湖北省隨州市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含答案

湖北省隨州市部分高中2025年元月期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马棧?、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2,則點D1到平面A1BD的距離是()A.B.C.D.2、如圖,在四棱錐P?ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,則點C到直線PA的距離為()A.2B.2C.D.43、如圖,在三棱錐M?ABC中,MA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形,MA=2,F是MC的中點,則異面直線MB與AF所成角的余弦值是()A.B.C.D.4、在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB⊥BC,且AB=BC=2,若直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成的角為,則異面直線A1B與AC所成角的正弦值為()A.B.C.D.5、已知過點M(2,1)的直線l與x軸、y軸分別交于P,Q兩點。若M為線段PQ的中點,則直線l的方程為()A.2x-y-3=0 B.2x+y+5=0C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=06、等軸雙曲線的一個焦點是F1(0,-6),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=17、已知直線l過雙曲線C:=1的左焦點,且與C交于A,B兩點,當(dāng)|AB|=8時,這樣的直線l有()A.3條B.2條C.1條D.4條8、過拋物線y2=4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,則|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,傾斜角分別為α1,α2,α3,則下列選項正確的是()A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1C.α1<α3<α2D.α3<α2<α110、。設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線y=-(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準(zhǔn)線,則()A.p=2B.|MN|=C.以線段MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形11、橢圓=1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點在圓x2+y2-5x-4y+4=0上,則該橢圓的離心率的可能取值有()A.B.C.D.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點共線,則m+n=。

13、已知圓C的半徑為,其圓心C在直線x+y+2=0上,圓C上的動點P到直線kx-y-2k+2=0(k∈R)的距離的最大值為4,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

