2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學考點《選擇性必修第一冊壓軸題》含答案解析

高中高中專題02高二上期末真題精選（壓軸77題12個考點專練）空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題空間向量模最值（或范圍）問題線面角的最值問題二面角的最值問題線面角的探索性問題二面角的探索性問題橢圓中的離心率最值（或范圍）問題雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題圓錐曲線中面積定值問題圓錐曲線中面積最值（范圍）問題圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定直線問題高中高中考點01空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（共5小題）1．（23-24高三上·北京順義·期末）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內(nèi)部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點是內(nèi)切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（21-22高二下·安徽安慶·期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動點滿足，則的最大值為.5．（22-23高二上·廣東江門·期中）正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是．考點02空間向量模最值（或范圍）問題（共4小題）1．（22-23高二下·四川達州·期末）已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（

）A．1 B． C． D．22．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．3．（22-23高一下·廣東云浮·期末）如圖，在正方體中，，E，M，N，P，Q分別為，，，，的中點，O為平面內(nèi)的一個動點，則的最小值為.

4．（21-22高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，P為正方形（包括邊界）內(nèi)一動點，當P為的中點時，與所成角的余弦值為；若，則的最大值為．考點03線面角的最值問題（共5小題）1．（21-22高一下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．2．（21-22高二上·遼寧·期末）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（

）A．當x增大時，θ先增大后減小 B．當x增大時，θ先減小后增大C．當d增大時，θ先增大后減小 D．當d增大時，θ先減小后增大3．（多選）（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．平面與平面的夾角為C．三棱錐的體積為定值D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為4．（多選）（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為5．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期末）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．多面體的外接球的表面積為B．的周長的最小值為C．線段長度的取值范圍為D．與平面所成的角的正弦值最大為考點04二面角的最值問題（共4小題）1．（多選）（23-24高二上·山東泰安·期末）如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為2．（22-23高三上·安徽·期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．3．（23-24高一下·天津南開·期末）如圖①所示，矩形中，，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線BC與平面所成角的大小；(3)設的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．4．（21-22高一下·山東青島·期末）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點為，求的長；(3)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．考點05線面角的探索性問題（共5小題）1．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.2．（22-23高三上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其對角線與交于點，，.(1)證明：平面；(2)若，，為銳角三角形，點為的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點G，其中．

