《工程制圖》課件-第3章

3.1物體的三視圖

3.2平面立體的投影

3.3回轉(zhuǎn)體的投影

3.4平面與回轉(zhuǎn)體相交

3.5兩回轉(zhuǎn)體相交

第3章立體的投影

3.1.1視圖的基本概念

用正投影法繪制物體所得到的圖形，稱(chēng)為視圖。

應(yīng)當(dāng)指出，視圖并不是觀察者觀看物體所得的直覺(jué)印象，而是把物體放在觀察者和投影面之間，將觀察者的視線(xiàn)視為一組相互平行且與投影面垂直的投影線(xiàn)，對(duì)物體進(jìn)行投影所獲得的正投影圖，其投影情況如圖3-1所示。3.1物體的三視圖圖3-1單個(gè)視圖的形成3.1.2三視圖的形成

在正投影中，用一個(gè)視圖是不能確定物體的形狀和大小的(如圖3-1所示)。因此，為了將物體的形狀和大小表達(dá)清楚，工程上常用三面視圖。

1．物體在三面投影體系中的投影

將物體放置在三投影面體系中，按正投影法向各投影面投影，即可分別得到物體的正面投影、水平投影和側(cè)面投影，如圖3-2(a)所示。

2．三投影面的展開(kāi)

為了畫(huà)圖方便，需將物體拿走，把相互垂直的三個(gè)投影面展開(kāi)(攤平)在同一平面上。規(guī)定V面保持不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°(如圖3-2(b)所示)，使H面、W面與V面在同一平面上(這個(gè)平面就是圖紙)，這樣就得到了如圖3-2(c)所示的展開(kāi)后的三視圖。應(yīng)注意，H面和W面在旋轉(zhuǎn)時(shí)，OY軸被一分為二。

物體在V面上的投影，即由前向后投射所得的視圖，稱(chēng)為主視圖；物體在H面上的投影，即由上向下投射所得的視圖，稱(chēng)為俯視圖；物體在W面上的投影，即由左向右投射所得的視圖，稱(chēng)為左視圖，如圖3-2(c)所示。物體的形狀與距離投影面的遠(yuǎn)近無(wú)關(guān)，投影面可根據(jù)需要擴(kuò)大。在實(shí)際作圖中，不必畫(huà)出投影面的邊界和投影軸。三視圖的配置是以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右方，如圖3-2(d)所示。

繪制三視圖時(shí)應(yīng)注意，按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，視圖中凡可見(jiàn)的輪廓線(xiàn)用粗實(shí)線(xiàn)表示；不可見(jiàn)的輪廓線(xiàn)用虛線(xiàn)表示；對(duì)稱(chēng)中心線(xiàn)用點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)表示。如圖3-2支架中的圓柱孔，在左視圖和俯視圖中不可見(jiàn)，用虛線(xiàn)表示。三個(gè)視圖中圓柱孔的中心線(xiàn)均畫(huà)成點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)。圖3-2三視圖的形成3.1.3三視圖的投影規(guī)律

1．三視圖的“三等”規(guī)律

以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右方。

物體都有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向尺寸。從圖3-2(c)中各視圖之間的尺寸關(guān)系可以看出，每個(gè)視圖都反映兩個(gè)方向的尺寸，即：

主視圖反映物體的長(zhǎng)度和高度；

俯視圖反映物體的長(zhǎng)度和寬度；

左視圖反映物體的寬度和高度。由此可歸納得出三視圖之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律：

主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正(等長(zhǎng))；

主、左視圖高平齊(等高)；

俯、左視圖寬相等(等寬)。

必須指出，無(wú)論是整個(gè)物體或物體的局部，其三面投影圖都必須符合“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的“三等”規(guī)律，如圖3-3所示。圖3-3三視圖的“三等”規(guī)律

2．三視圖與物體的方位關(guān)系

所謂的方位關(guān)系，是指以繪圖(或看圖)者面對(duì)正面(即主視圖的投影方向)來(lái)觀察物體為準(zhǔn)，看物體的上、下、左、右、前、后六個(gè)方位在三視圖中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖3-4所示。

主視圖——反映物體的上、下、左、右；

俯視圖——反映物體的左、右、前、后；

左視圖——反映物體的上、下、前、后。圖3-4三視圖與物體的方位關(guān)系3.1.4三視圖的作圖方法

根據(jù)物體(或軸測(cè)圖)畫(huà)三視圖時(shí)，首先應(yīng)分析其結(jié)構(gòu)形狀，擺正物體(使其主要表面與投影面平行)，選好主視圖的投影方向，再著手畫(huà)圖。

作圖時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出三視圖的基準(zhǔn)線(xiàn)。然后畫(huà)三視圖，通常從主視圖入手，再根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的“三等”規(guī)律，按物體的組成部分依次畫(huà)出俯視圖和左視圖。圖3-5(a)所示的物體，其作圖步驟如圖3-5(b)、(c)、(d)所示。

作圖時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)“俯、左視圖寬相等”，可作45°輔助線(xiàn)來(lái)求得其對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖3-5(b)所示。圖3-5三視圖的作圖步驟(a)軸測(cè)圖；(b)畫(huà)底板的三視圖；(c)畫(huà)左立板的三視圖；(d)畫(huà)右立板的三視圖，完成全圖

【例3-1】根據(jù)立體圖(見(jiàn)圖3-6(a))，補(bǔ)畫(huà)三視圖中的漏線(xiàn)，完成其三視圖(未知尺寸從立體圖中量取)。

分析對(duì)照?qǐng)D3-6(a)中的立體圖可以看出，該立體由下底板和上立板構(gòu)成。由立體圖和所給的三視圖按“三等”規(guī)律檢查發(fā)現(xiàn)，下底板在俯視圖和左視圖上投影不全，上立板缺少俯、左視圖。

