根據(jù)遞推公式,求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 總結(jié)歸納

求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法歸納

目錄

一、概述.....................

二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式....

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程.....

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程......

三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法—-

1、公式法.......................

2、歸納猜想法...................

3、累加法...................

4、累乘法..................

5、構(gòu)造新函數(shù)法（待定系數(shù)法）....

6、倒數(shù)變換法...................

7、特征根法.................

8、不動(dòng)點(diǎn)法.................

9、換元法.................

10、取對(duì)數(shù)法.................

11、周期法

一、概述

在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有

重要位置，而且，在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的作用，同時(shí)，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分

析、歸納、猜想、邏輯推理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的必不可少的

重要途徑。

數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、

公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公

式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉

一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問(wèn)題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：

1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效的

解決問(wèn)題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過(guò)程就用到了不完全歸納法。

2、倒敘相加法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，很好的應(yīng)

用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問(wèn)題都直接或間接地用到了這種方法。

3、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是另一類(lèi)數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過(guò)一

定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個(gè)數(shù)求和的問(wèn)題。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用

到了這種思想方法。

4、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過(guò)程

中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類(lèi)特殊的數(shù)列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而

運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題。

5、方程的思想方法數(shù)列這一章炒及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n項(xiàng)

和前n項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個(gè)等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過(guò)程

中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過(guò)公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題

變得清晰、明了，而且簡(jiǎn)化了解題過(guò)程八

二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式

第一節(jié)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

(1)可以從等差數(shù)列特點(diǎn)及定義來(lái)引入。

定義：應(yīng)2時(shí),有an—a(n—l)=d,則：

a2=al+d

a3=a2+d=al+2d

a4=a34-d=al+3d

a5=a4+d=al+4<1

猜測(cè)并寫(xiě)出an=?

(2)采取累加

a2—a1=d

a3—a2=d

a4—a3=d

an—a(n—1)=d

累加后，有：

an—a1=(n—1)d,即:

an=a1+(n—1)d。

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和：

方法一：高斯算法(即首尾相加法)

1+2+3+???+50+51+???+98+99+100=?

1+100=101,2+99=101,-,50+51=101,所以原式二50x(1+101)=5050

則利用高斯算法，容易進(jìn)行類(lèi)比，過(guò)程如下：

+a2++.........+?！ㄒ?++cif

其中a〃

ax+an=+n-\=+a_2=……

若加+〃=夕+q,貝"a,”+a〃=aaq

這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì):

問(wèn)題是一共有多少個(gè)％+an,學(xué)生自然想到對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論。

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí):

s“+…+%+%+…+,

22+

??S,,=5(4+a〃)

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):

s“=6+?工+???+《

2

分析到這里發(fā)現(xiàn)〃也“落單”了，似乎遇到了阻礙，此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生不能放棄，在

2

老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn)，的角標(biāo)與（囚+?！ǎ┙菢?biāo)的關(guān)系

V

H—1

Scn=?。╭+/）+%+1

2F

f4+1+4+i

〃一1/、VV

(67,4-61,,)+-

乙乙

n/、

=3(%+%)

cn,、

從而得到，無(wú)論n取奇數(shù)還是偶數(shù)，Sn=-（a,+an）

總結(jié)：（1）類(lèi)比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對(duì)”，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論，思路自

然，容易掌握。

（2）不少資料對(duì)n取奇數(shù)時(shí)的處理辦法是，當(dāng)討論進(jìn)行不下去時(shí)轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法,

進(jìn)而引出倒序相加求和法。

方法二：對(duì)n的奇偶進(jìn)行討論芍點(diǎn)麻煩，能否回避對(duì)n的討論呢？接下來(lái)給出實(shí)際問(wèn)題:

伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。

s〃=4+。2+…+%+?！?/p>

!!!I

Sn=an+an-\+…+%+4

兩式相加得：2S〃=〃(q+%)

5(4+a〃)

總結(jié)：(1)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在

解決問(wèn)題的同時(shí)也體會(huì)到同一個(gè)問(wèn)題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方

法。

(2)倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)

習(xí)做好了鋪墊。

(3)在過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美。

三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

一、公式法

例I、已知無(wú)窮數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，并且4+S〃=1(〃￡M),求｛a〃｝的通項(xiàng)公

式？

【解析】：［Sn=\-an,ei^=Sn+i-Sn=an-an.if又4=；，

??/=3?

反思：利用相關(guān)數(shù)列｛%｝與電｝的關(guān)系：4=，M=S“—SJ(TIN2)與提設(shè)條件，建

立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.

二、歸納猜想法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證

明其正確性，這種方法叫歸納法.

例2、已知數(shù)列｛〃”｝中，4=1,an=2an_i+\(n>2)t求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【解析】：=1,afl=2art_,+1(T?>2),a2=2a｝+\=3,a3=2a2+1=7???

猜測(cè)q=2"-1(〃€N"),再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(略)

反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法

證明其正確性.

三、累加法：利用/=%+(。2-6)+…(勺—/_1)求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。累加

法是求型如外川=%+/(〃)的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(/(〃)可求前〃項(xiàng)和).

例3、已知無(wú)窮數(shù)列｛七｝的的通項(xiàng)公式是。“二(；),若數(shù)列｛〃｝滿足a=1,

/iy

4+1-4=-(〃21),求數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式.

(1Y?

