2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2.3數(shù)學(xué)歸納法自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入從前有一位畫(huà)家，為了測(cè)試他的三個(gè)徒弟對(duì)繪畫(huà)奧妙的駕馭程度，就把他們叫來(lái)，讓他們用最少的筆墨，畫(huà)出最多的馬．第一個(gè)徒弟在卷子上密密麻麻地畫(huà)了一群馬；其次個(gè)徒弟為了節(jié)約筆墨，只畫(huà)出很多馬頭；第三個(gè)徒弟在紙上用筆勾畫(huà)出兩座山峰，再?gòu)纳焦戎凶叱鲆黄ヱR，后面還有一匹只露出半截身子的馬．三張畫(huà)稿交上去，評(píng)判結(jié)果是最終一幅畫(huà)被認(rèn)定為佳作，構(gòu)思奇妙，筆墨經(jīng)濟(jì)，以少勝多！這第三張畫(huà)稿只畫(huà)了一匹半馬，為何能賽過(guò)一群馬呢？你知道其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理嗎？新知導(dǎo)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：①(歸納奠基)證明當(dāng)n取__第一個(gè)值n0(n0∈N*)__時(shí)命題成立．②(歸納遞推)假設(shè)__n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立__，證明__當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立__.預(yù)習(xí)自測(cè)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是(C)A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左邊為1＋2＋3.故應(yīng)選C．2．(2024·玉溪模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝2(eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n))時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2)為偶數(shù)時(shí)命題為真，則還須要用歸納假設(shè)再證n＝________時(shí)等式成立．(B)A．n＝k＋1 B．n＝k＋2C．n＝2k＋2 D．n＝2(k＋2)[解析]由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)n＝k(k≥2)為偶數(shù)時(shí)命題為真，則還須要用歸納假設(shè)再證n＝k＋2，不是n＝k＋1，因?yàn)閚是偶數(shù)，k＋1是奇數(shù)，故選B．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(127,64)成立時(shí)，起始值n至少應(yīng)取為(B)A．7 B．8C．9 D．10[解析]∵1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,27－1)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7,1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,26)＝eq\f(27－1,26)＝eq\f(127,64)而1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,28－1)>eq\f(127,64)，故應(yīng)選B．4．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，由此推想，當(dāng)n>2時(shí)，有__f(2n)>eq\f(n＋2,2)__.[解析]自變量的取值依次為2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故為2n.右邊分母全為2，分子依次為3,4,5,6,7，…，故右邊為eq\f(n＋2,2)，即f(2n)>eq\f(n＋2,2).互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?用數(shù)學(xué)歸納法證明等式典例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．[思路分析]依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟進(jìn)行證明．[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由(1)(2)知，等式對(duì)任何n∈N*都成立．『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，一是弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的狀況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端的項(xiàng)是如何改變的，即增加了哪些項(xiàng)，削減了哪些項(xiàng)；三是證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并向n＝k＋1時(shí)證明目標(biāo)的表達(dá)式進(jìn)行變形．┃┃跟蹤練習(xí)1__■用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(n2,2n－12n＋1)＝eq\f(nn＋1,22n＋1).(n∈N*)[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝eq\f(12,1×3)，右邊＝eq\f(1×2,2×3)，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＝eq\f(kk＋1,22k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,2k－12k＋1)＋eq\f(k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f(kk＋1,22k＋1)＋eq\f(k＋12,2k＋12k＋3)＝eq\f(k＋1k＋2,22k＋3)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立．由(1)(2)可得，對(duì)于隨意的n∈N*等式都成立．命題方向?用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式典例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<2－eq\f(1,n)(n≥2)．[思路分析]依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過(guò)程可應(yīng)用放縮技巧，使問(wèn)題簡(jiǎn)潔化．[證明]1°當(dāng)n＝2時(shí)，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)<2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，命題成立．2°假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)<2－eq\f(1,k).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋12)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,kk＋1)＝2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝2－eq\f(1,k＋1)命題成立．由1°、2°知原不等式在n≥2時(shí)均成立．『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式和證明恒等式留意事項(xiàng)大致相同，須要留意的是：(1)在應(yīng)用歸納假設(shè)證明過(guò)程中，方向不明確時(shí)，可采納分析法完成，經(jīng)過(guò)分析找到推證的方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．(2)在推證“n＝k＋1時(shí)不等式也成立”的過(guò)程中，經(jīng)常要將表達(dá)式作適當(dāng)放縮變形，以便于應(yīng)用歸納假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論．┃┃跟蹤練習(xí)2__■用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))<2eq\r(n)(n∈N*)．[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2.左邊<右邊，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))<2eq\r(k).