【壓軸專練】專題10 圓的綜合問題（解析版）-2021-2022學(xué)年九上壓軸題攻略

專題10圓的綜合問題例1．如圖1，內(nèi)接于⊙O，直線與⊙O相切于點D，與相交于點E，．（1）求證：；（2）如圖2，若是⊙O的直徑，E是的中點，⊙O的半徑為4，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：連接OB，如圖所示：∵直線與⊙O相切于點D，∴，∵，∴，∵OD是⊙O的半徑，∴，∴，∵，∴；（2）∵E是的中點，∴，，∴，∴，∵⊙O的半徑為4，∴，∵是⊙O的直徑，∴，∴AB=4，，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：．【變式訓(xùn)練1】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且DE=OE（1）求證：∠BAC＝3∠ACD；（2）點F在弧BD上，且∠CDF＝∠AEC，連接CF交AB于點G，求證：CF＝CD；（3）在（2）的條件下，若OG＝4，F(xiàn)G=11，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）證明：如圖1中，連接OD，OC，設(shè)∠D＝x．∵ED＝EO，∴∠D＝∠EOD＝x，∵OD＝OC，∴∠D＝∠OCD＝x，∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝2x，∠COB＝∠OEC+∠OCD＝3x，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A+∠ACO＝∠COB＝3x，∴∠A＝∠ACO＝x，∴∠ACD＝x，∴∠BAC＝3∠ACD．（2）證明：連接CO，延長CO交DF于T．由（1）可知，∠AEC＝180°﹣2x，∵∠AEC＝2∠CDF，∴∠CDF＝90°﹣x，∴∠CDF+∠DCO＝90°，∴CT⊥DF，∴DT＝TF，∴CD＝CF．（3）解：連接CO，延長CO交DF于T，過點O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N．由（2）可知，CD＝CF，CT⊥DF∴∠DCO＝∠FCO＝x，∵ON⊥CF，OM⊥CD，∴OM＝ON，設(shè)OE＝DE＝a，OA＝OB＝2R，∵∠GEC＝∠GCE＝2x，∴GE＝GC＝a+4，∴CD＝CF＝CG+FG＝15+a，∴EC＝CD﹣DE＝15，∵＝＝，∴，∴a2+4a﹣60＝0，∴a＝6或﹣10（舍棄），∴CG＝10，∵CG?FG＝AG?GB，∴110＝（R+4）（R﹣4），∴R＝3或﹣3，∴⊙O的半徑為3．【變式訓(xùn)練2】如圖，是的切線，是直徑，是弦，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若，連接，的平分線交于點，求的值．【解析】（1）證明：如圖，連接，．∵，，．∴．是的切線，是直徑，∴，∴是的切線．為的兩條切線，平分，又，，，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），，，均為等腰三角形，設(shè)圓的半徑為，則，在中，，在中，，，．【變式訓(xùn)練3】如圖，AB是⊙O的直徑．CD⊥AB于點E，G是BC上任意一點，連接GD交AB于點F，連接AD，AG．（1）求證：∠ADC＝∠AGD．（2）若CD＝AG，①求證：△ADG是等腰三角形．②連接BG，若BF＝2，BG＝3，求⊙O的半徑．【解析】（1）連接AC，如圖，∴∠ACD＝∠AGD，∵CD⊥AE，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＝∠AGD．（2）①∵CD＝AG，∴∠CAD＝∠ADG，∵∠ACD＝∠ADC＝∠AGD在△ACD和△AGD中，，∴△ACD≌△AGD（ASA）∴由（1）得△ACD是等腰三角形，∴△ADG是等腰三角形．②連接DO、GO，設(shè)⊙O的半徑為r，∵AD＝DG，DO＝DO，OA＝OG，∴△AOD≌△GOD（SSS），∴∠ADO＝∠GDO，∴OD⊥AG，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，∴OD∥BG，∴△BGF～△ODF，∴，即，∴r＝6，即⊙O的半徑為6．故答案為：（1）見解析；（2）①見解析；②⊙O的半徑為6【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，，以為直徑作交于點D，過點D作的切線，交于點E，交的延長線于點F．（1）求證：；（2）當，時