解

(1)由主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”補(bǔ)畫(huà)出下底板缺少的虛線(xiàn)。

(2)由主視圖“高平齊”，在左視圖中畫(huà)出下底板缺少的輪廓線(xiàn)。

(3)由主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”畫(huà)上立板的輪廓線(xiàn)，并從下底板的后面往前量取立板的寬度等于立體圖上的寬度，完成上立板的俯視圖。

(4)由主視圖“高平齊”，在左視圖中畫(huà)上立板的輪廓線(xiàn)，并由俯視圖“寬相等”畫(huà)出上立板的左視圖。完成立體的三視圖，如圖3-6(b)所示。圖3-6補(bǔ)畫(huà)三視圖中的漏線(xiàn)??【例3-2】根據(jù)立體圖和給出的主、左視圖(見(jiàn)圖3-7(a)、(b))，畫(huà)出俯視圖。

分析該立體由帶方孔的立板和圓柱構(gòu)成。

解根據(jù)“三等”投影規(guī)律依次畫(huà)出立板和圓柱的俯視圖，作圖見(jiàn)圖3-7(c)、(d)、(e)所示。圖3-7已知主、左視圖畫(huà)俯視圖(a)題目；(b)立體圖；(c)畫(huà)立板及前后通方孔的俯視圖；(d)畫(huà)前面圓柱的俯視圖；(e)加深，完成俯視圖3.2.1棱柱體

1．棱柱體的三視圖

圖3-8所示為正五棱柱的投射情況。從圖中可知，正五棱柱的上頂面和下底面都是水平面，五個(gè)側(cè)面(均為矩形)中，后側(cè)面是正平面，其余的四個(gè)側(cè)面為鉛垂面，五條側(cè)棱線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)。3.2平面立體的投影圖3-8正五棱柱的三視圖及表面上的點(diǎn)(a)立體圖；(b)投影圖畫(huà)三視圖時(shí)，先畫(huà)上頂面和下底面的投影。水平投影中，上頂面和下底面均反映實(shí)形(正五邊形)且投影重合，正面投影和側(cè)面投影都有積聚性，分別積聚為平行于OX軸和OYW軸的直線(xiàn)；五個(gè)側(cè)面由五條側(cè)棱線(xiàn)分開(kāi)，五條側(cè)棱線(xiàn)的水平投影具有積聚性，積聚為正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，它們的正面投影和側(cè)面投影均平行于OZ軸且反映棱柱的高。在畫(huà)完上述面與棱線(xiàn)的投影后，即得該五棱柱的三視圖，如圖3-8(b)所示。

由于后面兩條棱線(xiàn)EE0和DD0從前往后看時(shí)不可見(jiàn)，因此主視圖中應(yīng)畫(huà)成虛線(xiàn)，同時(shí)請(qǐng)?zhí)貏e注意，俯視圖和左視圖之間必須符合寬相等和前后對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種關(guān)系可在作圖時(shí)按照相對(duì)位置關(guān)系在圖中直接量取作圖，也可添加45°輔助線(xiàn)作圖。

2．棱柱體表面上的點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)屬于立體的某個(gè)表面時(shí)，則該點(diǎn)的投影必在它所從屬的表面的各同面投影范圍內(nèi)。若該表面的投影為可見(jiàn)，則該點(diǎn)的同面投影也可見(jiàn)；反之為不可見(jiàn)。因此在求立體表面上點(diǎn)的投影時(shí)，應(yīng)首先分析該點(diǎn)所在平面的投影特性，然后再根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得。

如已知正五棱柱上點(diǎn)F和G的正面投影f'(g')(見(jiàn)圖3-8)，求作它們的水平投影和側(cè)面投影。按f'(g')的位置和可見(jiàn)性，可判定點(diǎn)F屬于五棱柱的左前棱面AA0BB0，G屬于五棱柱的后棱面DD0EE0。因點(diǎn)F所屬平面AA0BB0為鉛垂面，因此其水平投影必落在該平面有積聚性的水平投影aa0bb0上。再根據(jù)f'?和f求出f″。點(diǎn)G的投影求法與點(diǎn)F的投影求法相同。

3．棱柱體的特征

圖3-9所示是一些常見(jiàn)的棱柱及其三視圖，從中可以總結(jié)出它們的形體特征：正棱柱體都是由兩個(gè)平行且相等的多邊形底面和若干個(gè)與其相垂直的矩形側(cè)面所組成，其三視圖的特征是：一個(gè)視圖為多邊形，其他兩個(gè)視圖均為一個(gè)或多個(gè)可見(jiàn)或不可見(jiàn)的矩形線(xiàn)框(圖形內(nèi)的線(xiàn)為某些側(cè)面棱線(xiàn)的投影，矩形線(xiàn)框?yàn)槟承﹤?cè)面的投影或重影)。圖3-9棱柱體及其三視圖(a)正三棱柱；(b)直四棱柱；(c)正四棱柱；(d)正五棱柱；(e)正六棱柱；(f)正六棱柱3.2.2棱錐體

