2025年高考物理復(fù)習(xí)講義第四章第4講　萬(wàn)有引力定律　天體運(yùn)動(dòng)（含解析）

第4講萬(wàn)有引力定律天體運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)目標(biāo)1.了解開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律．(物理觀念)2.理解行星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律：萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力．(物理觀念)3.能夠運(yùn)用萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)分析天體運(yùn)動(dòng)問題．(科學(xué)思維)4.學(xué)會(huì)構(gòu)建雙星、多星運(yùn)動(dòng)模型．(科學(xué)思維)一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1．開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．2．開普勒第二定律(面積定律)對(duì)每一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等．3．開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.直觀情境軌道定律面積定律周期定律二、萬(wàn)有引力定律1．萬(wàn)有引力定律內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用條件(1)兩質(zhì)點(diǎn)間的作用．(2)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體間的作用．(3)質(zhì)量分布均勻的球體間的作用2.引力常量數(shù)值6.67×10－11N·m2/kg2測(cè)定人英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什于1798年利用扭秤測(cè)定物理意義數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互引力測(cè)定意義(1)有力地證明了萬(wàn)有引力的存在．(2)使定量計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)．(3)開創(chuàng)了測(cè)量弱相互作用的新時(shí)代示意圖P：石英絲M：平面鏡O：光源N：刻度尺Q：倒立T形架三、宇宙速度時(shí)空觀1．三種宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v1＝7.9km/s，是人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度第二宇宙速度(脫離速度)v2＝11.2km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7km/s，是物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度直觀情境2.經(jīng)典時(shí)空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量不隨速度的改變而改變．(2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是相同的．3．相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量隨物體的速度的增大而增大，用公式表示為m＝eq\f(m0,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2)).(2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的．(3)光速不變?cè)恚翰还茉谀膫€(gè)慣性系中，測(cè)得的真空中的光速都是相同的．1．思維辨析(1)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道都是橢圓．()(2)行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽(yáng)越近，運(yùn)行速率越?。?)(3)德國(guó)天文學(xué)家開普勒在天文觀測(cè)的基礎(chǔ)上提出了行星運(yùn)動(dòng)的三條定律．()(4)只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算物體間的萬(wàn)有引力．()2．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道．其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))23．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為()A.eq\f(\r(5),5)vB．eq\r(5)vC．eq\r(2)vD．eq\f(\r(2),2)v考點(diǎn)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解和應(yīng)用1．開普勒定律具有普遍適用性，既適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，也適用于月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)等．2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最?。?．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，因此該定律只能用在同一中心天體的星體之間．典例1(多選)如圖所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有()A．TA>TB B．EkA>EkBC．SA＝SB D．eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))1．[開普勒第三定律的應(yīng)用]為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為()A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．16∶12．[開普勒定律的理解和應(yīng)用]2016年8月16日凌晨，被命名為“墨子號(hào)”的中國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星開啟星際之旅，其運(yùn)行軌道為如圖所示的繞地球E運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．軌道上標(biāo)記了衛(wèi)星經(jīng)過相等時(shí)間間隔(Δt＝eq\f(T,14)，T為運(yùn)轉(zhuǎn)周期)的位置．如果作用在衛(wèi)星上的力只有地球E對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力，則下列說(shuō)法正確的是()A．面積S1>S2B．衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度小于在B點(diǎn)的速度C．T2＝Ca3，其中C為常數(shù)，a為橢圓半長(zhǎng)軸D．T2＝C′b3，其中C′為常數(shù)，b為橢圓半短軸考點(diǎn)萬(wàn)有引力的理解與計(jì)算1．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是產(chǎn)生重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示．2．重力加速度的大小(1)地球赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)地球兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.(3)地面一般位置：萬(wàn)有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．(4)距離地面高度h處：Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg2.(5)結(jié)論：①緯度越高，g值越大；高度越大，g值越?。谟捎谖矬w隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg.典例2(2023·山東卷)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝eq\f(Mm,r2).已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))1．[天體表面重力加速度的計(jì)算]火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9).已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．