(1)證明：平面平面ABCD；(2)判斷母線BC上是否存在點P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）如圖，三棱柱中，側面為菱形，為中點，且平面，，，，為平面上一動點．(1)若與平面成角的正切值為，求的最小值．(2)若點在線段上，平面與所成角的正弦值為，求的值．5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點.(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離.考點06二面角的探索性問題（共5小題）1．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點．(1)求證：平面平面PBC；(2)設二面角的平面角為θ，當時，求的值．2．（23-24高二下·云南臨滄·期末）如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.(1)求；(2)點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.3．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，(1)求證：EF⊥平面PBC；(2)若，，二面角的正弦值為，求BC．4．（23-24高二下·云南大理·期末）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.5．（23-24高二下·湖南長沙·期末）由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.(1)求證：平面；(2)若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.考點07橢圓，雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題（共7小題）1．（23-24高三上·河北·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖，橢圓和有相同的焦點，離心率分別為為橢圓的上頂點，與橢圓交于點B，若，則的最小值為．3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為．4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．5．（23-24高二上·湖南·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且為的內(nèi)心，三點共線，且軸上點滿足，則的最小值為；的最小值為.6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為.7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區(qū)間形式）．考點08圓錐曲線中面積定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·河北·期末）已知點和點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.3．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知橢圓的離心率為，，，，，設P為橢圓C上一點的面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)當P在第三象限，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.(1)求直線的方程；(2)若直線與雙曲線交于另一點求的面積.5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若為坐標原點，直線交雙曲線于兩點，求的面積．6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且的離心率為2，焦距為4．(1)求的方程；(2)直線過點且與交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求的方程．7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圓，動圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設動圓圓心的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于、兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程．8．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．9．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C：（）與圓O的一個交點為．(1)求拋物線C及圓O的方程；(2)設直線l與圓O相切于點R，與拋物線C交于A，R兩點，求的面積．考點09圓錐曲線中面積最值（范圍）問題（共10小題）1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點．(1)求的方程．(2)記和分別是橢圓的左、右焦點．設是橢圓上一個動點且縱坐標不為．直線交橢圓于點（異于），直線交橢圓于點（異于）．若的中點為，求三角形面積的最大值．3．（22-23高三上·河南·期末）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的左焦點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點且與軸不重合的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，求面積的取值范圍.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設，在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點.(1)求的取值范圍；(2)記的面積為的面積為，求取值范圍.5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，連接并延長交雙曲線的左支于點，求的面積的最小值.6．（23-24高二上·重慶·期末）已知雙曲線的右焦點，漸近線方程．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點，交y軸于點P，若，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若點Q是點P關于原點O的對稱點，求面積的取值范圍．7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知雙曲線，是雙曲線上一點．(1)若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，求橢圓的標準方程；(2)設是第一象限中雙曲線漸近線上一點，是雙曲線上一點，且，求的面積（為坐標原點）；8．（23-24高二上·浙江紹興·期末）拋物線C：，橢圓M：，．(1)若拋物線C與橢圓M無公共點，求實數(shù)r的取值范圍；(2)過拋物線上點作橢圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，當時，求面積的最小值．9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知拋物線C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當l的斜率為2時，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；(3)設G為直線與直線的交點，求面積的最小值．10．（23-24高三上·山東日照·期末）已知橢圓，其上焦點與拋物線的焦點重合.若過點的直線交橢圓于點，同時交拋物線于點（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點下方）.(1)求拋物線的標準方程，并證明；(2)過點與直線垂直的直線交拋物線于點（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.考點10圓錐曲線中的定點問題（共9小題）1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點，點是C上一點，的中點在y軸上，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)已知過橢圓上一點的切線方程為.設動直線l：與橢圓C相切于點P，且與直線相交于點Q，求證：以PQ為直徑的圓與軸交于定點.2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知橢圓：（）的一個頂點為，離心率為.(1)求的方程；(2)設，直線（且）與交于不同的兩點，，若直線與交于另一點，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.3．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知橢圓：的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當垂直于長軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上是否存在點，使得當繞點轉到某一位置時，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經(jīng)過點．(1)求的離心率；(2)設直線經(jīng)過的右焦點，且與交于不同的兩點，點N關于x軸的對稱點為點P，證明：直線過定點．5．（23-24高二上·山東棗莊·期末）已知雙曲線的中心為坐標原點，上頂點為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點為、，為直線上一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，求證：直線過定點，并求出定點坐標.6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，P是雙曲線C的左頂點，直線與y軸分別交于．(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)求證：線段的中點M為定點，并求出點M的坐標．7．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知為拋物線上的一點，為的焦點.(1)設的準線與軸交于點，過點作，垂足為，求四邊形的面積；(2)若、為上橫坐標不同的兩動點，、與均不重合，且直線、的斜率之積為，證明：直線過定點.8．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為的面積為．已知，設過點的動直線與拋物線交于兩點，直線與的另一交點分別為．