14、已知方程=1表示雙曲線,則m的取值范圍是。

四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）如圖所示,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點。(1)求證:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,請說明理由。16、（本小題滿分12分）如圖,平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°。(1)證明:C1O⊥平面ABCD;(2)求二面角B?AA1?D的正弦值。17、（本小題滿分12分）已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2)。求:(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標(biāo);(2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點A(-1,-2)對稱的直線l'的方程。18、（本小題滿分12分）已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),離心率為。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q兩點。當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積。19、（本小題滿分12分）已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1)。(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B。求證:以線段AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點。高二數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：1、解析：D建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(0,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),由取x=1,則n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一個法向量,所以點D1到平面A1BD的距離是。故選D。2、解析：A如圖,以B為原點,射線BC,BA,BP分別為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),故=(2,0,-4),=(0,4,-4),取a==(2,0,-4),上的單位方向向量u=(0,1,-1),則點C到直線PA的距離是,即點C到直線PA的距離為2。故選A。3、解析：B以A為原點,AC,AM所在直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,易知A(0,0,0),B(,1,0),F(0,1,),M(0,0,2),所以=(,1,-2),=(0,1,)。設(shè)異面直線MB與AF所成角為θ,則cosθ=|cos<,,所以異面直線MB與AF所成角的余弦值為。故選B。4、解析:D在直三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因為AB⊥BC,所以BA,BC,BB1兩兩垂直,以直線BA,BC,BB1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BB1=a(a>0),則A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,0,a),C(0,2,0),所以=(-2,0,a),=(0,0,a),=(-2,2,0)。設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得n=(1,1,0)為平面AA1C1C的一個法向量,所以直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成角的正弦值為sin,n>|=,得a=2,所以A1(2,0,2),=(-2,0,-2)。設(shè)異面直線A1B與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<,,所以異面直線A1B與AC所成角的正弦值為。故選D。5、解析:C由題意知直線l的斜率存在,且不為0。設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2)。令x=0,得y=1-2k,所以點Q的坐標(biāo)為(0,1-2k)。又因為M為線段PQ的中點,點P的縱坐標(biāo)為0,所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式得=1,解得k=-,所以所求直線的方程為x+2y-4=0。故選C。6、解析：C等軸雙曲線的一個焦點是F1(0,-6),故焦點在y軸上,c=6且a=b,根據(jù)a2+b2=c2,得a=b=3,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1。故選C。7、解析：A由雙曲線C:=1可得左焦點F(-5,0),頂點(-4,0),(4,0)。若l⊥x軸,則|AB|=2×<8,不符合題意,舍去;若l與x軸不垂直,與C的左支交于A,B兩點,則|AB|=8,存在兩條直線;若l與x軸不垂直,與C的左、右支各交于一點,則只有A,B為頂點時滿足|AB|=8,存在一條直線。綜上可得,滿足條件的直線有3條。故選A。8、解析：B拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1。根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8。故選B。二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、解析：AD如題圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,傾斜角分別為α1,α2,α3,則k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1為鈍角。故選AD。10、。解析：ACA項,直線y=-(x-1)過點(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A項正確,且拋物線C的方程為y2=4x。B項,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化簡得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B項錯誤。C項,設(shè)線段MN的中點為A,M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d,因為d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直線l的距離等于|MN|的一半,所以以線段MN為直徑的圓與直線l相切,C項正確。D項,由上述分析可知y1=-×(3-1)=-2,y2=-,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D項錯誤。故選AC。11、解析：BCD橢圓=1(a>b>0)的焦點在x軸上,頂點在坐標(biāo)軸上,因為橢圓的一個焦點和一個頂點在圓x2+y2-5x-4y+4=0上,所以可先求出圓x2+y2-5x-4y+4=0與坐標(biāo)軸的交點。令y=0,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以圓x2+y2-5x-4y+4=0與x軸的交點為A(1,0),B(4,0);令x=0,得y2-4y+4=0,解得y=2,所以圓x2+y2-5x-4y+4=0與y軸相切于點C(0,2)。當(dāng)點A(1,0)為焦點,C(0,2)為頂點時,c=1,b=2,所以a=,則離心率e=;當(dāng)點A(1,0)為焦點,B(4,0)為頂點時,c=1,a=4,則離心率e=;當(dāng)點B(4,0)為焦點,C(0,2)為頂點時,c=4,b=2,所以a=,則離心率e=。故選BCD。三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、解析：-3。因為=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三點共線,所以存在實數(shù)λ,使得=λ,即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以所以m+n=-3。13、解析：(x+1)2+(y+1)2=2。kx-y-2k+2=0可化為k(x-2)-y+2=0,所以直線kx-y-2k+2=0(k∈R)過定點A(2,2)。因為圓C上的動點P到直線kx-y-2k+2=0(k∈R)的距離的最大值為4,所以圓心C到直線kx-y-2k+2=0(k∈R)的距離的最大值為4。又圓心C在直線x+y+2=0上,所以可設(shè)C(a,-a-2)。如圖,易知直線CA與直線kx-y-2k+2=0(k∈R)垂直時,圓心C到直線kx-y-2k+2=0(k∈R)的距離最大,即,解得a=-1,故圓心C(-1,-1),故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=2。14、解析：(-∞,-5)∪(-2,+∞)。因為該方程表示雙曲線,所以(m+2)(m+5)>0,即m>-2或m<-5,即m的取值范圍為(-∞,-5)∪(-2,+∞)。四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)證明:以A為原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(-1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。(2)存在滿足要求的點P,假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此時=(0,-1,z0)。設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因為n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,則故n=是平面B1AE的一個法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即-az0=0,解得z0=。所以存在點P,滿足DP∥平面B1AE,此時AP=。16、（本小題滿分12分）解(1)證明:(),因為··()=(··)+()=0,所以C1O⊥BD。因為CC1=2,CO=,∠C1CO=45°,所以C1O=,所以C1O2+OC2=C,所以C1O⊥OC,又因為BD∩OC=O,且BD,OC?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD。(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(,0,0),A(0,-,0),C1(0,0,),C(0,,0),所以A1(0,-2,),D(-,0,0),所以=(,,0),=(0,-,),=(-,,0),設(shè)平面AA1B與平面AA1D的一個法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則有不妨取x1=x2=1,則n1=(1,-1,-1),n2=(1,1,1)。設(shè)二面角B?AA1?D的平面角為θ,則|cosθ|=,sinθ=。所以二面角B?AA1?D的正弦值為。17、（本小題滿分12分）解(1)設(shè)A'(x,y),由已知條件得所以A'。(2)在直線m上取一點M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M'必在直線m'上。設(shè)對稱點M'(a,b),則故M'。設(shè)直線m與直線l的交點為N,則由即N(4,3)。又因為m'經(jīng)過點N(4,3),所以由兩點式得直線m'的方程為9x-46y+102=0。(3)設(shè)P(x,y)為l'上任意一點,則P(x,y)關(guān)于點A(-1,-2)的對稱點為P'(-2-x,-4-y),因為P'在直線l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0。18、（本