下列說(shuō)法正確的是()A．火星表面的重力加速度為eq\f(2,9)gB．火星表面的重力加速度為eq\f(9,4)gC．火星的質(zhì)量為eq\f(4gR2,9G)D．火星的第一宇宙速度為eq\f(\r(2gR),3)2．[萬(wàn)有引力和重力的差異]某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)，其“赤道”表面處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B．eq\f(4π2,g2T2)C．eq\f(g2－g1T2,4π2) D．eq\f(g1＋g2T2,4π2)考點(diǎn)中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．“自力更生”法(g-R)(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R，由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式．2．“借助外援”法(T-r)測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．典例3(2021·全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M1．[天體質(zhì)量的計(jì)算]2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站天和核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行．若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑2．[利用環(huán)繞模型計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度](多選)已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，“嫦娥四號(hào)”離月球中心的距離為r，繞月周期為T，則()A．月球的平均密度為eq\f(3π,GT2)B．月球的平均密度為eq\f(3πr3,GT2R3)C．“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的角速度為eq\r(\f(R2g,r3))D．“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的線速度為eq\r(\f(r2g,R))課題研究雙星與多星系統(tǒng)維度Ⅰ.雙星系統(tǒng)及規(guī)律被相互引力聯(lián)系在一起、互相繞轉(zhuǎn)的兩顆星就叫雙星系統(tǒng)．雙星是繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的一對(duì)恒星．對(duì)于如圖所示的雙星系統(tǒng)，具有以下幾個(gè)關(guān)系：(1)各自所需向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1；Geq\f(m1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2.(2)兩顆星的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.(3)兩顆星的運(yùn)行軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L.(4)兩顆星到公共圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).典例1(多選)在宇宙中，當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是這樣一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．在剛開始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()A．它們間的萬(wàn)有引力大小變大B．它們間的萬(wàn)有引力大小不變C．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度變大D．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變大維度Ⅱ.三星及多星模型情境導(dǎo)圖運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半徑相等受力特點(diǎn)各星所受萬(wàn)有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力解題規(guī)律甲：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,2r2)＝man；乙：eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝man解題關(guān)鍵乙中r＝eq\f(L,2cos30°)典例2(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R.忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)答案及解析1．思維辨析(1)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道都是橢圓．(√)(2)行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽(yáng)越近，運(yùn)行速率越?。?×)(3)德國(guó)天文學(xué)家開普勒在天文觀測(cè)的基礎(chǔ)上提出了行星運(yùn)動(dòng)的三條定律．(√)(4)只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算物體間的萬(wàn)有引力．(×)2．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道．其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2解析：同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，得eq\f(T\o\al(2,同),T\o\al(2,中))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3，所以同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))，故選項(xiàng)C正確．答案：C3．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為()A.eq\f(\r(5),5)vB．eq\r(5)vC．eq\r(2)vD．eq\f(\r(2),2)v解析：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)求得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，故eq\f(v火,v)＝eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以v火＝eq\f(\r(5),5)v，故A正確．答案：A考點(diǎn)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解和應(yīng)用典例1(多選)如圖所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有()A．TA>TB B．EkA>EkBC．SA＝SB D．eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))解析：根據(jù)開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k知，A、D正確；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)和Ek＝eq\f(1,2)mv2可得Ek＝eq\f(GMm,2R)，因RA>RB，mA＝mB，則EkA<EkB，B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律知，同一軌道上的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，對(duì)于衛(wèi)星A、B，SA不等于SB，C錯(cuò)誤．故選AD．1．[開普勒第三定律的應(yīng)用]為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為()A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．16∶1解析：由開普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k，故eq\f(TP,TQ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(rP,rQ)))3)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,4)))3)＝eq\f(8,1)，C正確．答案：C2．