(1)求拋物線的方程；(2)當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．9．（23-24高二上·陜西漢中·期末）已知拋物線過點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．(1)求拋物線的方程；(2)求證：直線過定點；(3)在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．考點11圓錐曲線中的定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知橢圓的右焦點坐標為，兩個焦點與短軸一個端點構成等邊三角形.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)若過點與點的直線交橢圓于，兩點，過點且與直線平行的直線交軸于點，直線與直線于點，求的值.2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知橢圓的離心率為，點在上，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓的右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓上一點的坐標為，若為鈍角，求橫坐標的取值范圍；(3)過點的直線與橢圓交于不同的兩點D，E(D，E與不重合)，直線分別與直線交于P，Q兩點，求的值.3．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過原點的直線交于兩點，過作直線的垂線交于點（異于點），直線與軸，軸分別交于點.設直線，的斜率分別為，.（?。┳C明：為定值；（ⅱ）求四邊形面積的最大值.4．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）已知雙曲線：過點，離心率為.(1)求的方程；(2)過點且斜率為的直線交雙曲線左支于點，平行于的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，點A在第一象限，直線的斜率為.若四邊形為平行四邊形，證明：為定值.5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知雙曲線：與圓的一個交點為.(1)求雙曲線E的方程；(2)設點A為雙曲線E的右頂點，點B，C為雙曲線E上關于原點O對稱的兩點，且點B在第一象限，直線與直線交于點M，直線與雙曲線E交于點D.設直線與的斜率分別為，，請問是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.6．（23-24高二上·山東淄博·期末）已知雙曲線（，）的離心率為2，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)點，在雙曲線上，且，，為垂足.證明：①直線過定點；②存在定點，使得為定值.7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知拋物線，過焦點的直線交拋物線于兩點，(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線上有一動弦為弦的中點，，求點的縱坐標的最小值，8．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知P是拋物線的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為．(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；(2)設直線的斜率分別為，求證：為定值．9．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知是過拋物線焦點且互相垂直的兩弦，(1)若直線的傾斜角為，求弦長；(2)求的值.考點12圓錐曲線中的定直線問題（共5小題）1．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知點A、分別是橢圓：的上、下頂點，、是橢圓的左、右焦點，，．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同兩點、（、與橢圓上、下頂點均不重合），證明：直線、的交點在一條定直線上．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的一點，當時，.(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知A，B分別為橢圓的左右頂點，點，在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓交于C，D兩點，若直線AC與BD相交于點，求證：點在定直線上．4．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）已知雙曲線上點到兩定點的距離分別為，，且滿足．(1)求雙曲線的方程；(2)設經(jīng)過點且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，是直線上關于軸對稱的兩點，求證：直線與的交點在定直線上．5．（22-23高二下·福建福州·期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟮姆匠蹋?2)過點A的直線l與交于P，Q兩點，，若點M滿足，證明：點M在一條定直線上．專題02高二上期末真題精選（壓軸77題12個考點專練）空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題空間向量模最值（或范圍）問題線面角的最值問題二面角的最值問題線面角的探索性問題二面角的探索性問題橢圓中的離心率最值（或范圍）問題雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題圓錐曲線中面積定值問題圓錐曲線中面積最值（范圍）問題圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定直線問題考點01空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（共5小題）1．（23-24高三上·北京順義·期末）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內(nèi)部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及輔助角公式計算即可得出結果.【詳解】平面，，連接，由，可得，四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，則，設，，則，所以因為，則，則，所以.故選：D2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點是內(nèi)切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題、求空間向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)題意，取中點為，則，再結合向量的運算，代入計算，即可得到結果.【詳解】取中點為，因為，，所以，又，則，又正方體的棱長為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當，反向時，，有最小值為；當，同向時，，有最大值為.故選：D.3．（21-22高二下·安徽安慶·期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的線性運算及數(shù)量積公式，結合銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，，因為為的中點，所以,所以，當時，取最小值，此時取最大值，所以的最大值為4.故選:A.4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動點滿足，則的最大值為.【答案】【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】利用空間向量的線性運算得到軌跡，再把目標式表示為函數(shù)，利用三角函數(shù)有界性求解即可.【詳解】

設的中點為，因為動點滿足，所以，即點在以為球心，以為半徑的球面上.因為，所以.因為正四面體的棱長為4，所以，在三角形中，，.取的中點為，，所以在上的投影向量的模為，所以.設，夾角為，所以.因為，所以，即的最大值為.故答案為：5．（22-23高二上·廣東江門·期中）正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是．【答案】【知識點】求空間向量的數(shù)量積【分析】建立空間直角坐標系，設，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，．，，．點在線段上運動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．考點02空間向量模最值（或范圍）問題（共4小題）1．（22-23高二下·四川達州·期末）已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量的坐標表示、空間位置關系的向量證明、空間向量模長的坐標表示【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量結合線面平行求出的關系，再借助二次函數(shù)求出向量模的最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，于是，即有，向量是平面的一個法向量，，則，而，于是，因為平面，則，即，化簡得，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：C2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【知識點】空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量模長的坐標表示【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B3．（22-23高一下·廣東云浮·期末）如圖，在正方體中，，E，M，N，P，Q分別為，，，，的中點，O為平面內(nèi)的一個動點，則的最小值為.

【答案】【知識點】空間向量模長的坐標表示、證明線面垂直【分析】先根據(jù)線面垂直得出E關于面MNPQ的對稱點T，,再建系根據(jù)兩點間距離求解即可.【詳解】延長，與的延長線交于點，是正方形，，易得，又,平面,平面,所以平面，則平面，．E關于面MNPQ的對稱點T,易知，

以為坐標原點，DA，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．，E，P，分別為，的中點,，，則.故答案為:.4．（21-22高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，P為正方形（包括邊界）內(nèi)一動點，當P為的中點時，與所成角的余弦值為；若，則的最大值為．【答案】3【知識點】空間向量模長的坐標表示、異面直線夾角的向量求法【分析】以D為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，當P為的中點時，利用向量法即可求解異面直線與所成角的余弦值；設，，由題意可得，令，，，根據(jù)兩點間的距離公式及三角函數(shù)的知識即可求解的最大值.【詳解】解：以D為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．當P為的中點時，，因為，，所以，所以與BD所成角的余弦值為；設，，則，因為，所以，即，令，，，則，，因為，所以，因為，所以．故答案為：；3.考點03線面角的最值問題（共5小題）1．（21-22高一下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求線面角、線面角的向量求法【分析】利用坐標法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，所以，，，設平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設直線與平面所成的角為，則，又，∴當時，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.2．（21-22高二上·遼寧·期末）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（