1．棱錐體的三視圖

圖3-10所示為正三棱錐的投射情況。從圖中可知，棱錐由底面△ABC和三個(gè)相等的棱面△SAB、△SBC和△SAC所組成。底面為水平面，其水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚為一直線(xiàn)。棱面△SAC為側(cè)垂面，因此側(cè)面投影積聚為一直線(xiàn)，水平投影和正面投影都是類(lèi)似形。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，它的三面投影均為類(lèi)似形。棱線(xiàn)SB為側(cè)平線(xiàn)，棱線(xiàn)SA、SC為一般位置直線(xiàn)，棱線(xiàn)AC為側(cè)垂線(xiàn)，棱線(xiàn)AB、BC為水平線(xiàn)。對(duì)它們的投影特性，讀者可自行分析。畫(huà)正三棱錐的三視圖時(shí)，先畫(huà)出底面△ABC的各個(gè)投影，再畫(huà)出錐頂S的各個(gè)投影，連接各頂點(diǎn)的同面投影，即為正三棱錐的三視圖，如圖3-10(b)所示。圖3-10正三棱錐的三視圖及表面上的點(diǎn)(a)立體圖；(b)投影圖

2．棱錐體表面上的點(diǎn)

正三棱錐的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。屬于特殊位置平面的點(diǎn)的投影，可利用該平面投影的積聚性直接作圖。屬于一般位置平面的點(diǎn)的投影，可通過(guò)在平面上作輔助線(xiàn)的方法求得。

如圖3-10所示，已知棱面△SAB上點(diǎn)M的正面投影m'?和棱面△SAC上點(diǎn)N的水平投影n，試求點(diǎn)M、N的其他投影。因棱面△SAC是側(cè)垂面，它的側(cè)面投影s″a″(c″)具有積聚性，因此n"?在直線(xiàn)s″a″(c″)上，再由n和n″?求得n'。棱面△SAB是一般位置平面，過(guò)錐頂S及點(diǎn)M作一輔助線(xiàn)SⅡ(圖3-10(b)中即過(guò)m'?作s'?2'，其水平投影為s2)，然后根據(jù)直線(xiàn)上的點(diǎn)的投影特性，求出其水平投影m，再由m'、m求出側(cè)面投影m″。若過(guò)點(diǎn)M作一水平輔助線(xiàn)ⅠM，同樣可求得點(diǎn)M的其余二投影。

點(diǎn)M和點(diǎn)N的各個(gè)投影的可見(jiàn)性問(wèn)題，這里不再分析。

3．棱錐體的特征

下面看一些常見(jiàn)的正棱錐體及其三視圖(見(jiàn)圖3-11)。從中可總結(jié)出它們的形體特征：正棱錐體由一個(gè)正多邊形底面和若干個(gè)具有公共頂點(diǎn)的等腰三角形側(cè)面所組成，且錐頂位于過(guò)底面中心的垂直線(xiàn)上；其三視圖的特征是：一個(gè)視圖為正多邊形(圖形內(nèi)的線(xiàn)分別為側(cè)棱線(xiàn)的投影，等腰三角形分別為側(cè)表面的投影)，其他兩視圖均為一個(gè)或多個(gè)可見(jiàn)與不可見(jiàn)具有公共頂點(diǎn)的三角形線(xiàn)框(圖形內(nèi)的線(xiàn)為某些側(cè)棱線(xiàn)的投影，三角形為某些側(cè)表面的投影)。圖3-11棱錐體及其三視圖(a)正三棱錐；(b)正四棱錐；(c)正六棱錐

棱錐體被平行于底面的平面截去其上部，所剩的部分叫做棱錐臺(tái)，簡(jiǎn)稱(chēng)棱臺(tái)，如圖3-12所示。其三視圖的特征是：一個(gè)視圖中為兩個(gè)相似的正多邊形(分別反映兩個(gè)底面的實(shí)形，圖形內(nèi)對(duì)應(yīng)角的連線(xiàn)分別為側(cè)棱線(xiàn)的投影，梯形分別為側(cè)面的投影)；其他兩個(gè)視圖均為一個(gè)或多個(gè)可見(jiàn)與不可見(jiàn)的四邊形線(xiàn)框(圖形內(nèi)的線(xiàn)為某些側(cè)棱線(xiàn)的投影，四邊形為某些側(cè)面的投影)。圖3-12棱錐臺(tái)及其三視圖(a)正三棱臺(tái)；(b)正四棱臺(tái)；(c)正六棱臺(tái)

由一條母線(xiàn)(直線(xiàn)或曲線(xiàn))圍繞軸線(xiàn)回轉(zhuǎn)而形成的表面，稱(chēng)為回轉(zhuǎn)面(如圖3-13所示)；由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體，稱(chēng)為回轉(zhuǎn)體。3.3回轉(zhuǎn)體的投影圖3-13回轉(zhuǎn)面的形成(a)圓柱面的形成；(b)圓錐面的形成；(c)球面的形成3.3.1圓柱體

1．圓柱面的形成

如圖3-13(a)所示，圓柱面可看做一條直線(xiàn)AB圍繞與它平行的軸線(xiàn)OO回轉(zhuǎn)而成。OO稱(chēng)為回轉(zhuǎn)軸，直線(xiàn)AB稱(chēng)為母線(xiàn)，母線(xiàn)轉(zhuǎn)至任一位置時(shí)，稱(chēng)為素線(xiàn)。

2．圓柱體的三視圖

圖3-14表示一個(gè)圓柱體的投射情況。由于圓柱軸線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)，圓柱面上所有素線(xiàn)都是鉛垂線(xiàn)，所以其水平投影積聚成一個(gè)圓。圓柱體的上、下兩底圓均平行于水平面，其水平投影反映實(shí)形，為與圓柱面水平投影重合的圓平面。圖3-14圓柱體及其三視圖(a)圓柱體的投射情況；(b)圓柱體的三視圖主視圖的矩形表示圓柱面的投影，其上、下兩邊分別為上、下底面的積聚性投影；左、右兩邊分別為圓柱面最左、最右素線(xiàn)的投影，這兩條素線(xiàn)的水平投影積聚成兩個(gè)點(diǎn)，其側(cè)面投影與軸線(xiàn)的側(cè)面投影重合。最左、最右素線(xiàn)將圓柱面分為前、后兩半，是圓柱面由前向后的轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)，也是圓柱面在正面投影中可見(jiàn)與不可見(jiàn)部分的分界線(xiàn)。

