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文檔簡(jiǎn)介
高考大題規(guī)范解答系列(三)一一數(shù)列
考點(diǎn)一判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列
1(2017?全國(guó)卷I)記為等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{如}的通項(xiàng)公式;
(2)求S”,并判斷S”+i,S”,S”+2是否成等差數(shù)列.
【分析】(1)看到§2=2,S3=-6,想到S2=ai+a2,53=0+42+03,利用等比數(shù)列的
通項(xiàng)公式求解.
(2)看到判斷S"+1,Sn,S,+2是否成等差數(shù)列,想到等差數(shù)列的等差中項(xiàng),利用2S”=S“+1
+S.+2進(jìn)行證明.
【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分
(1)設(shè){〃”}的首項(xiàng)為4],公比為4
0(1+,)=2,
由題設(shè)可得.......................................................2分|得分點(diǎn)①|(zhì)
?i(l+q+爐)一一6,
解得夕=-2,a\=-2.4分得分點(diǎn)②
故{如}的通項(xiàng)公式為斯=(-2)”.............................................................6分|得分點(diǎn)③
/jif1—)22"??
(2)由(1)可得*=1_:1=_\+(_1)'丁,....................8分|得分點(diǎn)④|
42n+3—2n+2
由于S"+2+S〃+I=-Q+(-1)"---j------
n+,
22-----------D
=2[—g+(—l)Jy]=2S〃,....................................11分I得分點(diǎn)⑤
故Sm,S”,S“+2成等差數(shù)列...................................12分I得分點(diǎn)⑥I
【評(píng)分細(xì)則】
①列出關(guān)于首項(xiàng)為⑶,公比為g的方程組得2分.
②能夠正確求出和4得2分,只求對(duì)一個(gè)得1分,都不正確不得分.
③正確寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式得2分.
④正確計(jì)算出數(shù)列的前〃項(xiàng)和得2分.
⑤能夠正確計(jì)算出S〃+i+S〃+2的值得2分,得出結(jié)論2S〃=S〃+I+&+2再得1分.
⑥寫出結(jié)論得1分.
【名師點(diǎn)評(píng)】
1.核心素養(yǎng):數(shù)列問題是高考的必考題,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及判斷數(shù)列是否為等差或等
比數(shù)列是高考的常見題型.本類題型重點(diǎn)考查“邏輯推理”及“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的學(xué)科素養(yǎng).
2.解題技巧:(1)等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式中有五個(gè)元素0、d(或夕)、
小?!ā”“知三求二”是等差(等比)的基本題型,通過解方程的方法達(dá)到解題的目的.
(2)等差、等比數(shù)列的判定可采用定義法、中項(xiàng)法等.如本題采用中項(xiàng)法得出2S.=S.+i+
〔變式訓(xùn)練1〕
(2021?四川省名校聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為S〃,且滿足2s”=-a”+〃(〃£N").
(1)求證:數(shù)列{斯-3為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)歹IJ{詼一1}的前n項(xiàng)和Tn.
[解析]⑴證明:???2&=一%+〃,
當(dāng)幾=1時(shí),2。]=—。]+1,解得0=/
當(dāng)時(shí),2S”-1=一小-|+〃一1,
兩式相減,得2?!?—〃“+%-[+1,
即
又m-9一卜。,
?,?數(shù)列{詼一多為等比數(shù)列.
(2)由(1)知,數(shù)列卜“一群是以一點(diǎn)為首項(xiàng),(為公比的等比數(shù)列.
-嫩,
:?兀=一黃一甘=船)"_1]子
,-3
考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的綜合問題
??■例2(2020?天津,19,15分)已知伍〃}為等差數(shù)列,{6}為等比數(shù)列,ai=bi=\,as
=5(O|—。3),65=4(64—。3)?
(1)求{如}和{兒}的通項(xiàng)公式;
(2)記{%}的前〃項(xiàng)和為S”,求證:S〃S“+2<S/I(〃EN*);
黨孝〃為奇數(shù),
(3)對(duì)任意的正整數(shù)〃.設(shè)C“=求數(shù)列{以}的前2"項(xiàng)和.
£〃為偶數(shù)
【分析】(1)看到求{““}和{6}的通項(xiàng)公式,想到求0,6,公差d和公比4
(2)看到求證S"S“+2<&+i想到求出S〃并用作差比較法證明.
