GARCH模型與波動性建模課件

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GARCH模型與波動性建模不確定性是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)和金融理論經(jīng)常涉及到的一個焦點(diǎn)問題。圖9.1上證指數(shù)日收益率時序圖（1990.12.19—2001.07.31）問題：如何刻畫金融市場收益（波動聚集特徵）的不確定性？2ARCH模型的概念與性質(zhì)金融時間序列“波動聚集”效應(yīng)，即異方差（時變方差）。如何刻畫時變波動率（time-varyingvolatility）？深圳指數(shù)日收益率時序圖（1991.04.03—2001.07.31）AutoregressiveConditionalHeteroskedasticityWithEstimatesoftheVarianceofUKInflation,

Econometrica,50(1982):987-1008.31、條件預(yù)測優(yōu)於無條件預(yù)測條件異方差問題平穩(wěn)的ARMA模型：條件預(yù)測：條件預(yù)測誤差的方差：無條件預(yù)測是序列的長期均值無條件預(yù)測誤差的方差：4但上述模型事先假定了可變方差是由一特定外生變數(shù)產(chǎn)生的，選擇的理由未必充分?。∩鲜龇治黾俣〝_動項(xiàng)的方差為常數(shù)，但實(shí)踐表明，許多經(jīng)濟(jì)時間序列都存在變異聚集的特點(diǎn)，即具有條件異方差特性。變數(shù)方差變異的途徑之一：引入一個獨(dú)立變數(shù)變數(shù)方差變異的途徑之二：借用時間序列建模的思想，對條件方差的動態(tài)變化特徵進(jìn)行建模，即ARCH模型。條件異方差問題5其中，X是外生變數(shù)向量，它可以包含被解釋變數(shù)的滯後項(xiàng)，

是回歸參數(shù)向量；為T時期以前的資訊集,是一個元非負(fù)函數(shù)。稱服從

階自回歸條件異方差模型。

一般定義：ARCH模型模型：6顯然：特別，對進(jìn)行一定的假定，設(shè)定其生成過程為某種特殊形式。即ARCH模型

即：7結(jié)論1、的無條件均值和方差不會受的生成過程的影響?？疾霢RCH(1)模型ARCH模型的性質(zhì)

8結(jié)論3、誤差項(xiàng)的ARCH結(jié)構(gòu)將影響序列的變異特徵。結(jié)論2、的條件均值為0，但條件方差依賴於上一期的實(shí)現(xiàn)值。ARCH模型的性質(zhì)9

模型：ARCH模型的估計(jì)：MLEARCH模型的估計(jì)與檢驗(yàn)則：其中：10對應(yīng)於觀測樣本，樣本對數(shù)似然函數(shù)為：將上述似然方程關(guān)於參數(shù)向量極大化，就得到參數(shù)向量的極大似然估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，可借助軟體包（EVIEWS、R）進(jìn)行計(jì)算。ARCH模型的估計(jì)11基本思想：檢驗(yàn)隨機(jī)擾動項(xiàng)是否服從ARCH過程，主要是考察隨機(jī)擾動項(xiàng)的條件異方差的係數(shù)。

隨機(jī)擾動項(xiàng)無ARCH效應(yīng)

ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)ARCH模型的檢驗(yàn)具體步驟：第一步：在原假設(shè)下用OLS方法估計(jì)約束模型：第二步：計(jì)算殘差序列與殘差平方序列，然後估計(jì)如下模型（輔助回歸）：12第三步：計(jì)算拉格朗日乘數(shù)統(tǒng)計(jì)量LM的值?？梢宰C明，在零假設(shè)成立的條件下，LM漸進(jìn)服從。因此，給定顯著性水準(zhǔn)，若，則說明輔助回歸方程顯著，從而就拒絕零假設(shè)，從而拒絕隨機(jī)擾動項(xiàng)不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)，說明隨機(jī)擾動項(xiàng)存在ARCH效應(yīng)。反之亦然。ARCH模型的檢驗(yàn)13BOLLERSLEV(1986)借助ARMA模型的建模思想，對ARCH模型進(jìn)行了拓展，建立了GARCH模型，來彌補(bǔ)待估參數(shù)過多所帶來的缺陷。在實(shí)際應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)，為了描述變數(shù)的變異聚類特性，有時需要運(yùn)用高階ARCH模型。問題：高階ARCH模型對應(yīng)過多的參數(shù)，在樣本有限的情況下，參數(shù)估計(jì)的效率就會降低，有時甚至?xí)霈F(xiàn)估計(jì)參數(shù)為負(fù)的情況。GARCH模型14其中，。顯然，ARCH模型看成是GARCH模型的特殊情形GARCH模型模型：注：如果某序列服從一個過程，那麼在一定條件下，它可以用一個具有合理滯後結(jié)構(gòu)的無限階ARCH過程來代替表示。因此，對於一個高階ARCH模型，可以用一個比較簡潔的GARCH模型來表示，以減少估計(jì)參數(shù)，便於模型識別和估計(jì)。15與ARCH模型一樣，估計(jì)GARCH模型最常見的方法是極大似然方法（MLE）。GARCH模型的估計(jì)上述似然方程的求解可以使用BHHH演算法得到，在實(shí)際應(yīng)用中，可借助軟體包進(jìn)行計(jì)算。16基本思想：與ARCH模型類似，GARCH模型的檢驗(yàn)可以用拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。

下麵給出另一種檢驗(yàn)GARCH效應(yīng)的相關(guān)圖檢驗(yàn)方法。GARCH模型的檢驗(yàn)可以認(rèn)為，遵從。因此，如果擾動項(xiàng)具有GARCH效應(yīng)，則殘差平方序列的ACF可以幫助識別GARCH過程的階，的相關(guān)圖會給出這種過程的提示。17第一步，對作“最佳擬合”估計(jì)，得到擬合誤差的平方，計(jì)算樣本殘差方差：

操作步驟：第二步，計(jì)算殘差平方的樣本自相關(guān)係數(shù)：GARCH模型的檢驗(yàn)18在原假設(shè)成立的條件下，Q統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從自由度為

的分佈。在實(shí)際應(yīng)用中，可以取到。

顯然，給定顯著性水準(zhǔn)，Q統(tǒng)計(jì)量大於臨界值，拒絕零假設(shè)，表明隨機(jī)擾動項(xiàng)有GARCH效應(yīng)

第三步：GARCH模型的檢驗(yàn)19在實(shí)際應(yīng)用中，條件方差的變化會影響收益率條件期望的變化。例如，在考慮風(fēng)險與投資回報之間的關(guān)係時，由於投資者是依據(jù)當(dāng)前資訊而持有證券，當(dāng)風(fēng)險（條件方差）增大時，投資者要求的風(fēng)險補(bǔ)償也就大。

ENGLE、LILLIEN和ROBINS(1987)在ARCH模型的基礎(chǔ)上，將條件方差引入均值方程，建立了能夠刻畫時變風(fēng)險收益補(bǔ)償?shù)腁RCH—M模型（即ARCH—均值模型）。