左視圖的矩形線(xiàn)框可與主視圖的矩形線(xiàn)框作類(lèi)似的分析。

畫(huà)圓柱體的三視圖時(shí)，一般先畫(huà)圓，再根據(jù)圓柱體的高度和投影規(guī)律畫(huà)出其他兩視圖。

3．圓柱體表面上的點(diǎn)

如圖3-15所示，已知圓柱面上點(diǎn)M的正面投影m‘，求m和m″。

由于圓柱的軸線(xiàn)為側(cè)垂線(xiàn)，圓柱面上所有素線(xiàn)均是平行于軸線(xiàn)的側(cè)垂線(xiàn)，其圓柱面的側(cè)面投影積聚成一個(gè)圓，所以點(diǎn)M的側(cè)面投影一定重影在圓周上。據(jù)此，作圖時(shí)應(yīng)先求出m″，再由m'和m″求出m。因點(diǎn)M位于圓柱的上表面，所以其水平投影m為可見(jiàn)。圖3-15圓柱體表面上點(diǎn)的求法

4．圓柱體的特征

綜上所述，可總結(jié)出圓柱的形體特征：它由兩個(gè)相等的圓底面和一個(gè)與其垂直的圓柱面所圍成。其三視圖的特征是：一個(gè)視圖為圓，其他兩個(gè)視圖均為相等的矩形線(xiàn)框。3.3.2圓錐體

1．圓錐面的形成

如圖3-13(b)所示，圓錐面可看做是一條直母線(xiàn)SA圍繞和它相交的軸線(xiàn)OO回轉(zhuǎn)而成。

2．圓錐體的三視圖

圖3-16所示為一圓錐體的投影情況。由于圓錐軸線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)，底面為水平面，所以它的水平投影為一圓，反映底面的實(shí)形，同時(shí)也表示圓錐面的投影。主視圖、左視圖均為等腰三角形，其下邊均為圓錐底面的積聚性投影。主視圖中三角形的左、右兩邊，分別表示圓錐面最左、最右素線(xiàn)的投影(反映實(shí)長(zhǎng))，它們是圓錐面的正面投影可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)；左視圖中三角形的兩邊，分別表示圓錐面最前、最后素線(xiàn)的投影(反映實(shí)長(zhǎng))，它們是圓錐面的側(cè)面投影可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。上述四條線(xiàn)的其他兩面投影，請(qǐng)讀者自行分析。圖3-16圓錐體及其三視圖(a)圓錐體的投影情況；(b)圓錐體的三視圖

3．圓錐體表面上的點(diǎn)

如圖3-17所示，已知圓錐體表面上點(diǎn)M的正面投影m′，求m和m“。

根據(jù)M的位置和可見(jiàn)性，可判定點(diǎn)M在前、左圓錐面上，因此，點(diǎn)M的三面投影均為可見(jiàn)。

作圖可采用如下兩種方法：

(1)輔助素線(xiàn)法：如圖3-17(a)所示，過(guò)錐頂S和點(diǎn)M作一輔助素線(xiàn)SⅠ，即在圖3-17(b)中連接s‘m’，并延長(zhǎng)到與底面的正面投影相交于1‘，求得s1和s″1″；再由m’?根據(jù)點(diǎn)在線(xiàn)上的投影規(guī)律求出m和m″。

(2)輔助圓法(緯圓法)：如圖3-17(a)所示，過(guò)點(diǎn)M在圓錐面上作垂直于圓錐軸線(xiàn)的水平輔助圓(該圓的正面投影積聚為一直線(xiàn))，即過(guò)m'?所作的2'?3'?(如圖3-17(c)所示)的水平投影為一直徑等于2'?3'?的圓，圓心為s，由m'作OX軸的垂線(xiàn)，與輔助圓的交點(diǎn)即為m。再根據(jù)m'?和m求出m″。圖3-17圓錐體表面上點(diǎn)的求法

4．圓錐體的特征

圓錐的形體特征是：它由一個(gè)圓底面和一個(gè)錐頂位于與底面相垂直的中心軸線(xiàn)上的圓錐面所圍成。其三視圖的特征是：一個(gè)視圖為圓，其他兩視圖均為相等的等腰三角形。

圓錐體被平行于其底面的平面截去上部，所剩的部分叫作圓錐臺(tái)，簡(jiǎn)稱(chēng)圓臺(tái)。圓臺(tái)及其三視圖如圖3-18所示。其三視圖的特征是：一個(gè)視圖為兩個(gè)同心圓(分別反映兩個(gè)底面的實(shí)形，兩圓之間的部分表示圓臺(tái)面的投影)；其他兩個(gè)視圖均為相等的等腰梯形。如圖3-11(b)所示，俯視圖的左、右兩腰分別為圓臺(tái)面最左、最右素線(xiàn)的投影，左視圖的上、下兩腰分別為圓臺(tái)面最上、最下素線(xiàn)的投影，梯形的兩底分別為兩個(gè)底面的積聚性投影。圖3-18圓臺(tái)及其三視圖3.3.3球體

1．球面的形成

如圖3-13(c)所示，球面可看做一圓母線(xiàn)圍繞它的直徑回轉(zhuǎn)而成。

2．球體的三視圖

圖3-19(a)所示為一球體的投影情況，圖3-19(b)所示為球體的三視圖。它們都是與球直徑相等的圓，均表示球面的投影。球體的各個(gè)投影雖然都是圓，但各個(gè)圓的意義卻不相同。主視圖中的圓是平行于V面的圓素線(xiàn)Ⅰ(前、后半球的分界線(xiàn)，球面正面投影可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn))的投影；按此作類(lèi)似分析，俯視圖中的圓是平行于H面的圓素線(xiàn)Ⅱ