【解析】：伉=1也+i-4=-521),.二以=々+血一4)+…("一a-1)=1+彳+...+

I2，2

反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為=4+/(〃)。

四、累乘法:利用恒等式凡="生幺…4(/工0,〃22)求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法,

G\a2an-\

累乘法是求型如：。向=g5)〃”的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列g(shù)(〃)可求前〃項(xiàng)

積)。

例4、已知4=1M=〃(%+1—%)(〃￡N")，求數(shù)列｛an｝通項(xiàng)公式.

n+,

[解析)：Van=—?！?，/.=----，又有an=a]――.??――(anw0,〃22)二

an〃6a2%

23n

1X—x-x---x—=當(dāng)〃=1時(shí)q=1,滿足a〃=〃，a”=幾.

反思：用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為=g(〃)a“.

五、構(gòu)造新數(shù)列(待定系數(shù)法)：格遞推公式4+1=夕4+d(q,d為常數(shù)，夕工0,dwO)

通過(guò)(an+i+x)=q(an+x)與原遞推公式恒等變成all+i+—°—=虱&的方法叫構(gòu)

q-\q-\

造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。

例5、已知數(shù)列｛q｝中，q=1,4=2々”_1+1(〃22),求｛4｝的通項(xiàng)公式.

【解析】：利用(4+工)=2(4.1+幻,求得?！?1=2(?！盻]+1),「.｛4+1｝是首項(xiàng)為

4+1=2,公比為2的等比數(shù)列，即a.+1=2”,an=2"-1

反思：構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(guò)+%)=4(4+幻來(lái)構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比

數(shù)列.

六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列勺+i-*1(。大。,“#o),取倒數(shù)變成「-一--L+』的形

4+d43C%C

式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時(shí)將數(shù)列J']看成一個(gè)新的數(shù)列，即

lan]

再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。

例6、已知數(shù)列｛(｝5wN*)中，4=1,。向=/丁,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【解析】：將。向取倒數(shù)得：—=2+—-——-=2,/.是以J_=i

2%+1an+lanan+｝an[an]a｝

為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.-1=1+2(〃-1),，凡二」一.

凡2〃-1

反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng)，公差或公比

變化了。

七、特征根法：形如遞推公式為a〃+2=pa〃+i+qa”(其中p，q均為常數(shù))。

對(duì)于由遞推公式an+2=pan+｝+qan,有q=a,2=〃給出的數(shù)列｛%｝，方程

x2-px-q=0,叫做數(shù)列｛4｝的特征方程。

若再,它是特征方程的兩個(gè)根，

當(dāng)芭W%2時(shí)，數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)為勺=+取丁，其中A,B由卬=。,對(duì)=方?jīng)Q定

（即把6,生，當(dāng)，々和〃=1，2,代入&=Ar；i+Br；i,得到關(guān)于A、B的方程組）；

當(dāng)芭=々時(shí)，數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)為%=（A+其中A,B由q=。,電=〃決定（即

把。］,。2，陽(yáng),12和〃=1，2,代入%=（A+胡）匯"，得到關(guān)于A、B的方程組）。

例7：數(shù)列｛〃〃｝滿足3%.2一5〃”+i+24=0（〃>0,WGN）,ai=a,a2=b，求an

【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：3X2-5X+2=0O

*.a?=Avf1+Bxf1=A+B-(-)n-,o又由％=〃,〃2=b,于是

a=A+B

'故a“=3Z?—2a+3(a-b)(2尸

2=>

b=A+-BB=3(a-b)"3

3

反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的用已知量a,b

表示的值，從而可得數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式。

八、不動(dòng)點(diǎn)法

若A,B工0且ADBCW0,解"='"+D，設(shè)。為其兩根

Cx+D

I、若a#B、數(shù)列｛4〃―“｝是等比數(shù)列;

an-P

II、若，=/?,數(shù)列｛—!—｝是等差數(shù)列。

a?-a

7an-2

例8、已知數(shù)列｛an｝滿足an+1=cn,4,ai=2,求數(shù)列｝的通項(xiàng)公

2an+J

式。

7x—23x-1

【解析】：令x=3m'得2x2—4x+2=°,則g是函數(shù)f(x)=R

的不動(dòng)點(diǎn)。

._7an-2_5an-5

因?yàn)閍n+]-1———1———T

2an+32an+3

35

12a「+32an+32八3、12

-------=-——=--------=-(1+——)=+一，

a

n+!"15an-55an-15an-1an-1--5

11

[1112

所以數(shù)列｛*｝是以.=匚1=1為首項(xiàng)’以尹公差的等差數(shù)列，則

—^―-=1+(n-1)]2n+8

T5故%=2n+3°

3x-1/X-2

反思：本題解題的關(guān)犍是先求出函數(shù)f(x)=：——G的不動(dòng)點(diǎn)，即方程x=的

4x4-72x+3

11,2f11

根x=i,進(jìn)而可推出二7二二？十三，從而可知數(shù)列?｝為等差

an+lan-1?an-1

數(shù)列，再求出數(shù)列｛a1J的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列｛@n｝的通項(xiàng)公式.

九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，從而使遞推數(shù)列看起來(lái)更簡(jiǎn)

單，更易找到解決的方法。

例9、己知數(shù)列｛an｝滿足@n+i=—+4an+Jl+24a1]),a】=1,

16

求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

【解析】：令bn=Jl+24an,則an=2(b：—D

l2

故2n+l=-(bn+l—1)

代入an+]=i(1+4an+Jl+24ad)得

1o

19119

—(b^-l)=—[l+4-(b^-l)+bn]

即4b3=0+3產(chǎn)

因?yàn)閎n=JI+24an之o,故bn+1=Jl+24a?i>0

13

則2bn+i=bn+3,即bn+]=-bn+5,

可化為bn+1-3=~(bn-3),

._______________1

所以｛bn_3｝是以b1_3=Jl+24a]_3=Jl+24?l_3=2為首項(xiàng)，以5

為公比的等比數(shù)列，因此bn—3=2-(3