）A．當x增大時，θ先增大后減小 B．當x增大時，θ先減小后增大C．當d增大時，θ先增大后減小 D．當d增大時，θ先減小后增大【答案】C【知識點】面面角的向量求法、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性【分析】以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數(shù)的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.3．（多選）（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．平面與平面的夾角為C．三棱錐的體積為定值D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】AC【知識點】空間位置關系的向量證明、錐體體積的有關計算、面面角的向量求法、線面角的向量求法【分析】以點A為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷ABD各選項的正誤，利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤.【詳解】以點A為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系.則A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、D0,1,0、、、、，設點，其中.對于A選項，，，則，所以，A選項正確；對于B選項，設平面的法向量為m=x1,y1由，取，可得，則，設平面的法向量為n=x2,由，取，則，則，可得，所以，平面與平面的大小不是，B選項錯誤；對于C選項，，平面，平面，平面，到平面的距離等于點到平面的距離，而點到平面的距離為，即三棱錐的高為，因此，，C選項正確；對于D選項，平面，則為平面的一個法向量，且，又，，所以，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.4．（多選）（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】ACD【知識點】線面角的向量求法、空間向量基本定理及其應用、異面直線夾角的向量求法、錐體體積的有關計算【分析】由空間向量的線性運算可判斷A；利用錐體的體積公式可判斷B；建立空間直角坐標系，利用向量法可判斷C,D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離即，，三棱錐的體積為，故B錯誤；對于C，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，,，設，則，設平面的法向量為，，，所以，即，令，則，則，，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確；對于D，，設直線與直線所成角為，因為，所以當時，，當時，，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.5．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期末）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．多面體的外接球的表面積為B．的周長的最小值為C．線段長度的取值范圍為D．與平面所成的角的正弦值最大為【答案】AC【知識點】空間距離公式的應用、余弦定理解三角形、線面角的向量求法、多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】根據(jù)題意將多面體放入正方體中，根據(jù)正方體外接球相關知識直接判斷A，根據(jù)圖形展開以及余弦定理判斷B，建立合適的空間直角坐標系，結合線段長度和線面角公式判斷C和D.【詳解】對于A，由題意可知，多面體可以放在如圖所示的正方體當中，