的投影；左視圖中的圓是平行于W面的圓素線(xiàn)Ⅲ?的投影。這三條圓素線(xiàn)的其他兩面投影都與圓的相應(yīng)中心線(xiàn)重合。圖3-19圓球體及其三視圖(a)圓球體的投影情況；(b)圓球體的三視圖

3．圓球體表面上的點(diǎn)

如圖3-20(a)所示，已知圓球面上點(diǎn)M的水平投影m，求其他兩面投影。

根據(jù)M的位置和可見(jiàn)性，可判定點(diǎn)M在前半球的左上部分，因此點(diǎn)M的三面投影均為可見(jiàn)。

圖3-20圓球體表面上的點(diǎn)作圖應(yīng)采用輔助圓法。即過(guò)點(diǎn)M在球面上作一平行于正面的輔助圓(也可作平行于水平面或側(cè)面的圓)。因點(diǎn)在輔助圓上，故點(diǎn)的投影必在輔助圓的同面投影上。

作圖時(shí)，先在水平投影中過(guò)m作ef

//

OX，ef為輔助圓在水平投影面上的積聚性投影，再畫(huà)正面投影為直徑等于ef的圓，由m作OX軸的垂線(xiàn)，其與輔助圓正面投影的交點(diǎn)(因m可見(jiàn)，應(yīng)取上面的交點(diǎn))即為m'，再由m、m′?求得m"，如圖3-20(b)所示。

4．圓球體的特征

圓球體的形體特征是：它是由過(guò)球心任一直徑都相等的球面所圍成的。其三視圖的特征是：三個(gè)視圖都是直徑相等的圓。

回轉(zhuǎn)體作為物體的組成部分不都是完整的，也并非總是直立的。多看、多畫(huà)些形體不完整、方位多變的幾何體及其三視圖，熟悉它們的形狀，對(duì)提高看圖能力非常有益。

為此，下面給出了多種形式的不完整回轉(zhuǎn)體及其三視圖(見(jiàn)圖3-21)，供讀者自行識(shí)讀。圖3-21部分不完整回轉(zhuǎn)體及其三視圖3.4.1截交線(xiàn)的幾何性質(zhì)

平面與立體表面相交時(shí)會(huì)產(chǎn)生表面交線(xiàn)，這種表面交線(xiàn)稱(chēng)為截交線(xiàn)，這個(gè)平面稱(chēng)為截平面，由截交線(xiàn)所圍成的平面圖形稱(chēng)為斷面，如圖3-22所示。3.4平面與回轉(zhuǎn)體相交圖3-22截交線(xiàn)的基本概念由于立體的形狀和截平面的位置不同，因此截交線(xiàn)的形狀也各不相同，但它們都具有下面兩個(gè)基本性質(zhì)：

(1)共有性。截交線(xiàn)是截平面和立體表面的共有線(xiàn)，故截交線(xiàn)上任一點(diǎn)都是截平面和立體表面的共有點(diǎn)。

(2)封閉性。由于任何立體表面在空間的尺寸是有限的，所以，截交線(xiàn)一般多由封閉的平面曲線(xiàn)或直線(xiàn)所圍成。

平面與回轉(zhuǎn)體相交，截交線(xiàn)一般是由曲線(xiàn)或曲線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的一個(gè)封閉的平面圖形，當(dāng)投影為非圓曲線(xiàn)時(shí)，可以利用表面取點(diǎn)的方法求出截交線(xiàn)上一系列點(diǎn)的投影，再連成光滑的曲線(xiàn)，并判別可見(jiàn)性。首先求出截交線(xiàn)上的全部特殊點(diǎn)，即最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)或轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)上的點(diǎn)，當(dāng)連線(xiàn)有困難時(shí)，再求出若干個(gè)一般點(diǎn)。3.4.2平面與圓柱相交

平面與圓柱相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線(xiàn)的相對(duì)位置不同，其截交線(xiàn)有三種不同的形狀，見(jiàn)表3-1。表3-1圓柱體的截交線(xiàn)

【例3-3】求圓柱被截切后(見(jiàn)圖3-23(a))的三視圖。

分析該圓柱為一直立圓柱體，軸線(xiàn)鉛垂，上端切口是用左、右兩個(gè)平行于圓柱軸線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)的側(cè)平面及兩個(gè)垂直于圓柱軸線(xiàn)的水平面截切而成。側(cè)平面與圓柱軸線(xiàn)平行，截?cái)嗝鏋榫匦?，水平面與軸線(xiàn)垂直，與圓柱表面的截交線(xiàn)都為圓弧，由于它們都分別垂直于相應(yīng)的投影面，因此，圓柱上部切口部分截交線(xiàn)的投影均可用積聚性法求出。

作圖步驟如下：

(1)先畫(huà)出完整的圓柱三視圖。

(2)由于截平面分別為側(cè)平面和水平面，圓柱截交線(xiàn)的正面投影都有積聚性，側(cè)平面的水平投影也有積聚性，故應(yīng)按切口部位的尺寸依次畫(huà)出正面投影和水平投影，再根據(jù)這兩面投影求出截交線(xiàn)的側(cè)面投影a″b″c″d″，作圖過(guò)程如圖3-23(b)所示。圖3-23圓柱切口三視圖的畫(huà)法

