2024屆高考數(shù)學(xué)必練題及答案解析

2024年高考數(shù)學(xué)考前必練題

1.如圖，在直三楂柱A4C-A1B1。中，AC=13C=\,48=44=或，。是棱C。的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面A41O；

（2）求平面ABD與平面AB\D所成銳二面角的余弦埴.

【分析】（I）證明：推出Ad_L平而/WiD,然后證明平面

_L平面AB\D.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,C。所在直線分別為-），，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系C-Q2,求出平面A81O的法向量，平面A3。的法向量，利用空間向量的數(shù)

量積求解平面ABD與平面AB\D所成銳二面角的余弦值即可.

【解答】（1）證明：在直三楂柱A4C-A/Ci中，。是棱CCi的中點(diǎn)，由OCi=DC,

NOCi4=NQC8=90°,C\A\=CB=\,

知RlAOCiAigRlZXOCB,得。4i=OB,△408為等腰三角形.（2分）

因?yàn)?8=力4=遮，則四邊形AAIBIB為正方形，

設(shè)兩對角線A18與ABi相交于點(diǎn)E,所以4B_LA&,（4分）

又因?yàn)镋是Ai8的中點(diǎn)，所以。E_LA18,且A8mOE=E,

所以43J_平而AB\D,

又4/u平面480,平面4/。0平面A加。=?！?

故平面人1B/3_L平面AB1O.（6分）

(2)解：由4C=8C=1,AB=V2,知

由勾股定理的逆定理，得NACB=90°,

因?yàn)樵谥比庵薃C-A舊1C1中，有CC1_L平面A8C.

故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為工，y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系C-孫z,(7分；

易得71(1,0,0),8(0,L0),4(1,0,遮)，/(0,1,VI),0(0,0,孝)，

則分i=(L-1,&),AB=(-1,1,0),AD=(-1,0,庠)，(8分)

設(shè)平面ABD與平面ABiD所成的銳二面角為6,

由(1)知，84」平面A8i。，

則平面A4i。的法向量為8%=(1,-1,V2),

設(shè)平面ABD的法向量為九=(%,y,z),

則二0,

1n?4D=0

(-x+y=0

即工&n，

(—%+-^z=0

令x=l,則y=1,z=V2,得n=(L1,V2),(10分)

T-?

則cos。=\cos{BA1,n)\="]?==I,

l^ilklZXZ

故平面48。與平面AB}D所成銳二面角的余弦值為，(12分)

【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

2.如圖所示，已知四棱錐”?A8CO中，四邊形A8C。為正方形，二角形出4為正二角形,

側(cè)面以B_L底面4BCDM是棱4D的中點(diǎn).

(1)求證：PCIBM；

(2)求二面角8?PM-C的正弦值.

【分析】(I)方法一：取4B的中點(diǎn)。，連接OP,0C,證明尸0_L8M,BM10C,推出

8M_L平面POC,即可證明BMLPC.

方法二：取48的中點(diǎn)O,連接0P,并過。點(diǎn)作8c的平行線OE,交CD于E,以0

為坐標(biāo)原點(diǎn)，晶的方向?yàn)楣ぽS正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,通過而?。力=0,

證明PCIBM.

(2)求出平面PMB的一個法向量，平面PMC的一個法向量，錄音空間向量的數(shù)量積求

解二面角B-PM-C的正弦值即可.

【解答】(1)證明：方法一：

取A8的中點(diǎn)O,連接OP,OC,

???三角形PAB為正三角形且側(cè)面以BJ_底面ABCD,

???PO_L底面ABCD,

???8Mu底面A8C。，

???PO_L8M,

???RtAABM^RtABC6,

NAMB=NBOC,

：,NABM+NAMB=NA8M+/BOC=90°,

ABM1OC,

,：POQOC=O,

???8M_L平面POC,

?"Cu平面POC,

：.BMLPC.

方法二：

取A8的中點(diǎn)。，連接。尸，并過。點(diǎn)作8c的平行線。E,交CD于E,則。E_LA8,

;三角形以3為正三角形，

：.PO.LAB,

???平面見B_L底面/WC7）且平面以8A底面

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。'的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令PB=AB

=2,

則8(1,0,0),P(0,0,百)，M(-I,I,0),C(1,2,0)PC=(1,2,-V3),

BM=(-2,1,0),PC-OM=lx(-2)+2x1+(-V3)x0=0,

：.PC±BM.

(2)解：PM=(-1,1,-V3),CM=(-2,-1,0),

設(shè)平面PMB的一個法向最為蔡=(%,y,z),

則(py.益=o,即尸+y-岳=°,

-m=0(-2x+y=°

令x=l,zn=(1/2,苧)，

設(shè)平面PMC的一個法向量為￡=。，y,z),

KJpM-n=0t^(-x+y-V3z=0^

lcMn=0t-2x-y=0

令人=1,n=(1,-2,V3),

TT,—

「t、mn、/6

cos{m,/=--=N，

|m”n|'

sin說I)=Jl一哈2=手,

VTo

?，?二面角B-PM-C的正弦值為---.

4

【點(diǎn)評】本題直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想

象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

3.如圖I,在△ABC中，D,E分別為八4,AC的中點(diǎn)，。為。E的中點(diǎn)，AB=AC=2\/5,

BC=4.將△4OE沿。E折起到aAiQE的位置，使得平面4QE_L平面3CEQ,如圖2.

(I)求證：A\OLBD.

(II)求直線4C和平面48。所成角的正弦值.

(III)線段AC上是否存在點(diǎn)F,使得直線。尸和8C所成角的余弦值為厚？若存在,

求出箸的值；若不存在，說明理由.

ArC

【分析】(I)證明AiOlDE.結(jié)合平面人|。七_(dá)1_平面BCED,推出AiO_L平面BCED,

即可證明

(H)取BC的中點(diǎn)G,連接OG,推出OEJ_OG.AOJ_OE,A\O1OG.建立空間直角

坐標(biāo)系。-xyz.求出平面A18。的法向量，然后利)IJ空間向量的數(shù)量積求解直線4c和

平面48。所成的角的正弦值.

(III)設(shè)4；F=/L4；C,其中入曰0,1J.求出后=(232A+1,2-2A),結(jié)合北=

(0,4,0),然后利用空間向量的數(shù)量積求解異面直線所成角，推出結(jié)果即可.

【解答】(I)證明：因?yàn)樵凇鰽BC中，。，石分別為48,AC的中點(diǎn)，

所以DE〃BC,AD=AE.

所以人1。=4￡又。為。石的中點(diǎn)，所以

因?yàn)槠矫嫫矫鍮CED,

平面平面以且AiOu平面

所以4O_L平面BCED,

所以

(II)解：取BC的中點(diǎn)G,連接OG,所以O(shè)E工OG.

由(I)得4iO_LOE,AiOrOG.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-町工

由題意得，4(0,0,2),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-1,0).

所以4；8=(2,-2,-2),4)=(0,—1,-2),4；C=(2,2,-2).

設(shè)平面AiBD的法向量為％=（x,y,z）.

貝也可=0，

71?4】。=0,

即（2x-2y-2z=0，

\—y-2z=0.

令x=l,則y=2,z=-I,所以％=（1,2,-1）.

設(shè)直線4c和平面48。所成的角為e,

則sin。=|cos&,41Gl=4”承=42.

|n|HiC|

故所求角的正弦值為言.

（III）解:線段4