則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))<2eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(2\r(k)\r(k＋1)＋1,\r(k＋1))<eq\f(\r(k)2＋\r(k＋1)2＋1,\r(k＋1))＝eq\f(2k＋1,\r(k＋1))＝2eq\r(k＋1).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式對(duì)隨意n∈N*都成立．命題方向?用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題典例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[思路分析]證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，即采納增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得以解決．[證明](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題明顯成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設(shè)知，上式能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．由(1)、(2)知，對(duì)一切n∈N*，命題都成立．『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，首先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除．其中的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，可采納增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法分析出因子，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得到解決．利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，由歸納假設(shè)P(k)能被p整除，證P(k＋1)能被p整除，也可運(yùn)用結(jié)論：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，將P(k＋1)變形轉(zhuǎn)化分解因式產(chǎn)生因式p.例如本題中，在推證n＝k＋1命題也成立時(shí)，可以用整除的定義，將歸納假設(shè)表示出來(lái)，假設(shè)n＝k時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)為多項(xiàng)式)，所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1時(shí)，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，明顯能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1時(shí)，命題亦成立．┃┃跟蹤練習(xí)3__■求證：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除．[證明](1)明顯，當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)命題成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，則當(dāng)n＝2k＋1時(shí)，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1.由(1)、(2)可知當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除．學(xué)科核心素養(yǎng)歸納——猜想——證明由已知條件首先計(jì)算數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)的值，依據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，猜想出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式或遞推公式，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項(xiàng)的一種常見(jiàn)的方法．典例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求{Sn}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0，有一根S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝eq\f(1,2).當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－eq\f(1,2)，于是(a2－eq\f(1,2))2－a2(a2－eq\f(1,2))－a2＝0，解得a2＝eq\f(1,6).(2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Seq\o\al(2,n)－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)由(1)知S1＝a1＝eq\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).由(*)可得S3＝eq\f(3,4).由此猜想Sn＝eq\f(n,n＋1)，n＝1,2,3，….下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．①n＝1時(shí)，已知結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝eq\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由(*)得Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)，即Sk＋1＝eq\f(k＋1,k＋2).故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．由①②可知Sn＝eq\f(n,n＋1)對(duì)全部正整數(shù)n都成立．『規(guī)律總結(jié)』數(shù)學(xué)歸納法源于對(duì)某些猜想的證明，而猜想是依據(jù)不完全歸納法對(duì)一些詳細(xì)的、簡(jiǎn)潔的情形進(jìn)行視察、類比而提出的．給出一些簡(jiǎn)潔的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對(duì)隨意自然數(shù)n都成立的一般性命題．解題一般分三步進(jìn)行：(1)驗(yàn)證P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；(2)提出猜想；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明．┃┃跟蹤練習(xí)4__■已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn.(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的結(jié)論．[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4S1，即aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4a1，即aeq\o\al(2,1)－2a1＝0，解得a1＝2(a1＝0舍去)；當(dāng)n＝2時(shí)，aeq\o\al(2,2)＋2a2＝4S2，即aeq\o\al(2,2)＋2a2＝4(2＋a2)，即aeq\o\al(2,2)－2a2－8＝0，解得a2＝4(a2＝－2舍去)；當(dāng)n＝3時(shí)，aeq\o\al(2,3)＋2a3＝4S3，即aeq\o\al(2,3)＋2a3＝4(2＋4＋a3)，即aeq\o\al(2,3)－2a3－24＝0，解得a3＝6(a3＝－4舍去)；當(dāng)n＝4時(shí)，aeq\o\al(2,4)＋2a4＝4S4，即aeq\o\al(2,4)＋2a4＝4(2＋4＋6＋a4)，即aeq\o\al(2,4)－2a4－48＝0，解得a4＝8(a4＝－6舍去)．由以上結(jié)果猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，由(1)知，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝2k，這時(shí)有aeq\o\al(2,k)＋2ak＝4Sk，即Sk＝k2＋k.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＝4Sk＋1，即aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＝4(Sk＋ak＋1)，所以aeq\o\al(2,k＋1)