【例3-4】已知圓柱被平面截切后的主、俯視圖(見(jiàn)圖3-24(a))，補(bǔ)畫(huà)其左視圖。

分析

該圓柱體軸線(xiàn)鉛垂放置，上部由正垂面P和側(cè)平面Q所截切而成。截平面P與圓柱體軸線(xiàn)傾斜，截交線(xiàn)為橢圓弧，其正面投影積聚在截平面P的正面投影上，水平投影重合在圓柱面的水平投影圓上，側(cè)面投影為橢圓弧。截平面Q為側(cè)平面，與軸線(xiàn)平行，截切圓柱表面的交線(xiàn)為前后兩段素線(xiàn)，Q平面與頂平面和P面相交的交線(xiàn)為兩段正垂線(xiàn)，其截?cái)嗝鏋榫匦?。正面投影重合在Q平面的正面投影上，水平投影積聚為直線(xiàn)，側(cè)面投影反映實(shí)形。

作圖步驟如下：

(1)求截?cái)嗝鍽的投影。如圖3-24(b)所示，因?yàn)镼為側(cè)平面，水平投影積聚為直線(xiàn)，由此求出水平投影abmn，側(cè)面投影反映實(shí)形，根據(jù)上例可求得側(cè)面投影a″b″m″n″。

(2)求正垂面P截圓柱表面的截交線(xiàn)。如圖3-24(c)所示，先求特殊點(diǎn)，在正面投影上確定出A、B、C、D、E的正面投影a′、(b′)、c′、(d′)、e′，由此定出水平投影a、b、c、d、e，按對(duì)應(yīng)關(guān)系求出側(cè)面投影a″、b″、c″、d″、e″；再適當(dāng)求幾個(gè)一般點(diǎn)，如F、G；按水平投影中的順序光滑連接a″b″d″f″e(cuò)″g″c″。

(3)完成立體左視圖。如圖3-24(d)所示，因?yàn)閳A柱的最前、最后素線(xiàn)上部被P平面所截掉，故最前、最后素線(xiàn)的側(cè)面投影以c″d″?為截?cái)帱c(diǎn)，僅畫(huà)出下部即可。圖3-24補(bǔ)畫(huà)被截切圓柱體的左視圖

【例3-5】已知空心圓柱體上部開(kāi)槽后的主、俯視圖(見(jiàn)圖3-25(a))，補(bǔ)畫(huà)其左視圖。

分析由主視圖上部缺口可知，該空心圓柱體被左右對(duì)稱(chēng)的側(cè)平面P和水平面R所截切。側(cè)平面P截切外圓柱表面的截交線(xiàn)為兩段直素線(xiàn)，截切內(nèi)圓柱孔表面的截交線(xiàn)也為兩段直素線(xiàn)，水平投影分別積聚在外圓周和內(nèi)圓周上，側(cè)面投影仍為直線(xiàn)；水平面R截切內(nèi)外圓柱表面的截交線(xiàn)均為水平圓弧，正面投影和側(cè)面投影均為直線(xiàn)，水平投影反映實(shí)形。截平面P、R與內(nèi)、外圓柱面截切形式相同，因而內(nèi)、外圓柱面上的截交線(xiàn)形狀相同，只是位置大小不同而已，因此只要先求出截平面與外圓柱面的截交線(xiàn)的投影，內(nèi)圓柱面上的截交線(xiàn)可仿照外圓柱面上截交線(xiàn)的求法，只是位置和大小不同罷了。

作圖步驟如下：

(1)首先畫(huà)出未開(kāi)槽的實(shí)心圓柱體的左視圖。

(2)求外圓柱面的截交線(xiàn)。如圖3-25(b)所示，P平面截切實(shí)體圓柱截交線(xiàn)的正面投影a′b′、c′d′?重合在P平面的正面投影上，水平投影ab、cd積聚在圓周上，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可求得側(cè)面投影a″b″、c″d″；R平面截切實(shí)體圓柱的截交線(xiàn)為前后兩段圓弧，其截?cái)嗝鏋樗矫?，正面投影積聚為直線(xiàn)，水平投影bdfhgeb反映實(shí)形，側(cè)面投影積聚為直線(xiàn)e″b″d″f″?段。

(3)求內(nèi)圓柱面的截交線(xiàn)。如圖3-25(c)所示，P平面截切內(nèi)圓柱面所得截交線(xiàn)的正面投影i′j′、k′m′?重合在P平面的正面投影上，水平投影ij、km積聚在內(nèi)圓柱孔的圓周上，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可求得側(cè)面投影i″j″、k″m″；R平面截切內(nèi)圓柱面的截交線(xiàn)為前后兩段水平圓弧，其水平投影為tq(j)、nr(m)，正面投影為直線(xiàn)(j′)(q′)(t′)、(m′)(r′)(n′)，側(cè)面投影為直線(xiàn)(q″)(j″)、(m″)(r″)段。

(4)由于是空心圓柱，故側(cè)面投影(j″)、(m″)之間無(wú)投影，如圖3-25(c)所示。

(5)完成立體的左視圖。由于內(nèi)、外圓柱最前和最后素線(xiàn)的上段已被R平面截去，故最前、最后素線(xiàn)的側(cè)面投影以e″、q″、r″、f″?為界僅畫(huà)出下段，如圖3-25(d)所示。圖3-25開(kāi)槽空心圓柱體的三視圖3.4.3平面與圓錐相交

由于平面與圓錐軸線(xiàn)的相對(duì)位置不同，因而平面與圓錐的截交線(xiàn)有五種情況，見(jiàn)表3-2。

【例3-6】求作圓錐被一正垂面截切后(見(jiàn)圖3-26(a))的三視圖。

分析由于截平面與圓錐軸線(xiàn)傾斜，故其截交線(xiàn)為一橢圓。橢圓的正面投影與截平面的正面投影重合，所以只需求出其水平投影和側(cè)面投影。圖3-26求斜切圓錐的三視圖

