2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1.1離散型隨機(jī)變量學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次章隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2．1.1離散型隨機(jī)變量[目標(biāo)]1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系.3.會用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．[重點(diǎn)]1.理解隨機(jī)變量所表示試驗(yàn)結(jié)果的含義.2.離散型隨機(jī)變量的概念．[難點(diǎn)]1.隨機(jī)變量的意義.2.區(qū)分兩類隨機(jī)變量，并能舉出離散型隨機(jī)變量的例子．學(xué)問點(diǎn)一隨機(jī)變量[填一填](1)定義：隨著試驗(yàn)結(jié)果改變而改變的變量稱為隨機(jī)變量．(2)表示：常用字母X，Y，ξ，η等表示．[答一答]1．任何隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？提示：可以．事實(shí)上我們可以建立一個隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果同實(shí)數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系，依據(jù)問題的須要選擇相應(yīng)數(shù)字．2．隨機(jī)變量是特別的函數(shù)嗎？提示：隨機(jī)變量是把試驗(yàn)結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，而函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集之上的．因此，隨機(jī)變量應(yīng)為特別的映射而非函數(shù)．學(xué)問點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量[填一填]離散型隨機(jī)變量的定義：全部取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．[答一答]3．如何辨別一個變量是否是離散型隨機(jī)變量？提示：①隨機(jī)變量的取值能一一列出，這是判定隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵．②離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個，如取值1,2,3，…，n；也可以是無限個，如取值為1,2，…，n，….4．除了離散型隨機(jī)變量外，還有其他類型的隨機(jī)變量嗎？舉例說明．提示：存在其他類型的隨機(jī)變量，如人的頭發(fā)長度，人的身高等等．這些量的取值均無法一一列出．5．下列不是離散型隨機(jī)變量的是(A)A．某水站視察到一天中長江的水位B．某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)C．110報警中心一天內(nèi)接到的報警電話個數(shù)D．從編號為1,2,3,4的卡片中任取一張，取出的卡號1．對隨機(jī)變量的相識(1)隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量．(2)試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生了隨機(jī)變量，隨機(jī)變量每取一個確定的值對應(yīng)著試驗(yàn)的不同結(jié)果，試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)著隨機(jī)變量的值，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)．但這些數(shù)是預(yù)先知道的可能值，而不知道原委是哪一個值，這便是“隨機(jī)”的本源．2．離散型隨機(jī)變量的特征(1)可用數(shù)值表示．(2)試驗(yàn)之前可以推斷其出現(xiàn)的全部值．(3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值．(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．類型一隨機(jī)變量的概念【例1】指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某編輯部一天接到詢問電話的個數(shù)；(2)從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數(shù)；(3)某林場樹木最高達(dá)30m，此林場中樹木的高度；(4)體積為27cm3的正方體的棱長．【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的概念推斷．【解】(1)接到詢問電話的個數(shù)可能是0,1,2,3，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)被抽取的卡片號數(shù)是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量．(3)林場樹木的高度可以取(0,30]內(nèi)的一切值，它是一個隨機(jī)變量．(4)體積為27cm3的正方體的棱長為3cm，為定值，不是隨機(jī)變量．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，且這個數(shù)全部可能的取值是預(yù)先知道的，但不知道原委會出現(xiàn)哪一個值，這便是“隨機(jī)”的本源.將一枚勻稱骰子擲兩次，隨機(jī)變量為(C)A．第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B．其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)C．兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和D．兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)解析：A，B，D中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)雖然是隨機(jī)的，但是其取值所反映的結(jié)果，都不能整體反映本試驗(yàn)，C整體反映兩次投擲的結(jié)果，可以預(yù)見兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12這十一種結(jié)果，但每擲一次之前都無法確定是哪一個，因此是隨機(jī)變量．類型二離散型隨機(jī)變量的判定【例2】下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并簡述其理由．(1)在2006張已編號的卡片(從1號到2006號)中任取1張，被取出的號數(shù)為X；(2)某人連綿不斷地射擊，首次命中目標(biāo)須要的射擊次數(shù)X；(3)從2006張已編號的卡片(從1號到2006號)中任取3張，被取出的卡片的號數(shù)和為X;(4)某工廠加工的某種鋼管外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X.【分析】看一個隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，主要看此變量的取值是否是有限個，或雖是無限個，但可以按肯定的依次列舉出來．【解】(1)隨機(jī)變量X的值有2006個，是有限個，因此X是離散型隨機(jī)變量．(2)首次命中目標(biāo)須要的射擊次數(shù)X雖然有無限個，但是可以列舉出來，1,2,3，…，可見，隨機(jī)變量X是離散型隨機(jī)變量．