設中點為，則為多面體的外接球球心，所以多面體的外接球半徑為，則多面體的外接球的表面積為，故A正確.對于B，的周長為，將如下圖所示展開，當三點共線時，最小，

由，則，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，則的周長最小為，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設，，則，故C正確.對于D，由，所以，設平面法向量，由，令，則，則與平面所成角的正弦值為，因為，所以，當，即時，取得與平面所成角的正弦值的最大值，故D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合應用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關的判定定理和性質定理直接求解；（2）空間向量法，運用空間向量進行基底轉化或者運用坐標法結合公式求解；（3）轉化法，通過轉化與化歸，將所求長度或角度轉化求解.考點04二面角的最值問題（共4小題）1．（多選）（23-24高二上·山東泰安·期末）如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為【答案】ACD【知識點】線面角的向量求法、異面直線夾角的向量求法、空間位置關系的向量證明、錐體體積的有關計算【分析】證明出平面，可知點到平面的距離等于點到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項；以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，為定值，A對；對于B選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、、，因為為的中點，則，則，，所以，，所以，與不垂直，故當為的中點時，直線與平面不垂直，B錯；對于C選項，，設，則，，所以，，因為，則，所以，，所以，，因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對；對于D選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，此時，，，所以，，當且僅當時，等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.2．（22-23高三上·安徽·期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】二面角的概念及辨析、證明面面垂直、平行公理、面面角的向量求法【分析】(1)由條件證明，解三角形求即可；(2)建立空間直角坐標系，求平面PAD和平面PBC的法向量，結合向量夾角公式求平面PAD和平面PBC夾角余弦值，利用換元法和二次函數(shù)性質求其最小值.【詳解】（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因為，所以為直角三角形，，在中，因為，所以，所以所以CE的長為；（2）在平面ABCD內(nèi)過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，則，，以點M為坐標原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，取AD的中點為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點P作，垂足為F，因為平面平面，所以平面，由已知可得，則，設．因為，所以，因為，，為線段的中點，所以，所以，所以，所以．設平面PAD的法向量，則令，則．設平面的法向量，因為，則令．則，所以為平面的一個法向量．設平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【點睛】本題解決的關鍵在于根據(jù)二面角的平面角的定義確定二面角的平面角，結合所建坐標系確定點的坐標.3．（23-24高一下·天津南開·期末）如圖①所示，矩形中，，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線BC與平面所成角的大??；(3)設的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【知識點】面面垂直證線面垂直、證明線面平行、面面角的向量求法、線面角的向量求法【分析】（1）取中點，借助三角形中位線性質，結合平行公理，利用線面平行的判定推理即得.（2）借助面面垂直的性質，以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.（3）連接DG，過點D作平面ABCD，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，以及法向量，列出方程，即可得到結果.【詳解】（1）取中點，連接，由N為PB中點，得，依題意，，則，于是四邊形是平行四邊形，，而平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線BC與平面所成的角為，則，所以直線BC與平面所成角的大小為.（3）連接，由，得，而，則為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，顯然平面，平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作于點，則平面，設，而，則，，，即，，所以，于是，，設平面PAM的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，因為，，則，令，得，設平面和平面為，則令，，則，即，則當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大??；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角．4．（21-22高一下·山東青島·期末）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點為，求的長；(3)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】面面角的向量求法、平面的基本性質的有關計算、錐體體積的有關計算【分析】（1）作出輔助線，得到當平面⊥平面時，P點到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（2）作出輔助線，證明出四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到；（3）作出輔助線，得到∠PGD為的平面角，即，建立空間直角坐標系，用含的關系式表達出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得到，結合的取值范圍求出余弦值的最小值【詳解】（1）取AM的中點G，連接PG，因為PA=PM，則PG⊥AM，當平面⊥平面時，P點到平面ABCM的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時PG⊥平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為（2）取AP中點Q，連接NQ，MQ，則因為N為PB中點，所以NQ為△PAB的中位線，所以NQ∥AB且，因為M為CD的中點，四邊形ABCD為矩形，所以CM∥AB且，所以CM∥NQ且CM=NQ，故四邊形CNQM為平行四邊形，所以.（3）連接DG，因為DA=DM，所以DG⊥AM，所以∠PGD為的平面角，即，過點D作DZ⊥平面ABCD，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，過P作PH⊥DG于點H，由題意得PH⊥平面ABCM，設，因為，所以，所以，所以，所以，設平面PAM的法向量為，則，令，則，設平面PBC的法向量為，因為，則令，可得：，設兩平面夾角為，則令，，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為【點睛】求解二面角的大小或最值，利用空間向量求解，可以將幾何問題轉化為代數(shù)問題，簡潔明了，事半功倍.考點05線面角的探索性問題（共5小題）1．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，線段的長為1.【知識點】證明線面平行、由線面角的大小求長度、已知線面角求其他量【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，從而得到是的中位線，得到線線平行，證明出線面平行；（2）法一：作出輔助線，建立空間直角坐標系，寫出點到坐標，設出，，利用空間向量線面角的求解公式列出方程，求出答案；法二：作出輔助線，得到平面平面，得到直線與平面所成的角即為與平面所成的角，設，由三角形相似得到，表達出，，進而表達出或，故，從而列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）連接，與相交于點，連接，因為，為的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，故，又因為為的中點，所以是的中位線，故，因為平面，平面，所以平面；

（2）法一：存在，線段的長為1，理由如下：取的中點，連接，以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，連接，過點作⊥于點，因為，則，，因為與側棱所在直線所成的角為45°，所以，，所以，設，，，設平面的法向量為，則，令得，則，設直線與平面所成的角的大小為，則，解得或34（舍去），

故，線段的長為.法二：存在，線段的長為1，理由如下：連接，顯然過點，連接，過點，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，由（1）知：且，故四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，故直線與平面所成的角即為與平面所成的角，設，連接，因為垂直于上下底面，上、下底面均是正方形，所以⊥平面，故即為與平面所成的角，連接，過點作⊥于點，因為，則，，因為與側棱所在直線所成的角為45°，所以，，，解得，因為，所以，設，則，即，解得，故，過點作⊥于點，則或，故，由勾股定理得，即，解得，故線段的長為.