作圖步驟如下：

(1)求特殊點(diǎn)。橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)A、B是截交線(xiàn)上的最低、最高及最左、最右點(diǎn)，也是圓錐前后方向轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)上的點(diǎn)，可利用投影關(guān)系由a′、b′?求得a、b和a″、b″；橢圓短軸上兩個(gè)端點(diǎn)C、D是截交線(xiàn)上的最前、最后點(diǎn)，其正面投影c′、d′重影于a′b′?的中點(diǎn)，利用緯圓法即可求得c、d和c″、d″。橢圓上E、F點(diǎn)也是左右方向轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)上的點(diǎn)，由e′、f′?直接求得e、f和e″、f″。

(2)求一般點(diǎn)。用緯圓法在特殊點(diǎn)之間再求出適量的一般點(diǎn)，如M(m、m″)、N(n、n″?)等。

(3)經(jīng)判別可見(jiàn)性后依次光滑連接各點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影即為所求(e″、f″?以上的轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)被切去)。

【例3-7】畫(huà)出圓錐被正平面截切后(見(jiàn)圖3-27(a))的三視圖。

分析因?yàn)榻仄矫鏋檎矫?，與圓錐的軸線(xiàn)平行，所以截平面為用直線(xiàn)封閉的雙曲線(xiàn)。其水平投影和側(cè)面投影分別積聚為一直線(xiàn)，只需求出正面投影。圖3-27正平面截切圓錐的截交線(xiàn)

作圖步驟如下：

(1)先畫(huà)出圓錐體的三視圖及截交線(xiàn)H、W面的積聚性投影，如圖3-27(b)所示。

(2)求特殊點(diǎn)。點(diǎn)Ⅲ

為最高點(diǎn)，它在最前素線(xiàn)上，故根據(jù)3“?可直接作出3和3‘。點(diǎn)Ⅰ、Ⅴ為最低點(diǎn)，也是最左、最右點(diǎn)，其水平投影1、5在底圓的水平投影上，據(jù)此可求出1′?和5’。

(3)求一般點(diǎn)?？衫幂o助圓法(也可用輔助素線(xiàn)法)，即過(guò)正面投影2′?、4′?畫(huà)一條與圓錐軸線(xiàn)垂直的水平線(xiàn)，與圓錐最左、最右素線(xiàn)的投影相交，以?xún)山稽c(diǎn)之間的長(zhǎng)度為直徑，在水平投影中畫(huà)一圓，它與截交線(xiàn)的積聚性投影(直線(xiàn))相交于2和4，據(jù)此求出2‘、4′?及2”、4“。

(4)依次將點(diǎn)1'、2'、3'、4'、5'

連成光滑的曲線(xiàn)，即為截交線(xiàn)的正面投影。3.4.4平面與圓球相交

圓球被任意方向的平面截切時(shí)，所得到的截?cái)嗝嫘螤疃际菆A。當(dāng)截?cái)嗥矫嫫叫杏谕队懊鏁r(shí)，這個(gè)圓在該投影面上的投影反映實(shí)形。截?cái)嗥矫嬷燎蛐牡木嚯x越大，被切出圓的直徑越??；反之，圓的直徑越大。

【例3-8】畫(huà)出開(kāi)槽半球體(見(jiàn)圖3-28(a))的三視圖。

分析由于半圓球被兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的側(cè)平面和一個(gè)水平面截切，因此兩個(gè)側(cè)平面與球面的截交線(xiàn)各為一段平行于側(cè)面的圓弧，而水平面與球面的截交線(xiàn)為兩段水平的圓弧。

作圖首先畫(huà)出完整半圓球的三視圖，再根據(jù)槽寬、槽深尺寸依次畫(huà)出截交線(xiàn)的正面、水平和側(cè)面投影，作圖的關(guān)鍵在于確定圓弧半徑R1和R2，具體畫(huà)法如圖3-28(b)、(c)所示。

作圖時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)因半圓球上平行于W面的圓素線(xiàn)被切去一部分，所以由開(kāi)槽而產(chǎn)生的輪廓線(xiàn)在側(cè)面的投影向內(nèi)“收縮”，其圓弧半徑如圖3-28(c)所示。顯然，槽越寬，半徑越小；槽越窄，半徑越大。

(2)注意區(qū)分槽底的側(cè)面投影的可見(jiàn)性。圖3-28半球體開(kāi)槽后截交線(xiàn)的畫(huà)法

【例3-9】畫(huà)出圖3-29(a)所示同軸回轉(zhuǎn)體的俯視圖。

分析該立體是由同軸線(xiàn)的圓錐和圓柱被水平面P、正垂面Q截切而成的。截平面P與圓錐表面的截交線(xiàn)為雙曲線(xiàn)；與圓柱表面的截交線(xiàn)為直線(xiàn)。截平面Q與圓柱表面的截交線(xiàn)為橢圓。由于正面和側(cè)面投影均有積聚性，只需求作它的水平投影。

作圖步驟如下：

(1)作出該立體截切前的三視圖。

(2)求作左端雙曲線(xiàn)的水平投影。

(3)求作中部?jī)善叫兄本€(xiàn)的水平投影。

(4)求右端橢圓的水平投影。

(5)不要漏畫(huà)平面P與Q交線(xiàn)的水平投影；圓錐與圓柱交線(xiàn)的水平投影在2、3之間為虛線(xiàn)。圖3-29同軸回轉(zhuǎn)體截切(a)立體圖；(b)已知；(c)作圖

