求數(shù)列通項(xiàng)方法歸納總結(jié)

求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法一、公式法：適用于求符合定義的等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是。練習(xí).已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為二、累加法：適用于------這是廣義的等差數(shù)列例2.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴時(shí),時(shí),適合上式∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為。練習(xí)2.在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：∵∴∴時(shí),又時(shí),適合上式∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是評(píng)注：已知，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③若是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④若是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。三、累乘法例3：在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵，∴時(shí)，時(shí)，適合上式?！鄶?shù)列的通項(xiàng)公式是。練習(xí)3.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，(n=1，2，3，…)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∵是正項(xiàng)數(shù)列∴即∴時(shí)，時(shí)，適合上式。∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是評(píng)注：一般地，對(duì)于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。四、倒數(shù)變換法：適用于分式關(guān)系的遞推式,分子只有一項(xiàng)。例4：已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴ ∴是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列. ∴ ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.是。練習(xí)4．設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列∴∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是五、 利用與的的關(guān)系若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例5：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，求的通項(xiàng)公式。解：時(shí),===3時(shí),不適合上式∴的通項(xiàng)公式是評(píng)注：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。練習(xí)5：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，,求解法1：∵∴即∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴解法2：∵∴時(shí)， 即 ∵∴ ∴時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列 六、輔助數(shù)列法(換元法)有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列(換元)為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例6：已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：∵∴,∴是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列∴∴解法二：∵∴∴兩式相減得 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列∴,∴時(shí),時(shí),適合上式∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是練習(xí)6：在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為公比為3的等比數(shù)列∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是練習(xí)7：.在數(shù)列中，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵∴∴數(shù)列是常數(shù)列∴∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是=練習(xí)8.已知數(shù)列{}中，，，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：∵∴兩邊都除以，得∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴∴∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式練習(xí)9.已知數(shù)列{}中,當(dāng)時(shí),,求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：∵當(dāng)時(shí),∴∴∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴∴時(shí), 又時(shí)，適合上式∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為練習(xí)10．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式； 解：∵ ∴∴∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴，∴∴的通項(xiàng)公式為評(píng)注：(1)一般地，對(duì)遞推關(guān)系式(p、q為常數(shù)且，p≠0，p≠1)可等價(jià)地改寫成則{}成等比數(shù)列，實(shí)際上這里的是特征方程x=px+q的根。(2)f(n)為等比數(shù)列，如f(n)=(q為常數(shù))，兩邊同除以qn，得，令，可轉(zhuǎn)化為的形式。七、待定系數(shù)法1.可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例7.已知數(shù)列，其中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：將原遞推變形為，設(shè)bn＝……①得……②設(shè)②式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，公比是－3的等比數(shù)列。所以，即，代入①式中得：為所求。2.己知型遞推式,可構(gòu)造形如的等比數(shù)列。例8.在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為，比較系數(shù)可得：，，設(shè),則上式即為∴是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列。所以。即，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為。練習(xí)11.在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)原遞推式可化為，則比較系數(shù)可得，解得∴∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為八、逐項(xiàng)相減法（階差法）：已知和的混合式用此法例9.在數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：∵…………(1)∴…………(2)(1)(2)得∴∴時(shí)，時(shí),適合上式∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是練習(xí)12..已知數(shù)列{an}中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：∵∴兩式相減，得∴當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，這時(shí)∵∴∴當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，這時(shí)∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是。練習(xí)13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù),有.解：(Ⅰ)依題意,,又,所以；(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,兩式相減得整理得,即,又故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以.(Ⅲ)當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,此時(shí)綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.練習(xí)14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有解：（1）由已知得∴由已知得∴∵成等差數(shù)列∴∴解得（2）∵…………①∴…………②②①得：∴∴∴（3）法一、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上式得：對(duì)一切正整數(shù)，有法二、∴∴法三、∵∴∴當(dāng)時(shí)，，，…… 累乘得∴評(píng)注：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把換成有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式,九、特征根法例10.已知數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由特征方程得∵∴∴∴ ∴是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列∴∴練習(xí)15．已知數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由特征方程，得∵∴令，則∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列∴即,從而∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為練習(xí)16已知數(shù)列中，,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由特征方程，得∵∴令,則∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比