2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語章末整合提升學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-章末整合提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·理脈落學(xué)問整合·悟素養(yǎng)1．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若?p，則?q逆否命題若?q，則?p(2)四種命題間的逆否關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．2．充分條件與必要條件(1)假如p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)分類：①p是q的充要條件：p?q且q?p，記作p?q；②p是q的充分不必要條件：p?q，qeq\o(?,/)p；③p是q的必要不充分條件：q?p，peq\o(?,/)q；④p是q的既不充分也不必要條件：peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p.3．簡潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，可得p∧q，p∨q，?p.(2)命題p∧q中p、q有一假為假，p∨q有一真為真，p與?p必定是一真一假．4．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與全稱命題．全稱量詞用符號“?”表示．全稱命題用符號簡記為?x∈M，p(x)．(2)存在量詞與特稱命題．存在量詞用符號“?”表示．特稱命題用符號簡記為?x0∈M，p(x0)．5．含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)專題突破·啟智能專題命題及其真假推斷可以推斷真假的陳述句為命題、反問句也是命題，但疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．典例1下列語句哪些是命題，是命題的推斷其真假．(1)方程x2－2x＝0的根是自然數(shù)；(2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是隨意角)；(3)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；(4)函數(shù)y＝12x＋1是單調(diào)增函數(shù)；(5)非典型肺炎是怎樣傳染的？(6)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)；(7)好人一生平安！(8)解方程3x＋1＝0；(9)方程3x＋1＝0只有一個(gè)解；(10)3x＋1＝0.[解析](1)(2)(3)(4)(6)(9)都是命題，其中(1)(4)(6)(9)為真命題．『規(guī)律總結(jié)』(5)是疑問句，(7)是感嘆句，(8)是祈使句都不是命題，(10)中由于x的值未給，故無法推斷此句的真假，因而不是命題．典例2推斷命題：“若a＋b≠7，則a≠3，且b≠4”的真假．[解析]其逆否命題為：“若a＝3或b＝4，則a＋b＝7”．明顯這是一個(gè)假命題，∴原命題為假．『規(guī)律總結(jié)』復(fù)合命題的真假推斷是個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)干脆推斷不易著手時(shí)，可轉(zhuǎn)為推斷它的等價(jià)命題——逆否命題，這是一種重要的處理技巧．專題四種命題的關(guān)系1．留意：若p，則q，不能寫作“p?q”，因?yàn)槿魀，則q真假未知，而“p?q”是說“若p，則q”是一個(gè)真命題．2．原命題與其逆否命題等價(jià)，原命題的逆命題與原命題的否命題也等價(jià)．從而四種命題中有兩對同真同假．3．互逆或互否的兩個(gè)命題不等價(jià)，其真假?zèng)]有聯(lián)系．典例3寫出下列各命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判定其真假：(1)?n∈N，若n是完全平方數(shù)，則eq\r(n)∈N；(2)?a，b∈R，假如a＝b，則a2＝ab；(3)對于平面對量a、b、c，若a·b＝a·c，則b＝c.[解析](1)逆命題：?n∈N，若eq\r(n)∈N，則n是完全平方數(shù)．(真)否命題：?n∈N，若n不是完全平方數(shù)，則eq\r(n)?N.(真)逆否命題：?n∈N，若eq\r(n)?N，則n不是完全平方數(shù)．(真)(2)逆命題：?a，b∈R，若a2＝ab，則a＝b.(假)否命題：?a，b∈R，若a≠b，則a2≠ab.(假)逆否命題：?a，b∈R，若a2≠ab，則a≠b.(真)(3)逆命題：對于平面對量a、b、c，若b＝c，則a·b＝a·c.(真)否命題：對于平面對量a、b、c，若a·b≠a·c，則b≠c.(真)逆否命題：對于平面對量a、b、c，若b≠c，則a·b≠a·c.(假)典例4寫出下列命題的否定，并推斷真假．(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)p：方程2x＋1＝0有一負(fù)實(shí)根；(3)p：三角形的兩邊之和大于第三邊；(4)p：存在實(shí)數(shù)q<0，使方程x2＋2x＋q＝0無實(shí)根．[解析](1)?p：“沒有一個(gè)三角形是直角三角形”．(假)(2)?p：“方程2x＋1＝0無負(fù)實(shí)根”．(假)(3)?p：“存在某個(gè)三角形，兩邊之和小于或等于第三邊”．(假)(4)?p：“對隨意實(shí)數(shù)q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有實(shí)數(shù)根”．(真)專題充分條件與必要條件1．充分條件、必要條件的判定問題始終是高考的熱點(diǎn)，可以說歷年來每年必考．這是因?yàn)橐环矫娉浞謼l件、必要條件很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上邏輯推理的純粹性與完備性；另一方面是這一邏輯學(xué)問可以和本學(xué)科內(nèi)的許多學(xué)問相聯(lián)系、相結(jié)合．2．命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分為四類：(1)充分不必要條件，即p?q，而qeq\o(?,/)p.(2)必要不充分條件，即peq\o(?,/)q，而q?p.(3)充要條件，既有p?q，又有q?p.(4)既不充分也不必要條件，既有peq\o(?,/)q，又有qeq\o(?,/)p.3．充分條件與必要條件的推斷(1)干脆利用定義推斷：即“若p?q成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”．(條件與結(jié)論是相對的)(2)利用等價(jià)命題的關(guān)系推斷：“p?q”的等價(jià)命題是“?q??p”，即“若?q??p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”．(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷：假如條件p和結(jié)論q都是集合，那么若p?q，則p是q的充分條件；若p?q，則p是q的必要條件；若p＝q，則p是q的充要條件．典例5“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由10a>10b得a>b，由lga>lgb可得a>b>0，故“10a>10b”是“l(fā)ga>lg典例6已知直線y＝2x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，有兩個(gè)點(diǎn)A(－1,1)、B(3,3)，那么使向量eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))的夾角為鈍角的一個(gè)充分不必要條件是(B)A．