第四節(jié) 極限的應(yīng)用

第四節(jié)極限的應(yīng)用一、函數(shù)的連續(xù)性二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的間斷點(diǎn)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)f(x)滿足：則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，并稱x0為函數(shù)差值u2-u1稱為變量u在u1處的增量,記成定義1f(x)的連續(xù)點(diǎn).增量 變量u從初值u1變化到終值u2,則Δu,即Δu=u2-u1．變量u的增量可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處的增量Δx(=x-x0)趨于零時,函數(shù)的相應(yīng)增量Δy無限逼近零,定義1′

函數(shù)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義,即則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).例1

討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性．解

因為所以f(x)在x=0處連續(xù)．例2

證明n次多項式函數(shù)Pn(x)在R上連續(xù)．證明

任意x0∈R,由前面的例題知,所以Pn(x)在R上連續(xù)．定義2若函數(shù)f(x)在x0處,有f(x0+)=f(x0)(或f(x0-)=f(x0))，則稱函數(shù)f(x)在x0處右(左)連續(xù).函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的充要條件是f(x)在x0處左連續(xù)且右連續(xù).如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每定義3一點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).

如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)、在b點(diǎn)左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).

函數(shù)f(x)在它的定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(x)為連續(xù)函數(shù).

從幾何直觀上看，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線.例3

討論函數(shù)在x=處的連續(xù)性．

解

由于g(x)在x=的左、右表達(dá)式不同,所以先討論函數(shù)g(x)在處的左、右連續(xù)性.由于所以g(x)在x=處左、右連續(xù).從而在x=處連續(xù).二、初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的和差積商的運(yùn)算若函數(shù)f(x)、g(x)都在x0處連續(xù),則定理1函數(shù)f(x)±g(x)、f(x)·g(x)也在x0處連續(xù).若函數(shù)f(x)、g(x)都在x0處連續(xù)，定理2g(x0)≠0,則在x0處函數(shù)f(x)/g(x)也連續(xù). 例4

證明三角函數(shù)是連續(xù)函數(shù)．證我們只證cotx的連續(xù)性:任意x0∈R,x0≠kπ(k∈Z),由cosx、sinx都在x0連續(xù)，且sinx0≠0，據(jù)定理2,在x0處連續(xù)，從而cotx為連續(xù)函數(shù)．2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)u=φ(x)在x0處連續(xù)且定理3函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在x0處連續(xù).u0=φ(x0),即極限符號“l(fā)im”與連續(xù)的函數(shù)符號“f”可以交換次序.函數(shù)y=f(u)在u0連續(xù),推論1設(shè)則:例5

求解因為,y=sinu在u=處連續(xù),由定理4的推論得例6

求解因為

y=cosu在u=π處連續(xù),由定理4的推論得=cosπ=-13.初等函數(shù)的連續(xù)性

由基本初等函數(shù)的連續(xù)性，常值函數(shù)在任一區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，以及本節(jié)定理1、定理2和定理3得到以下重要結(jié)論:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)．因此求初等函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)x0處的極限直接可用來求．基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù).例7

求解

由于x→0時，此極限是“設(shè)法約去分子、分母的公共零因式,”型，因此要可用有理化分子的辦法．因為注意上式右端,x=0是初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),所以4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理5

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值和最小值．注：定理中的“閉區(qū)間”和“連續(xù)”的條件不具備時，結(jié)論可能不成立．既無最大值也無最小值.例如函數(shù)y=x在開區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),但它又如:

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界.推論1定理6最大值和最小值之間的一切值.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到介于有一個零值點(diǎn).推論3函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),而且f(a)與f(b)異號,則函數(shù)f(