2．（22-23高三上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其對角線與交于點，，.(1)證明：平面；(2)若，，為銳角三角形，點為的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知線面角求其他量、錐體體積的有關計算、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）首先根據(jù)垂直關系的轉化證明平面，再證明，根據(jù)線面垂直的判斷定理，即可證明；（2）首先根據(jù)（1）的結果，以點為原點，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式，求點的坐標，再利用等體積轉化求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，與交于點，所以，且，平面，所以平面.（2）以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，即令，解得，.所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，解得或，所以或，因為為銳角三角形，所以，而，

.3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點G，其中．

(1)證明：平面平面ABCD；(2)判斷母線BC上是否存在點P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)存在，.【知識點】證明面面垂直、已知線面角求其他量、證明線面垂直【分析】（1）將面面垂直轉化為平面，根據(jù)圓和圓柱的性質可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量可解.【詳解】（1）由題意可知：在下底面圓中，為直徑．因為，所以為弦的中點，且．因為平面．所以平面，因為平面．所以平面平面．（2）分別以下底面垂直于的直線、為軸，建立空間直角坐標系如圖所示．因為，底面圓半徑為3，所以．則，設．所以，設平面的一個法向量為．由得：即：令則．設直線與平面所成的角為，所以，解得，所以存在點，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，CP的長為4．

4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）如圖，三棱柱中，側面為菱形，為中點，且平面，，，，為平面上一動點．(1)若與平面成角的正切值為，求的最小值．(2)若點在線段上，平面與所成角的正弦值為，求的值．【答案】(1)(2)【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量、證明線面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）如圖過做于，過做于，根據(jù)線面垂直的性質和判定定理可得平面．結合三角函數(shù)求出OG，進而求出GM，BG，由即可求解；（2）建立如圖空間直角坐標系，設，則．利用空間向量法求線面角建立關于的方程，解之即可求解.【詳解】（1）如圖，過做于，過做于．又平面，平面，所以．又有，平面，，則平面．又因為平面，所以．而，平面，，則平面．由三角函數(shù)可得，，則，．由題可知，若與平面成角為，則，則．又，則．所以．（2）以為坐標原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，設，則．所以，，設平面的一個法向量為n=x,y,z，由，得，令y=-1，解得．設，令平面與成角為，則，解得．代入解得或（舍），所以．5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點.(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量、線面角的向量求法、點到平面距離的向量求法【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角，結合向量夾角公式，即可求解點坐標，進而根據(jù)點面距離的向量法即可求解.【詳解】（1）因為在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面,所以平面，又平面，所以，又，點是棱的中點，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）如圖，以點為原點，以，，所在直線為，，軸，建系如圖，則,0,,,0,,,0,,，設點,3,，，所以，，，設平面的法向量，則，取，由于直線與平面所成角的正切值為，故直線與平面所成角的正弦值為所以直線與平面所成角的正弦值為：，化簡可得，即，所以或（舍，即點,3,，所以，，，所以點到平面的距離．考點06二面角的探索性問題（共5小題）1．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點．(1)求證：平面平面PBC；(2)設二面角的平面角為θ，當時，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】證明面面垂直、已知面面角求其他量、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定、面面垂直的判定推理即得.（2）以D為原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法列式計算即得.【詳解】（1）由四邊形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，則平面PCD，又平面PCD，于是，由，點為線段PC的中點，得，又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF，所以平面平面PBC.（2）由（1）知平面PCD，而，則平面PCD，在平面PCD內(nèi)過D作交PC于點G，顯然直線DA，DC，DG兩兩垂直，以D為原點，直線DA，DC，DG分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由，，得，，設，則，設平面DEF的法向量為，則，令，得，而平面PCD的法向量為，則，而，解得，此時．2．（23-24高二下·云南臨滄·期末）如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.(1)求；(2)點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1).(2)或【知識點】線面垂直證明線線垂直、已知面面角求其他量、錐體體積的有關計算【分析】（1）分別利用勾股定理得出，結合在直角中，，即可求解；（2）以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐的體積.【詳解】（1）因為，點O是的中點，所以，在直角中，，又平面，平面，所以，在直角中，，又因為，所以，在直角中，，所以，解得，所以.（2）如圖：以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，由題意平面的一個法向量為，設，則，設為平面的一個法向量，則，即，令，則，因為二面角的正弦值為，所以，化簡得，解得或，當時，則，所以，所以，所以三棱錐的體積為；當時，則，所以，所以，所以三棱錐的體積為；所以三棱錐的體積為或.3．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，(1)求證：EF⊥平面PBC；(2)若，，二面角的正弦值為，求BC．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理證明平面，再證明，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，分別求平面和的法向量，利用法向量夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為平面ABC，平面。所以，因為是的直徑，知，因為，且平面，所以平面，由分別是的中點，所以，所以平面．（2）以為原點，所在直線分別為x軸、軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，，且，所以，，易知平面的一個法向量，設平面的一個法向量，則則，即，∴，取，得，，則，因為二面角的正弦值為，則其余弦值為，所以，化簡得，又因為，所以，解得：，即，所以，即.4．（23-24高二下·云南大理·期末）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】空間位置關系的向量證明、已知面面角求其他量【分析】（1）比較好建系，可用相量法解題，只需要證明即可;（2）建立坐標系以后，寫出關鍵點坐標，取出平面的一個法向量，求出平面的一個法向量，運用余弦值為構造方程，解出即可.【詳解】（1）因為，則，即，如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，則，又因為，可得，所以.