ARCH-M模型ARCH模型的其他推廣20ARCH-M模型的一般形式：ARCH-M模型注：（1）上述模型常用均值方程為：（2）當(dāng)取GARCH結(jié)構(gòu)，模型即為GARCH-M模型。21在一個有效的市場上，相同程度的正負(fù)外部衝擊對市場波動性的影響是相同的，但在現(xiàn)實(shí)的金融市場特別是股票市場上，往往出現(xiàn)這種情況，相同強(qiáng)度的利壞衝擊對波動的影響常常要比利好衝擊來得大，即壞消息對波動性的影響要比好消息的影響大，這種外部衝擊對金融市場波動的非對稱性影響常稱為“杠桿效應(yīng)”。指數(shù)GARCH模型ARCH和GARCH模型不足：一是模型對係數(shù)參數(shù)的非負(fù)約束；二是外部衝擊對條件方差的影響程度只取決於外部衝擊的絕對值大小，而與衝擊的符號無關(guān)。指數(shù)GARCH模型22Nelson（1991）引入指數(shù)GARCH模型（EGARCH），來處理正負(fù)衝擊反應(yīng)的非對稱性，與ARCH模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在條件方差的結(jié)構(gòu)上。指數(shù)GARCH模型其中，注：參數(shù)刻畫了過去衝擊不同幅度對當(dāng)前條件方差的影響參數(shù)刻畫了過去衝擊不同符號對當(dāng)前條件方差的影響。23其中，，可根據(jù)取值符號的不同，可以刻畫出正負(fù)衝擊的非對稱影響，揭示“杠桿效應(yīng)”。如果

則體現(xiàn)負(fù)的外部衝擊會比正的外部衝擊導(dǎo)致更大的條件方差。

Engle和Ng（1993）提出了非對稱（Asymmetric）GARCH模型來刻畫衝擊的非對稱性影響。模型的條件方差結(jié)構(gòu)形如：非對稱GARCH模型（AGARCH）24在分析非對稱波動效應(yīng)的各種ARCH模型中，Zakoian、Glosten、Jaganathan、andRunkle提出的門限ARCH（ThresholdARCH）模型是結(jié)構(gòu)簡潔並能直接反映股價波動受正負(fù)衝擊影響差異程度的一類模型。門限ARCH模型當(dāng)，條件方差對衝擊的反應(yīng)是非對稱的，反映了正負(fù)衝擊對波動影響的差異及其程度，從而刻畫了杠桿效應(yīng)。25在經(jīng)典的時間序列建模型中，對於平穩(wěn)可逆的時間序列，我們可以用ARMA模型來擬合序列的規(guī)律；如果序列非平穩(wěn)，可以差分後在用ARMA模型進(jìn)行擬合，得到ARIMA模型。在波動性建模中，針對變數(shù)的條件方差序列（而不是水準(zhǔn)序列）。如果條件方差序列平穩(wěn)可逆，即外部衝擊對波動性的影響以比較快的速度衰減，用GARCH模型進(jìn)行建模。但是現(xiàn)實(shí)中有時存在這樣一種情況，外部衝擊帶來的影響衰減緩慢，即條件方差序列存在衝擊影響的“持續(xù)記憶”特性，條件方差序列呈現(xiàn)非平穩(wěn)性。對於非平穩(wěn)的條件方差序列，我們可以借鑒ARIMA模型的建模思想進(jìn)行分析。IARCH模型26即序列形如一個ARMA（M，P）模型的形式，若IARCH模型則序列非平穩(wěn)。模型：27於是：將滯後算子多項(xiàng)式分解：IARCH模型因此，當(dāng)GARCH模型的參數(shù)滿足：這樣的GARCH模型稱為單整GARCH模型，記為IGARCH。IGARCH模型刻畫了波動受外部衝擊影響的“持續(xù)記憶”特性。281.ARCH模型的主要功能在於解釋序列中比較明顯的變化是否具有規(guī)律性，並且說明了這種變化前後依存的內(nèi)在傳導(dǎo)是來自某一特定類型的非線性結(jié)構(gòu)，而不是方差的外生結(jié)構(gòu)變化。從預(yù)測的角度來看，當(dāng)存在ARCH效應(yīng)時，使用ARCH模型較之假定方差為常數(shù)來講，可以提高預(yù)測值的精度。

