|x-1∈R}；即R．

8、略

【分析】

∵α是第四象限角，∴2kπ-＜α＜2kπ；k∈Z；

故可得：-2kπ＜-α＜-2kπk∈Z；

可知-α是第一象限角；

故答案為：一。

【解析】【答案】由α是第四象限角，可得2kπ-＜α＜2kπ，k∈Z，由不等式的變形可得：-2kπ＜-α＜-2kπk∈Z，可知角所在象限．

9、略

【分析】試題分析：因是R上的偶函數(shù)，所以又在上遞減，所以解得考點：函數(shù)性質(zhì)與不等式【解析】【答案】10、略

【分析】

∵f（x）=lg（2x-b）；當(dāng)x≥1時，f（x）≥0恒成立；

∴2x-b≥1，對任意x∈[1，+∞）恒成立，即b≤2x-1；

而x∈[1，+∞）時，t=2x-1是增函數(shù)，得t=2x-1的最小值為1；

由此可得b≤1，即b的取值范圍是（-∞；1]

故答案為：（-∞；1]

【解析】【答案】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：不等式b≤2x-1對任意x∈[1，+∞）恒成立，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出b的最大值，從而得到b的取值范圍．

11、略

【分析】

配方可得y=（x+1）2+2

∴函數(shù)在[-3；-1）上單調(diào)減，（-1，2）上單調(diào)增。

∴當(dāng)x=-1時；函數(shù)取得最小值2，當(dāng)x=2時，函數(shù)值為11

∴函數(shù)y=x2+2x+3；x∈[-3，2）的值域為[2，11）．

故答案為：[2；11）．

【解析】【答案】先配方；確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)的值域．

12、略

【分析】【解析】a∩α＝A時，aα，∴①錯；直線l與α相交時，l上有無數(shù)個點不在α內(nèi)，故②錯；l∥α，l與α無公共點，∴l(xiāng)與α內(nèi)任一直線都無公共點，③正確；長方體中A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，∴④正確．【解析】【答案】③④13、【分析】【解答】解：由題意，兩數(shù)的平方和小于1，對應(yīng)的區(qū)域的面積為π?12，從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，構(gòu)成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2），，（xn，yn），對應(yīng)的區(qū)域的面積為12，∴∴m=．

故答案為．

【分析】以面積為測度，建立方程，即可求出滿足上述條件的數(shù)對．14、略

【分析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0；

∵a42=∴9=∴3a4=a5．

解得q=3．

代入a1+=3，可得：=3，解得a1=1．

則a4=33=27．

故答案為：27．

利用等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出．

本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】27三、證明題(共6題，共12分)15、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．17、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應(yīng)取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設(shè)RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、綜合題(共3題，共6分)21、略

【分析】【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CO垂直平分AB，進而求出△ABC是等邊三角形，再利用勾股定理求出C到x軸的距離，即可得出C點坐標(biāo)，同理可以求出所有符合要求的結(jié)果．【解析】【解答】解：過點C作CM⊥y軸于點M；作CN⊥x軸于點N．

∵點A（-2；0），點B（0，2）；

∴AO=BO=2；

又∵點C在第二；四象限坐標(biāo)軸夾角平分線上；

∴∠BOC=∠COA=45°；

∴CO垂直平分AB（等腰三角形三線合一）；

∴CA=CB；（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）；

∵∠BAC=60°；

∴△ABC是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）；

∴AB=AC=BC；

∴AB===2；

假設(shè)CN=x，則CM=NO=x，NA=x-2，AC=2．

在Rt△CNA中，∵CN2+NA2=AC2；

∴x2+（x-2）2=（2）2；

整理得：x2-2x-2=0；

解得：x1=1+，x2=1-（不合題意舍去）；

∴C點的坐標(biāo)為：（-1-，1+）；

當(dāng)點在第四象限時；同理可得出：△ABC′是等邊三角形，C′點的橫縱坐標(biāo)絕對值相等；

設(shè)C′點的坐標(biāo)為（a；-a）；

∴a2+（a+2）2=（2）2；

解得：a1=-1-（不合題意舍去），a2=-1+；

C′點的坐標(biāo)為：（-1+，1-）；

故答案為：（-1+，1-），（-1-，1+）．22、略

【分析】【分析】（1）判定拋物線的頂點必在x軸的下方；根據(jù)開口方向，二次函數(shù)只要與x軸有兩個交點即可．

（2）利用垂徑定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面積公式，以CD為底邊，P到y(tǒng)軸的距離為高，可以求出．【解析】【解答】（1）證明：拋物線y=x2+4ax+3a2開口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴拋物線必與x軸有兩個交點

∴其頂點在x軸下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圓M與y軸相切；

∴MA=2a

如圖在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（負值舍去）

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

設(shè)直線PA的方程：y=kx+b，則-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=123、略

【分析】【分析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c過點A（-3；0），B（1，0），得出c與a的關(guān)系，即可得出C點坐標(biāo)；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；進而求出OC的長度，即可得出a的取值范圍；

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，得出拋物線的對稱軸為x=-1，進而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，根據(jù)h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）連接CE，過點N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據(jù)三角形的面積公式求出S△CAEF=S四邊形EFCB，根據(jù)NP∥CE，求出，設(shè)過N、P兩點的一次函數(shù)是y=kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點的直線的解析式，組成方程組求出即可．【解析】【解答】解：（1