（2）假設存在，易知平面的一個法向量為因為，設n=x,y,z是平面的一個法向量，則，令，可得，可得，則，化簡得，解得或，因為，可得.5．（23-24高二下·湖南長沙·期末）由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.(1)求證：平面；(2)若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面平行、面面角的向量求法、空間位置關系的向量證明、已知面面角求其他量【分析】（1）法一：將幾何體補成四棱柱，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；法二：得到兩兩垂直，建立空間直角直角坐標系，得到平面的法向量，從而得到，得到結論；（2）設，作出輔助線，找到二面角的平面角為，根據(jù)正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面與平面夾角的余弦值，求出答案；【詳解】（1）法一：將幾何體補成四棱柱，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，故，，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面.法二：∵四邊形是菱形，∴⊥，又平面，平面，∴，，故兩兩垂直，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，其中，則，設，由得，由得，則，設平面的法向量為，則，取，得，，又平面，平面.（2）設，取的中點，則，又四邊形是菱形，，因為平面，平面，所以，因為，平面，故面，因為平面，則，因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，又，故四邊形為平行四邊形，故，，故.所以為二面角的平面角.則，其中，故，故，設平面的法向量為，則取，得，，平面與平面夾角的余弦值為，平面與平面夾角為.考點07橢圓，雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題（共7小題）1．（23-24高三上·河北·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設出橢圓的長半軸長，雙曲線的實半軸長為，然后根據(jù)焦點三角形頂角的余弦定理求解出的關系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當且僅當，即時等號成立，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關計算，涉及到焦點三角形、基本不等式求最值等問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關鍵點有兩個：（1）運用兩個曲線的定義，找到離心率之間的關系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖，橢圓和有相同的焦點，離心率分別為為橢圓的上頂點，與橢圓交于點B，若，則的最小值為．【答案】【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)題意，由離心率的定義分別表示出，即可得到，結合三角恒等變換化簡，再由正弦型函數(shù)的值域，即可得到結果.【詳解】設，，則，又，則，，所以，所以，又，所以，所以，則，所以，則的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是引入角度，從而得到，再利用三角恒等變換和三角函數(shù)的值域求出其最值.3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為．【答案】【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)題意在軸右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點，由距離公式求出，然后轉化為二次函數(shù)問題，即只需對稱軸位于，從而可求解.【詳解】由題意知，在橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，由對稱性知，在直線右側要存在兩個點到的距離相等，不妨設軸上方橢圓上的點為，即，得，所以，，要滿足題意，由二次函數(shù)的對稱性可知需在內(nèi)對于總能取到兩個不同的的值，即等價于二次函數(shù)對稱軸在的范圍內(nèi)即可，所以，即，即，即，化簡得，即，即，解得，又因為，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題主要是設點并結合距離公式求出的表達式，再結合二次函數(shù)性質構建出關于系數(shù)的不等式，化簡為，從而可求解.4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．【答案】【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設M，G分別是BC，BE與圓的切點，，設，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，設，由余弦定理可得，，從而求解.【詳解】如圖，設M，G分別是BC，BE與圓的切點，由圓的切線性質知，，設，，，在中，，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則，在中，設，，，，由余弦定理可知：從而得到，.由，，．【點睛】思路點睛：（1）充分利用所給圖形，有利于分析數(shù)量關系；（2）借助“換元”，有利于從“數(shù)”的角度求解最值問題.5．（23-24高二上·湖南·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且為的內(nèi)心，三點共線，且軸上點滿足，則的最小值為；的最小值為.【答案】/【知識點】基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，進而根據(jù)余弦定理，結合離心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根據(jù)內(nèi)心的性質，結合橢圓定義和雙曲線定義可得，，進而根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，不妨設點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：，由橢圓的定義：，可得：，又，由余弦定理得：，即整理得：，所以：；則，當且僅當時取等號.為的內(nèi)心，所以為的角平分線，由于,則有，同理：，所以，所以，即，因為，所以，故，為的內(nèi)心，三點共線，即為的角平分線，延長射線，連接，由點向作垂線，垂足分別為，，，即為的角平分線.，即為的角平分線，則有，又，所以，即，因為，所以，故，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：，【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構造關于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調性和基本不等式的作用.6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【知識點】橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)在橢圓內(nèi)部、橢圓的定義列不等式，化簡求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】點在橢圓的內(nèi)部，則，.因為，當是的延長線與橢圓的交點時等號成立，由于橢圓上存在點使得成立，所以，綜上所述，離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】求解點和橢圓位置關系問題，如果點在橢圓上，則，如果在橢圓外，則，如果在橢圓內(nèi)，則.要求橢圓的離心率的范圍，可以考慮直接求得的范圍，也可以先求的范圍，再轉化為的范圍.7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區(qū)間形式）．【答案】【知識點】由標準方程確定圓心和半徑、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】設P的坐標為，根據(jù)求出，故點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，分圓M與直線AB相切和兩種情況，求出離心率的取值范圍.【詳解】直線AB方程為，設點P的坐標為，，故，所以點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，①圓M與直線AB相切，則原點到直線的距離等于半徑，，即，，方程兩邊同除以得，，解得，故，②若，，解得，綜上，的取值范圍為．故答案為：.【點睛】橢圓離心率是最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).考點08圓錐曲線中面積定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·河北·期末）已知點和點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標準方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)或范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）代入兩點得到關于的方程，解出即可；（2）以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；【詳解】（1）由題意可知，解得，橢圓的方程為.（2），則直線的方程為，即，，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立，得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或

