2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用課時(shí)作業(yè)21實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模含解析北師大版必修1

PAGEPAGE3課時(shí)作業(yè)21實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類(lèi)——一、選擇題1．據(jù)調(diào)查，某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為4000輛次，其中電動(dòng)車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.3元，自行車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.2元．若自行車(chē)存車(chē)量為x輛次，存車(chē)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：因?yàn)樽孕熊?chē)存車(chē)量為x輛次，所以電動(dòng)車(chē)存車(chē)量為(4000－x)輛次，所以y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200，故選D.2．某人2024年1月1日到銀行存入a元，年利率為x，若按復(fù)利計(jì)算，則到2024年1月1日可取款(A)A．a(chǎn)(1＋x)5元 B．a(chǎn)(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(chǎn)(1＋x5)元解析：2024年1月1日到銀行存入a元，到2024年1月1日本息共a(1＋x)元，作為本金轉(zhuǎn)入下一個(gè)周期，到2024年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2024年1月1日可取款a(1＋x)5元，故選A.3．某企業(yè)生產(chǎn)總值的月平均增長(zhǎng)率為P，則年平均增長(zhǎng)率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1解析：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C.4．在我國(guó)大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上年增長(zhǎng)10.4%，專(zhuān)家預(yù)料經(jīng)過(guò)x年可能增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為(D)解析：易知此函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型y＝(1＋10.4%)x，過(guò)(0,1)點(diǎn)，故選D.5．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是(B)A．豎直向上放射的信號(hào)彈，從放射到落回地面，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系(不計(jì)空氣阻力)B．我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%，這樣我國(guó)人口總數(shù)隨年份的改變關(guān)系C．假如某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么此人騎車(chē)的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系D．信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系解析：A：豎直向上放射的信號(hào)彈，從放射到落回地面，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系，是二次函數(shù)關(guān)系；B：我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%，這樣我國(guó)人口總數(shù)隨年份的改變關(guān)系，是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系；C：假如某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么此人騎車(chē)的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，是反比例函數(shù)關(guān)系；D：信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系，是正比例函數(shù)關(guān)系．故選B.6．生產(chǎn)肯定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x件時(shí)的成本函數(shù)為c(x)＝20＋2x＋eq\f(1,2)x2(萬(wàn)元)，若售出一件商品收入是20萬(wàn)元，那么該企業(yè)為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)生產(chǎn)這種商品的數(shù)量為(A)A．18件B．36件C．22件D．9件解析：y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－eq\f(1,2)x2＝－eq\f(1,2)x2＋18x－20.∴x＝18時(shí)，y有最大值．7．春天來(lái)了，某池塘中的荷花枝繁葉茂．已知每一天荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，且荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿(mǎn)池塘水面．當(dāng)荷葉覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了(C)A．10天B．15天C．19天D．2天解析：荷葉覆蓋水面面積y與生長(zhǎng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x.當(dāng)x＝20時(shí)，長(zhǎng)滿(mǎn)水面，所以生長(zhǎng)19天時(shí)，布滿(mǎn)水面一半．8．某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)驗(yàn)了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)驗(yàn)了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費(fèi)用)為(B)A．略有盈利 B．略有虧損C．沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損 D．無(wú)法推斷盈虧狀況解析：設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)驗(yàn)n次漲停后的價(jià)格為a(1＋10%)n＝a×1.1n，經(jīng)驗(yàn)n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損．二、填空題9．“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過(guò)廣告宣揚(yáng)進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷(xiāo)售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿(mǎn)意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入廣告費(fèi)應(yīng)為eq\f(1,4)a2.