(3)與(1)比較，雖然取的張數(shù)有1張和3張區(qū)分，但實(shí)質(zhì)是一樣的，故X是離散型隨機(jī)變量．(4)由于隨機(jī)變量X的值是(－∞，＋∞)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)(從理論上看)，不行能列舉出來，故隨機(jī)變量X不是離散型隨機(jī)變量．看一個變量是否是離散型隨機(jī)變量，首先看它是否是隨機(jī)的，其次是看它是否是離散的，然后才能下結(jié)論.指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由．(1)白熾燈的壽命ξ；(2)某射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用ξ表示該射手在一次射擊中的得分；(3)鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號，而其中某一電線鐵塔的編號ξ；(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)改變，該水位站所測水位ξ.解：(1)白熾燈的壽命ξ的取值是一個非負(fù)實(shí)數(shù)，而全部非負(fù)實(shí)數(shù)不能一一列出，所以ξ不是離散型隨機(jī)變量．(2)是離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樯涫值牡梅值娜≈抵挥?或0，可一一列舉．(3)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個，其編號從1起先可一一列出．(4)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)樗辉?0,29]這一范圍內(nèi)改變，對水位值我們不能按肯定次序一一列出．類型三用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果【例3】寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)在2024年北京高校的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)一個袋中裝有5個同樣的球，編號分別為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個球，被取出的球的最大號碼數(shù)X.【分析】明確隨機(jī)變量X的意義，寫出X的全部可能取值及每個值對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果．【解】(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面試通過的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3個球的編號為1,2,3”；X＝4表示“取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,因?yàn)殡S機(jī)變量的取值描述了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此，要精確寫出隨機(jī)變量的全部取值，就必需弄清晰全部試驗(yàn)的結(jié)果.還要留意一個隨機(jī)變量的取值可能對應(yīng)一個和多個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此在解決這類問題時不能漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：(1)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中隨意取出3支，其中所含白粉筆的支數(shù)X，所含紅粉筆的支數(shù)Y；(2)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，隨意抽取4件，所含次品的件數(shù)X.解：(1)X可取1,2,3.X＝i表示“取出i支白粉筆，3－i支紅粉筆”，其中i＝1,2,3.Y可取0,1,2.Y＝i表示“取出i支紅粉筆，3－i支白粉筆”，其中i＝0,1,2.(2)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4.X＝i表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系【例4】拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與其次枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，試求ξ的值域，并說明“ξ>4”表示的試驗(yàn)結(jié)果．【思路分析】【解】設(shè)第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為x，其次枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，依題意得ξ＝x－y.則－5≤ξ≤5，即ξ的值域?yàn)閧－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．則ξ>4?ξ＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子擲出6點(diǎn)，其次枚骰子擲出1點(diǎn)．【解后反思】隨機(jī)變量ξ與函數(shù)f(x)的區(qū)分函數(shù)是探討確定性現(xiàn)象的，它定義在實(shí)軸上，有確定的因果關(guān)系；隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果為自變量的一個函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道的全部可能的值，這便是“隨機(jī)”的本源．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值；(2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最終不管結(jié)果如何都加上6分，求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機(jī)變量類型．解：(1)ξ0123結(jié)果取得3個黑球取得1個白球2個黑球取得2個白球1個黑球取得3個白球(2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，∴η對應(yīng)的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為{6,11,16,21}，明顯η為離散型隨機(jī)變量．1．一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機(jī)變量可能為(B)A．所取球的個數(shù)B．其中含紅球的個數(shù)C．所取白球與紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)解析：由于A、C、D均為定值，不隨試驗(yàn)的改變而改變，故不是隨機(jī)變量．由于每次取球是隨機(jī)的，故所含紅球的個數(shù)可能為0,1,2，因此B是隨機(jī)變量．2．下列X是離散型隨機(jī)變量的是(B)①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；②在一段時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個范圍．不能一一列舉出來，故選B.3．已知X，Y均為離散型隨機(jī)變量．且X＝2Y，若X的全部可能取值為0,2,4，則Y的全部可能取值為0,1,2.解析：由題意Y＝eq\f(1,2)X且X∈{0,2,4}，∴Y∈{0,1,2}．4．推斷下列變量是否是隨機(jī)變量，若是，是否為離散型隨機(jī)變量．(1)某市醫(yī)院明天接到120急救