看圖提示：

(1)要注意分析截平面的位置。一是分析截平面與被切回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置，以確定截交線(xiàn)的形狀(如截平面與圓柱軸線(xiàn)傾斜，其截交線(xiàn)為橢圓；與圓錐軸線(xiàn)垂直，其截交線(xiàn)為圓等)；二是分析截平面與投影面的相對(duì)位置，以確定截交線(xiàn)的投影形狀(如球被垂直于投影面的截平面切割，截交線(xiàn)圓在另兩面上的投影則變成了橢圓等)。

(2)當(dāng)截交線(xiàn)的投影為非圓曲線(xiàn)時(shí)，應(yīng)先求特殊位置點(diǎn)的投影入手，以確定其投影范圍，再求一般位置點(diǎn)的投影以增加其投影連線(xiàn)的準(zhǔn)確度(除圓柱可利用其投影的積聚性求得外，圓錐和球等則必須用輔助素線(xiàn)法或輔助圓法求得)。

(3)要注意分析回轉(zhuǎn)體輪廓線(xiàn)投影的變化情況(存留輪廓線(xiàn)的投影不要漏畫(huà)，被切掉輪廓線(xiàn)的投影不要多畫(huà))。此外，還要注意截交線(xiàn)投影的可見(jiàn)性問(wèn)題。圖3-30回轉(zhuǎn)截切體的三視圖兩立體相交，其表面上產(chǎn)生的交線(xiàn)稱(chēng)為相貫線(xiàn)，如圖3-31所示。3.5兩回轉(zhuǎn)體相交圖3-31相貫線(xiàn)實(shí)例3.5.1相貫線(xiàn)的幾何性質(zhì)

兩回轉(zhuǎn)體的相貫線(xiàn)有以下性質(zhì)：

(1)由于相交兩立體總有一定大小限制，因此相貫線(xiàn)一般為封閉的空間曲線(xiàn)，如圖3-32(a)所示。特殊情況下可能是不封閉的，如圖3-32(b)所示，也可能是平面曲線(xiàn)或直線(xiàn)，如圖3-32(c)、(d)所示。圖3-32兩回轉(zhuǎn)體的相貫線(xiàn)(a)封閉的空間曲線(xiàn)；(b)不封閉的空間曲線(xiàn)；(c)封閉的平面曲線(xiàn)；(d)直線(xiàn)段(2)由于相貫線(xiàn)是兩立體表面的交線(xiàn)，故相貫線(xiàn)是兩立體表面的共有線(xiàn)，相貫線(xiàn)上的點(diǎn)是立體表面上的共有點(diǎn)。求畫(huà)相貫線(xiàn)的實(shí)質(zhì)就是要求出兩立體表面一系列的共有點(diǎn)。常采用以下方法：立體表面取點(diǎn)法、輔助平面法和輔助球面法，這里只介紹前兩種方法。3.5.2用表面取點(diǎn)法求相貫線(xiàn)

當(dāng)圓柱的軸線(xiàn)垂直于某一投影面時(shí)，圓柱面在這個(gè)投影面上的投影具有積聚性，因而相貫線(xiàn)的投影與其重合，根據(jù)這個(gè)投影，就可用表面取點(diǎn)法求出其他投影。

1．兩圓柱軸線(xiàn)垂直相交時(shí)的相貫線(xiàn)

【例3-10】求作兩圓柱正交(見(jiàn)圖3-33(a))的相貫線(xiàn)。圖3-33兩圓柱軸線(xiàn)正交相貫線(xiàn)的畫(huà)法

分析由圖3-33(a)可知，這是兩個(gè)直徑不同，軸線(xiàn)垂直的圓柱相交，相貫線(xiàn)為一封閉的空間曲線(xiàn)。大圓柱的軸線(xiàn)垂直于水平面，小圓柱的軸線(xiàn)垂直于側(cè)面，所以相貫線(xiàn)的水平投影和大圓柱面的水平投影重合，為一段圓?。幌嘭灳€(xiàn)的側(cè)面投影和小圓柱面的側(cè)面投影重合，為一個(gè)圓，求作的是相貫線(xiàn)的正面投影。

作圖步驟如下：

(1)求特殊點(diǎn)。相貫線(xiàn)上的特殊點(diǎn)主要是轉(zhuǎn)向輪廓線(xiàn)上的共有點(diǎn)和極限位置點(diǎn)。如圖3-33(b)所示，小圓柱與大圓柱的正面輪廓線(xiàn)交點(diǎn)1‘、3’?是相貫線(xiàn)上的最高、最低(也是最左)點(diǎn)，其投影可直接定出；小圓柱的水平輪廓線(xiàn)與大圓柱面的交點(diǎn)2、4是相貫線(xiàn)上的最前、最后(也是最右)點(diǎn)。由已知投影1、2、(3)、4和1″、2″、3“、4”，求得1′、2‘、3’、(4')。

(2)求一般點(diǎn)。在小圓柱的側(cè)面投影中取5″、6″，根據(jù)“寬相等”求出水平投影5、(6)，然后作出5′、6′。

(3)順次光滑連接，判別可見(jiàn)性。根據(jù)具有積聚性投影的順序，依次光滑連接各點(diǎn)的正面投影，即完成作圖。由于相貫線(xiàn)前后對(duì)稱(chēng)，因而其正面投影虛實(shí)線(xiàn)重合(見(jiàn)圖3-33(c))。

2．兩圓柱垂直相交，當(dāng)其直徑大小變化時(shí)對(duì)相貫線(xiàn)的影響

兩圓柱垂直相交時(shí)，相貫線(xiàn)的形狀取決于它們直徑的相對(duì)大小和軸線(xiàn)的相對(duì)位置。圖3-34表示相交兩圓柱的直徑相對(duì)變化，相貫線(xiàn)的形狀和位置也隨之變化。圖3-34