[開普勒定律的理解和應(yīng)用]2016年8月16日凌晨，被命名為“墨子號(hào)”的中國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星開啟星際之旅，其運(yùn)行軌道為如圖所示的繞地球E運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．軌道上標(biāo)記了衛(wèi)星經(jīng)過相等時(shí)間間隔(Δt＝eq\f(T,14)，T為運(yùn)轉(zhuǎn)周期)的位置．如果作用在衛(wèi)星上的力只有地球E對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力，則下列說(shuō)法正確的是()A．面積S1>S2B．衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度小于在B點(diǎn)的速度C．T2＝Ca3，其中C為常數(shù)，a為橢圓半長(zhǎng)軸D．T2＝C′b3，其中C′為常數(shù)，b為橢圓半短軸解析：根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與地球的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，故面積S1＝S2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度大于在B點(diǎn)的速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝C，其中C為常數(shù)，a為橢圓的半長(zhǎng)軸，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．答案：C考點(diǎn)萬(wàn)有引力的理解與計(jì)算典例2(2023·山東卷)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝eq\f(Mm,r2).已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))解析：設(shè)地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有Geq\f(M地m,R2)＝mg，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g)).故選C．1．[天體表面重力加速度的計(jì)算]火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9).已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．下列說(shuō)法正確的是()A．火星表面的重力加速度為eq\f(2,9)gB．火星表面的重力加速度為eq\f(9,4)gC．火星的質(zhì)量為eq\f(4gR2,9G)D．火星的第一宇宙速度為eq\f(\r(2gR),3)解析：根據(jù)題意，設(shè)地球表面的物體的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，則有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,R2)，同理可得，火星表面的重力加速度為g火＝eq\f(GM火,R\o\al(2,火))，由于火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，則有g(shù)火＝eq\f(G·\f(1,9)M,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R))2)＝eq\f(4,9)g，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，由上述分析得，火星的質(zhì)量為M火＝eq\f(M,9)＝eq\f(gR2,9G)，C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，由萬(wàn)有引力提供向心力有mg火＝meq\f(v\o\al(2,火),R火)，可知火星的第一宇宙速度為v火＝eq\r(g火R火)＝eq\f(\r(2gR),3)，D正確．答案：D2．[萬(wàn)有引力和重力的差異]某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)，其“赤道”表面處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為()A.eq\f(4π2,g1T2) B．eq\f(4π2,g2T2)C．eq\f(g2－g1T2,4π2) D．eq\f(g1＋g2T2,4π2)解析：對(duì)于處在“極點(diǎn)”處的物體，萬(wàn)有引力等于重力，則有Geq\f(Mm,R2)＝mg2，對(duì)于處在“赤道”處的同一物體，則有Geq\f(Mm,R2)－mg1＝meq\f(4π2,T2)R，由以上兩式可解得R＝eq\f(g2－g1T2,4π2)，C正確．答案：C考點(diǎn)中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算典例3(2021·全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示．科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞．這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：設(shè)地球的質(zhì)量為m，地球到太陽(yáng)的距離為r＝1AU，地球的公轉(zhuǎn)周期為T＝1年；由萬(wàn)有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)；對(duì)于S2分析，其受到黑洞的作用，橢圓軌跡半長(zhǎng)軸R≈1000AU，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)結(jié)合圖像可以得到S2運(yùn)動(dòng)的半周期eq\f(T′,2)＝(2002－1994)年＝8年，則周期T′＝16年，根據(jù)開普勒第三定律結(jié)合萬(wàn)有引力公式可得M黑＝eq\f(4π2R3,GT′2)，其中R為S2的軌道半長(zhǎng)軸，因此有M黑＝eq\f(R3T2,r3T′2)M，代入數(shù)據(jù)解得M黑≈4×106M，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．故選B．1．[天體質(zhì)量的計(jì)算]2021年4月，我國(guó)自主研發(fā)的空間站天和核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行．若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑解析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得M＝eq\f(v2r,G)，D正確；由于核心艙質(zhì)量在運(yùn)算過程中被約掉，故無(wú)法通過核心艙質(zhì)量求解地球質(zhì)量，A、B錯(cuò)誤；已知核心艙的繞地角速度，由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得M＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，r約不掉，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質(zhì)量，C錯(cuò)誤．答案：D2．[利用環(huán)繞模型計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度](多選)已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，“嫦娥四號(hào)”離月球中心的距離為r，繞月周期為T，則()A．月球的平均密度為eq\f(3π,GT2)B．月球的平均密度為eq\f(3πr3,GT2R3)C．“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的角速度為eq\r(\f(R2g,r3))D．“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的線速度為eq\r(\f(r2g,R))解析：“嫦娥四號(hào)”繞月球飛行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，又根據(jù)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，A錯(cuò)誤，B正確；在月球表面，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，“嫦娥四號(hào)”繞月球飛行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則有Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(R2g,r3))，v＝eq\r(\f(R2g,r))，C正確，D錯(cuò)誤．答案：BC課題研究雙星與多星系統(tǒng)典例1(多選)在宇宙中，當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