2015年數(shù)學(xué)高考題分類(lèi)解析考點(diǎn)14 函數(shù)y=Asin（wx＋￠）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

高考試題分類(lèi)解析PAGE考點(diǎn)14函數(shù)y=Asin（）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、選擇題1.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理科·T8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.B.CD.【解題指南】根據(jù)圖象,利用五點(diǎn)法求出ω,φ的值,確定f(x)的解析式,求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】選D.由五點(diǎn)作圖知,QUOTE14ω+φ=π2,54ω+φ=令，解得，，故單調(diào)遞減區(qū)間為.2.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科·T8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.kπ-14B.2kπ-1C.k-14D.2k-1【解題指南】根據(jù)圖象,利用五點(diǎn)法求出ω,φ的值,確定f(x)的解析式,求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】選D.由五點(diǎn)作圖知,14ω+φ=π2,54ω+令2kπ<πx+π4<2kπ+π,k∈Z,解得2k-14<x<2k+34,k∈Z,故單調(diào)遞減區(qū)間為23.(2015·山東高考理科·T3)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【解題指南】對(duì)于一類(lèi)的圖象的左右平移問(wèn)題，一定要將函數(shù)變形為再加以判斷，即針對(duì)的變化了個(gè)單位（左加右減）.【解析】選B.要得到的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，4.(2015·山東高考文科·T4)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【解題指南】對(duì)于一類(lèi)的圖象的左右平移問(wèn)題，一定要將函數(shù)變形為再加以判斷，即針對(duì)的變化了個(gè)單位（左加右減）.【解析】選B.要得到的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，5.(2015·陜西高考理科·T3)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin(π6x+φA.5 B.6 C.8 D.10【解題指南】本題考查由y=Asin(ωx+φ)+k的部分圖像確定函數(shù)的最大值,可得ymax=3+k,ymin=k-3,整理可求最大值.【解析】選C.不妨設(shè)水深的最大值為M,由題意結(jié)合函數(shù)圖像可得3+k=M①k-3=2②解之得M=8.6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（）（A）（B）（C）（D）【解題指南】求出函數(shù)f(x)的解析式，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷。【解析】選A。因?yàn)楹瘮?shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最大值。下面只需要判斷2，-2,0與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱(chēng)軸的距離越大，函數(shù)值越小。當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=-1時(shí)，，所以，故選A。二、填空題7.(2015·陜西高考文科·T14)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin(π6x+φ)+k,據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為【解題指南】由圖像觀察可得:ymin=-3+k=2,從而可求k的值,進(jìn)而可求ymax.【解析】由圖像得,當(dāng)sin(π6x+φ)=-1時(shí)ymin=2,求得k=5,當(dāng)sin(π6x+φ)=1時(shí),ymax=3答案:8三、解答題8.(2015·湖北高考理科·T17)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<QUOTE)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)05-50(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式.(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,求θ的最小值.【解題指南】1、函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；2、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；（Ⅰ）根據(jù)已知表格中的數(shù)據(jù)可得方程組，解之可得函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可補(bǔ)全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并結(jié)合函數(shù)圖像平移的性質(zhì)可得，.因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)中心為，.令，解得，.令，解得，.由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00500且函數(shù)表達(dá)式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)中心為，.令，解得，.由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，令，解得，.由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.9.(2015·湖北高考文科·T18)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象，求的圖象離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心.【解題指南】1、函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；2、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；（Ⅰ）根據(jù)已知表格中的數(shù)據(jù)可得方程組，解之可得函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可補(bǔ)全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并結(jié)合函數(shù)圖像平移的性質(zhì)可得，函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其圖像的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)，取出其距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心即可.【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：，，，解得.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：且函數(shù)表達(dá)式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此.因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)中心為，.令，解得，.即圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，，其中離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心為.10.(2015·福建高考文科·T21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=103sinx2cosx2+10cos2(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6①求函數(shù)g(x)的解析式.②證明:存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0.【解題指南】(1)用輔助角公式化簡(jiǎn).(2)利用三角函數(shù)圖象變換和三角函數(shù)的周期性求解.【解析】(1)因?yàn)閒x=103sinx2cosx2+10cos=53sinx+5cosx+5=10sinx+所以函數(shù)fx的最小正周期T=2π.(2)①將f(x)的圖象向右平移π6又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13.所以gx=10sinx-8.②要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得gx0>0,就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得10sinx0-8>0,即sinx0>4由45<32知,存在0<α0<π3,使得sinα0由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈(α0,π-α0)時(shí),均有sinx>45因?yàn)閥=sinx的周期為