福建省南平市小松中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

福建省南平市小松中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），P（ξ≤4）=0.842，則P（ξ≤2）=（）A．0.842 B．0.158 C．0.421 D．0.316參考答案：B【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和已知數(shù)據(jù)可得．【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），P（ξ≤4）=0.842，∴P（ξ≤2）=P（ξ≥4）=1﹣0.842=0.158，故選：B．2.已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本平均數(shù)，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.1參考答案：C【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】利用變量x與y負(fù)相關(guān)，排除選項(xiàng)A、B，再利用回歸直線方程過(guò)樣本中心驗(yàn)證即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)變量x與y負(fù)相關(guān)，排除選項(xiàng)A，B；再根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心（，），把=4，=6.5，代入C、D中，滿足6.5=﹣2×4+14.5，C方程成立，D方程不成立．故選：C．3.設(shè)離散型隨機(jī)變量滿足，，則等于

（

）

A．27

B．24

C．9

D．6參考答案：D4.變量x，y的散點(diǎn)圖如右圖所示，那么x，y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為（）A.1 B.－0.5 C.0 D.0.5參考答案：C因?yàn)榈慕^對(duì)值越接近于，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越大；的絕對(duì)值越接近于，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越小，由圖知之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系，所以的絕對(duì)值最接近于，故選C.5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為

參考答案：B略6.曲線在處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A

B和

C

D

和參考答案：B7.不等式的解集是（

）

A．

BC．

D．參考答案：D8.已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點(diǎn)；又a為f（x）的極小值點(diǎn)；∴a=2．故選D．9.對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想出：四面都為正三角形的正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面的什么位置？A．正三角形的頂點(diǎn)

B．正三角形的中心

C.正三角形各邊的中點(diǎn)

D．無(wú)法確定參考答案：B繪制正三棱錐的內(nèi)切球效果如圖所示，很明顯切點(diǎn)在面內(nèi)而不在邊上，則選項(xiàng)AC錯(cuò)誤，由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想出：四面都為正三角形的正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面的正三角形的中心.本題選擇B選項(xiàng).

10.從6名學(xué)生中選4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中甲被選中的概率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，且D(10ξ+10)=40，則Dξ=________.參考答案：0.4略12.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：13.已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程是__________．參考答案：∵點(diǎn)在圓上，且，∴過(guò)點(diǎn)的且切線斜率不存在，故切線方程是：．14.曲線與軸所圍成的圖形面積為

．參考答案：

4

15.橢圓若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸端點(diǎn)正好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，又焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由題意推出橢圓的關(guān)系，b=c，利用焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)距離為，求出a，b，即可求出橢圓的方程．【解答】解：因?yàn)闄E圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸，兩焦點(diǎn)與兩短軸的端點(diǎn)恰好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以b=c，a=b，又焦點(diǎn)到同側(cè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)距離為，即a﹣c=，即a﹣b=，解得a=，b=c=1，所以當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的方程為：=1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的方程為=1．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，剪去，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則折疊后以A(B)，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的體積為__________．參考答案：折疊后的四面體如圖所示．OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，所以體積V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝

17.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，，求.參考答案：（1）直線l的普通方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為（2）12【分析】（1）線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為，利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．

（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入方程可得：．，即可求出答案．【詳解】解：（1）將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線的普通方程為.由，得，則圓的直角坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（l）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端．參考答案：解析：（l）要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有站法480（種）（2）先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有240（種）站法．（3）因?yàn)榧?、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有種，故共有站法為=480（種）.(4)先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有種，故共有種站法．（5）首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種站法．（6）甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左端而乙在右端的站法有種，共有種站法．略20.（本題滿分12分）用總長(zhǎng)為14.8米的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長(zhǎng)比寬多0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容器最大？并求出它的最大容積．參考答案：高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8m3設(shè)容器底面寬為xm，則長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m.由解得0<x<1.6，………………3分設(shè)容器的容積為ym3，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，………………6分y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1，或x＝－(舍去)．………………8分∵0<x<1時(shí)，y′>0；1<x<1.6時(shí)，y′<0.∴在定義域(0,1.6)內(nèi)x＝1是唯一的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為1.8.………………10分此時(shí)容器的高為3.2－2＝1.2m.因此，容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8m3.………………12分21.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：元）與日產(chǎn)里x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+x，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)關(guān)系式，已知每日的利潤(rùn)L=S﹣C，且當(dāng)x=2時(shí)，L=3 （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，毎日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值． 參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)最值的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)每日的利潤(rùn)L=S﹣C建立函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)x=2時(shí)，L=3可求出k的值； （Ⅱ）當(dāng)0＜x＜6時(shí)，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，當(dāng)x≥6時(shí)利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，比較兩最大值即可得到所求． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可得：L= 因?yàn)閤=2時(shí)，L=3 所以3=2×2++2 所以k=18 （Ⅱ）當(dāng)0＜x＜6時(shí)，L=2x++2 所以L=2（x﹣8）++18=﹣[2（8﹣x）+]+18≤﹣2+18=6 當(dāng)且僅當(dāng)2（8﹣x）=即x=5時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x≥6時(shí)，L=11﹣x≤5 所以當(dāng)x=5時(shí)，L取得最大值6 所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時(shí)，毎日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大值6． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用基本不等式求函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題． 22.（2016秋?湛江期末）如圖邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，（Ⅰ）證明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一個(gè)法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為軸建立如圖直角坐標(biāo)系．…（1分）則A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0