－1<a<2 B．0<a<1C．－eq\f(\r(2),2)<a<eq\f(\r(2),2) D．0<a<2[解析]由題設(shè)條件知P(a,2a∵eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))的夾角為鈍角，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))<0，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－a,1－2a)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－a,3－2a)，∴(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2解得0<a<2，又∵eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))方向相反時(shí)，a＝1，∴0<a<1或1<a<2，故選B．專題含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題1．邏輯聯(lián)結(jié)詞：在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會(huì)運(yùn)用一些聯(lián)結(jié)詞，如“或”“且”“非”．2．“p且q”記作p∧q；“p或q”記作p∨q；“非p”記作?p.3．命題p∧q，p∨q和?p的真假可以用下表來推斷(即真值表)：pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真上述語句可以描述為：對于p∧q而言“一假必假”；對于p∨q而言“一真必真”；對于?p而言“真假相反”．典例7設(shè)集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命題p：1∈A，命題q：2∈A.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則a的取值范圍是(C)A．0<a<1或a>2 B．0<a<1或a≥2C．1<a≤2 D．1≤a≤2[解析]若p為真時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a<1<a，,a>0，))得a>1.若q為真時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a<2<a，,a>0，))得a>2.∵p∨q為真，p∧q為假，∴p，q中一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,0<a≤2，))?1<a≤2.當(dāng)p假q真時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,a>2，))無解．∴1<a≤2，故選C．專題全稱命題與特稱命題1．全稱命題與特稱命題含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是特稱命題．推斷全稱命題為真命題，需嚴(yán)格的邏輯推理證明，推斷全稱命題為假命題，只需舉出反例．推斷特稱命題為真命題，只要找到一例即可，而推斷特稱命題為假時(shí)，要有嚴(yán)格的邏輯證明．2．含有一個(gè)量詞的命題的否定這是高考考查的重點(diǎn)，對全稱命題和特稱命題的考查主要以考查它們的否定為主，多以客觀題為主，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．典例8推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出命題的否定，并推斷其真假：(1)p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)p：全部的正方形都是矩形；(3)p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8≤0；(4)p：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.[解析](1)是全稱命題，?p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0.因?yàn)閷τ陔S意的x，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0，所以?p為假命題．(2)是全稱命題，?p：存在一個(gè)正方形，它不是矩形．正方形是特別的矩形，所以?p為假命題．(3)是特稱命題，?p：?x∈R，x2＋2x＋8>0.因?yàn)閷τ陔S意的x，x2＋2x＋8＝(x＋1)2＋7≥7>0，所以?p為真命題．(4)是特稱命題，?p：?x∈R，x3＋1≠0.因?yàn)閤＝－1時(shí)，x3＋1＝0，所以?p為假命題．即時(shí)鞏固一、選擇題1．(2024·陜西漢中市漢臺(tái)中學(xué)聯(lián)考)命題“對隨意x∈R，都有x2≥0”的否定為(D)A．對隨意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，都有x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<02．已知a、b∈R，ab≠0，則“a>0，b>0”是“eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)a>0，b>0時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．反之，當(dāng)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)時(shí)，a，b同號時(shí)，即a>0，b>0或a<0，b<0而當(dāng)a<0，b<0時(shí)，eq\f(a＋b,2)<eq\r(ab)∴a>0，b>0成立，∴選C．二、填空題3．“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的否定形式是__末位數(shù)字是0或5的整數(shù)，不能被5整除__；否命題是__末位數(shù)字不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除__.[解析]“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的否定形式是“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)，不能被5整除”，“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的否命題是“末位數(shù)字不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除”．4．下列命題：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要條件；②“b2－4ac<0”是“不等式ax2＋bx＋c<0解集為R③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充分不必要條件；④“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0”的必要而不充分條件．其中真命題的序號為__④__.[解析]