(3)看到數(shù)列求和且金通項(xiàng)分奇、偶,因此想到分組求和.
【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分
(1)設(shè)等差數(shù)列(a夕的公差為d,等比數(shù)列{兒}的公比為q.由m=1,45=5(%一的),可得d
=1,............................................................1分|得分點(diǎn)①|(zhì)
從而{為}的通項(xiàng)公式為小=幾...................................2分得分點(diǎn)②
由加=1,85=4(84一例),又qWO,可得夕2-4“+4=0,解得g=2,3分|得分點(diǎn)③
從而{兒}的通項(xiàng)公式為兒=2"1................................4分|得分點(diǎn)④
⑵證明:由(1)可得&=硬#.................................
5分得分點(diǎn)⑤
故S"S"t2=;〃(〃+l)(〃+2)(〃+3),S3I=;(〃+1F(〃+2)2,.........
6分得分點(diǎn)⑥
從而12—SQ=一女〃+1)("+2)<0,所以SSH2<SS..........
SnSn(i8分得分點(diǎn)⑦
(3。〃-2)b〃(3〃-2)2“r2"、
(3)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),c〃=9分得分點(diǎn)⑧
〃+2〃(〃+2)〃+2n'
當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),.................................10分得分點(diǎn)⑨
nn(O2*22k2、j2n
對(duì)任意的正整數(shù)〃,有鏟一2扇T-后T卜赤11分得分點(diǎn)⑩
kikIx/
和tc2k=f/+*+…①
12分得分點(diǎn)?
尸1k=l
1”132九一3,2n-\
由①得彳=不+京H----―@
Jt=l
由①一②得含怎=;+亳+…+|一季"一]12/1-1
44〃+
E1--
從而得,:然=,一黑.
14分得分點(diǎn)?
2nnnAfl6〃+54
因此孕=守一+部=--對(duì)
4〃6〃+54---------
所以,數(shù)列{C'}的前2”項(xiàng)和為土■一不益一?..................15分得分點(diǎn)?
【評(píng)分細(xì)則】
①正確寫出關(guān)于d的方程,求對(duì)d得1分.
②求對(duì)外的通項(xiàng)公式得1分.
③正確寫出關(guān)于4的一元二次方程,求對(duì)0得1分.
④求對(duì)仇的通項(xiàng)公式得1分.
⑤求對(duì)S1的公式得1分.
⑥求對(duì)SX+2,能+1得1分.
⑦求對(duì)S”S“i2—S〉i的結(jié)果并證出結(jié)論得2分.
⑧求對(duì)n為奇數(shù)時(shí)c〃得1分.
⑨求對(duì)〃為偶數(shù)時(shí)心得1分.
⑩求對(duì)〃=2々-1時(shí)2c2”1得1分.
*=1
?寫出n=2k時(shí)ECZA得1分.
i=l
?用錯(cuò)位相減法求對(duì)的求和得2分.
?求對(duì)cn的前2n項(xiàng)和得1分.
【名師點(diǎn)評(píng)】
1.核心素養(yǎng):
數(shù)列的前〃項(xiàng)和是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn),錯(cuò)位相減法是高考考查的重點(diǎn),突出考查“數(shù)
學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).
2.解題技巧:
(1)熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式,解題時(shí)結(jié)合實(shí)際情況合理選擇.如
第(1)問運(yùn)用了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)運(yùn)用作差比較法證明SS?+2<S>i.
(3)本問的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是分類分別求金的通項(xiàng);二是當(dāng)〃=2及時(shí)用錯(cuò)位相減法求9
的和.
〔變式訓(xùn)I練2〕
(2018?天津,18)設(shè){為}是等比數(shù)列,公比大于0,其前〃項(xiàng)和為S〃(〃£N*),{6}是等差數(shù)
列.已知。1=1,。3=。2+2,O|二力3+力5,05=64+266.
(1)求{斯}和{6}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{S〃}的前〃項(xiàng)和為
①求。;
分1日告(公+一+2)①2"”_
②證樂左伙+1)依+2廠〃+2—2(〃N).
[解析]⑴設(shè)等比數(shù)列優(yōu)〃}的公比為貝夕>0).
由0=1,〃3=。2+2,可得42-g—2=0.
因?yàn)閝>0,可得q=2,故0|=2"
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