2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中的定值問題、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，．在橢圓上下頂點，面積的最大值.求出，再求出，進而得到方程.（2）證明設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理計算，求得點到直線的距離，通過面積公式化簡計算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，．在橢圓上下頂點，面積的最大值.此時.所以，則求橢圓的方程.（2）如圖所示，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，.，，又，因為點到直線的距離，且，所以．綜上，的面積為定值．3．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知橢圓的離心率為，，，，，設P為橢圓C上一點的面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)當P在第三象限，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）根據(jù)離心率和三角形面積公式列方程求解即可；（2）設點Px0,y0，求出直線和的方程，求出點M和N的坐標，從而求得，即可證明四邊形【詳解】（1）依題意，所以，又最大值為，所以，所以，解得，，所以橢圓C的方程為；（2）設點Px0,y0，由題意，而，，所以直線，所以點，所以，又直線，所以點，所以，所以，所以是定值.

4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.(1)求直線的方程；(2)若直線與雙曲線交于另一點求的面積.【答案】(1)或(2)【知識點】過圓外一點的圓的切線方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、直線的點斜式方程及辨析、求直線與雙曲線的交點坐標【分析】（1）已知過A?2,0，討論直線斜率是否存在，斜率不存在時不符合題意，斜率存在時設直線的點斜式方程，由直線和圓相切得到圓心到直線的距離為半徑，解出的值即可得到直線方程；（2）若直線與雙曲線有兩個交點，則直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到點的縱坐標，由得到三角形的面積.【詳解】（1）由知左頂點A?2,0，當直線斜率不存在時與圓不想切不符合題意；當直線斜率存在時，設即，由與圓相切得，解得或，所以直線的方程為或.（2）由知，所以漸近線斜率為，若直線的斜率為，則與雙曲線只有點一個交點，不符合題意，舍去；若直線的方程為，與雙曲線有兩個交點，聯(lián)立消去并整理得，解得或，因為，所以，又因為，所以.5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若為坐標原點，直線交雙曲線于兩點，求的面積．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、求雙曲線中的弦長【分析】（1）根據(jù)離心率設，求出，代入焦點到漸近線的距離計算進而可得，則雙曲線方程可求；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式，點到直線距離公式求解面積即可.【詳解】（1）由題意得：，令，則，又焦點到漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標準方程為；（2）設，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，，，所以，又原點到直線的距離，所以．6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且的離心率為2，焦距為4．(1)求的方程；(2)直線過點且與交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求的方程．【答案】(1)(2)或．【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程【分析】（1）利用離心率求出雙曲線方程即可.（2）利用三角形的面積求出斜率，進而寫出方程即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以，故的方程為．（2）由（1）知，顯然直線的斜率不為0，設的方程為，

聯(lián)立方程組，消去得，則．設Ax1,所以．由，化簡得，解得（負值舍去），即，所以直線的方程為或．7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圓，動圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設動圓圓心的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于、兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【知識點】求平面軌跡方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題【分析】（1）利用兩圓內(nèi)切所滿足的條件列出等式即可；（2）首先設直線的方程，和拋物線聯(lián)立，，AB用弦長公式，則