解析：令t＝eq\r(A)(t>0)，則A＝t2.∴D＝at－t2＝－(t－eq\f(1,2)a)2＋eq\f(1,4)a2.∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時(shí)，D取最大值．10．里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為6級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的104倍．解析：由已知條件可知這次地震中A＝1000，A0＝0.001，代入到M＝lgA－lgA0中得M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設(shè)9級(jí)地震的最大振幅為A1,5級(jí)地震的最大振幅為A2，則有9＝lgA1＋3,5＝lgA2＋3，故lgA1＝6，lgA2＝2，eq\f(A1,A2)＝eq\f(106,102)＝104.11．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比．藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，依據(jù)圖中供應(yīng)的信息，回答下列問(wèn)題：(1)從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\f(1,16)t－\f(1,10)，t>\f(1,10)))；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放起先，至少須要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí)，學(xué)生才能回到教室．解析：(1)因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，則設(shè)函數(shù)為y＝kt(k>0)，將點(diǎn)(0.1,1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t；又因?yàn)樗幬镝尫磐戤吅?，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a，將點(diǎn)(0.1,1)代入y＝(eq\f(1,16))t－a，得a＝0.1，三、解答題12．某醫(yī)療探討所開(kāi)發(fā)一種新藥，假如成人按規(guī)定的計(jì)量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中含藥量y(μg)與時(shí)間t(h)之間近似滿(mǎn)意如圖所示的曲線．(1)寫(xiě)出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于4μg時(shí)治療疾病有效，假如某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問(wèn)一天中怎樣支配服藥時(shí)間(共4次)效果最佳？解：(1)依題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1<t≤10.))(2)設(shè)其次次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服藥應(yīng)在11：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應(yīng)在16：00.設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3小時(shí)(t3>10)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已汲取完，血液中含藥量應(yīng)為其次、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應(yīng)在20：30.13．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)1‰，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：解法1：∵每次過(guò)濾雜質(zhì)含量降為原來(lái)的eq\f(2,3)，過(guò)濾n次后雜質(zhì)含量為eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n.依題意，得eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,1000)，即(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，∵(eq\f(2,3))7＝eq\f(128,2187)>eq\f(1,20)，(eq\f(2,3))8＝eq\f(256,6561)<eq\f(1,20)，∴由題意知至少應(yīng)過(guò)濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求．解法2：接解法1：(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，又n∈N＋，∴n≥8，即至少應(yīng)過(guò)濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求．——實(shí)力提升類(lèi)——14．已知14C的半衰期為5730年(是指經(jīng)過(guò)5730年后，14C的殘余量占原始量的一半)．設(shè)14C的原始量為a，經(jīng)過(guò)x年后的殘余量為b，殘余量b與原始量a的關(guān)系如下：b＝ae－kx，其中x表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，k為一個(gè)常數(shù)．現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14C的殘余量約占原始量的76.7%.請(qǐng)你推斷一下馬王堆漢墓的大致年頭為距今2_292年．(已知log20.767≈－0.4)解析：由題意可知，ae－5730k＝eq\f(1,2)a，解得k＝eq\f(ln2,5730).現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14C的殘余量約占原始量的76.7%，所以76.7%＝eeq\s\up15(－eq\f(ln2,5730))x，得ln0.767＝－eq\f(ln2,5730)x，則x＝－5730×eq\f(ln0.767,ln2)＝－5730×log20.767≈2292.15．某工廠生產(chǎn)商品A，每件售價(jià)80元，每年產(chǎn)銷(xiāo)80萬(wàn)件，工廠為了開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，確定提出商品A的銷(xiāo)售金額的p%作為新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)費(fèi)(即每銷(xiāo)售100元提出p元)，并將商品A的年產(chǎn)銷(xiāo)量削減了10p萬(wàn)件．(1)若工廠提出的新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)費(fèi)不少于96萬(wàn)元，求p的取值范圍；(2)若工廠僅考慮每年提出最高的開(kāi)發(fā)費(fèi)，求此時(shí)p的值．解：由題意知，當(dāng)開(kāi)發(fā)費(fèi)是商品A的銷(xiāo)售金額的p%時(shí)，銷(xiāo)售量為(80－10p)萬(wàn)件，