2.在一定條件下，GARCH模型可以轉(zhuǎn)化為無限階的ARCH模型，與無限階（或高階）的ARCH模型相比，GARCH模型的結(jié)構(gòu)更為簡潔，因此可以替代描述高階ARCH過程，從而使得模型具有更大的適用性。對ARCH模型的簡要評價293.ARCH、GARCH模型不足：假定條件方差是過去波動衝擊的對稱函數(shù)，即條件方差僅取決於過去波動衝擊的幅度而與其符號無關(guān)，這意味著正的波動衝擊和負(fù)的波動衝擊對股價的影響效應(yīng)是對等的。實(shí)際上，現(xiàn)實(shí)中常常會出現(xiàn)這樣兩種情況，一是杠桿效應(yīng)(leverageeffect)，即壞消息比好消息更會引起波動程度的增加；二是回饋效應(yīng)，即消息進(jìn)入市場後，引起的波動會回饋到股市價格上，從而使消息對股市的影響進(jìn)一步擴(kuò)大。

ARCH的推廣形式（EGARCH、TARCH）對ARCH模型的簡要評價30問題：中國股票市場是一個新興市場，與成熟資本市場相比，制度對市場波動的影響比較明顯，因此研究我國股票市場在不同時期波動變異性的特徵，深入認(rèn)識市場的制度缺陷以及市場對外部衝擊的反映，對於完善市場制度、提高市場效率具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義。

方法和目標(biāo)：用AR-GARCH模型來分析我國滬深股票市場在不同時期的波動聚集特徵，並考察漲跌停板交易制度對兩個市場波動的影響。GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用31樣本數(shù)據(jù)及其特徵實(shí)證思路：首先對收益率序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行識別，確定收益率序列服從的ARMA模型；然後對模型殘差是否具有ARCH效應(yīng)做診斷性檢驗(yàn)，估計(jì)出ARMA—GARCH模型；最後通過對條件方差的比較，分析滬深股票市場在各時期的波動特徵有何差異以及風(fēng)險變異情況。GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))樣本範(fàn)圍：1993年1月4日至2001年7月31日，並以1996年12月16日滬深兩市（上證指數(shù)、深圳綜合指數(shù)）實(shí)行漲跌幅限制為分界點(diǎn)，將樣本分為前後兩個時段進(jìn)行實(shí)證分析。32GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))33（一）ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

首先對收益率序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步識別，用最小二乘法確定收益率序列服從的ARMA模型，然後用拉格朗日乘子檢驗(yàn)法或LJUNG-BOXQ—統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法對模型殘差做診斷性檢驗(yàn)。波動的ARCH效應(yīng)GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))34說明：AR模型殘差序列無自相關(guān)，說明擬合的AR模型恰當(dāng)。說明：模型殘差序列無具有明顯的ARCH效應(yīng)。GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))35AR-GARCH（1,1）模型ARCH模型的估計(jì)GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))

36可以看出，殘差平方序列不再存在序列自相關(guān)性，說明AR-GARCH（1，1）模型擬合度較好。GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))37圖：上證指數(shù)收益率及條件方差時序圖（時段1、2）GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))38圖：深證綜合指數(shù)收益率及條件方差時序圖（時段1、2）GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))39利用GARCH模型預(yù)測上海市場日收益率波動（93.01.04-96.12.15）GARCH模型在研究股市波動中應(yīng)用(續(xù))圖中，位於中間的實(shí)線為收益率波動情況（已扣除均值），虛線為根據(jù)GARCH模型所做的2倍標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測區(qū)間，水平線為同方差假定下的2倍標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測區(qū)間。顯然，根據(jù)GARCH模型所做的波動預(yù)測精度比較高。40從上表看出，在樣本期的第一時段，兩市日收益率條件方差的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差都比較大，而在樣本期的第二時段，這些指標(biāo)值明顯降低，反映了漲跌幅限制對市場波動有較大影響。在第一時段，兩市日收益率條件方差的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差存在比較大的差異，而在第二時段，這些指標(biāo)的估計(jì)值比較接近，說明最近幾年滬深兩市日收益率的波動程度已逐步趨同，並從一個方面反映了兩個市場具有聯(lián)動效應(yīng)。GARCH模型在