2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第7講離散型隨機(jī)變量及其分布列創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第7講離散型隨機(jī)變量及其分布列[考綱解讀]1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性．2．能確定隨機(jī)變量，求出隨機(jī)變量發(fā)生的概率，正確列出分布列．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．理解超幾何分布，并能進(jìn)行簡潔的應(yīng)用．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)料2024年將會考查：①與排列組合及統(tǒng)計學(xué)問結(jié)合的分布列；②與獨(dú)立重復(fù)事務(wù)結(jié)合的分布列．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，以現(xiàn)實(shí)生活中的事例為背景進(jìn)行考查，試題難度不大，屬中檔題型.1.離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果改變而改變的變量稱為eq\o(□,\s\up1(01))隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．全部取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為eq\o(□,\s\up1(02))離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的eq\o(□,\s\up1(01))概率分布列，簡稱為X的eq\o(□,\s\up1(02))分布列，有時為了表達(dá)簡潔，也用等式eq\o(□,\s\up1(03))P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①eq\o(□,\s\up1(04))pi≥0(i＝1,2，…，n)；②eq\o(□,\s\up1(05))eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.3．常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，即其分布列為X01P1－pp，其中p＝eq\o(□,\s\up1(01))P(X＝1)稱為勝利概率．(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\o(□,\s\up1(03))eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\o(□,\s\up1(04))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))假如隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布．1．概念辨析(1)拋擲勻稱硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．()(2)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事務(wù)是彼此互斥的．()(3)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X聽從超幾何分布．()(4)若隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它聽從兩點(diǎn)分布．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．小題熱身(1)已知8件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量ξ，那么ξ的可能取值為()A．0,1 B．1,2C．0,1,2 D．0,1,2,3答案C解析由于只有2件次品，所以ξ的可能取值為0,1,2.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下．X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)答案C解析由分布列的性質(zhì)得，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，解得p＝eq\f(1,4).(3)設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案C解析P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝eq\f(1,3).故選C.(4)從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是________．答案eq\f(4,5)解析設(shè)所選女生人數(shù)為x，則x聽從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，則P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).題型一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)1．(2024·樂山三模)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布表如表，X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,4)meq\f(1,3)則P(|X－2|＝1)＝()A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,6)答案C解析由|X－2|＝1，可解得x＝3或x＝1，再由分布列的性質(zhì)可得m＝1－eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))).解由已知分布列如下．ξeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2345(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15)(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝1－P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≤\f(2,5)))＝1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝\f(4,5).))(3)因?yàn)閑q\f(1,10)<ξ<eq\f(7,10)只有ξ＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)滿意，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).結(jié)論探究在本例中的條件下，求5ξ－1的分布列．解由舉例說明解析得ξ的分布列如下．ξeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Peq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(1,3)所以5ξ－1的分布列如下．5ξ－101234Peq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(1,3)1．分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事務(wù)概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事務(wù)是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率．提示：求分布列中的參數(shù)值時，要保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)．2．隨機(jī)變量X的線性組合的概率及分布列問題(1)隨機(jī)變量X的線性組合η＝aX＋b(a，b∈R)是隨機(jī)變量．(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再依據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列.1．設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列如下．X－101Peq\f(1,3)2－3qq2則q的值為()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)答案C解析由分布列的性質(zhì)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－3q≥0，,q2≥0，,\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，))解得q＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6).2．(2024·曲靖二模)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(ξ2<x)＝eq\f(11,12)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．4<x≤9 B．4≤x<9C．x<4或x≥9 D．x≤4或x>9答案A解析由隨機(jī)變量ξ的分布列，得ξ2的可能取值為0,1,4,9，且P(ξ2＝0)＝eq\f(4,12)，P(ξ2＝1)＝eq\f(3,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(4,12)，P(ξ2＝4)＝eq\f(1,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(3,12)，P(ξ2＝9)＝eq\f(1,12)，由P(ξ2<x)＝eq\f(11,12)，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是4<x≤9.題型二求離散型隨機(jī)變量的分布列(2024·長春模擬)長春市的“名師云課”活動自開展以來獲得廣闊家長和學(xué)生的高度贊譽(yù)，在推出的其次季名師云課中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計推出36節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，現(xiàn)對某一時段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行了統(tǒng)計：點(diǎn)擊量[0,1000](1000,3000](3000，＋∞)節(jié)數(shù)61812(1)現(xiàn)從36節(jié)云課中采納分層抽樣的方式選出6節(jié)，求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù)；(2)為了更好地搭建云課平臺，現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間[0,1000]內(nèi)，則須要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000,3000]內(nèi)，則須要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯，點(diǎn)擊量超過3000，則不須要剪輯，現(xiàn)從(1)中選出的6節(jié)課中隨機(jī)取出2節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪輯時間X的分布列．解(1)依據(jù)分層抽樣可知，選出的6節(jié)課中點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù)為eq\f(12,36)×6＝2.(2)由分層抽樣可知，(1)中選出的6節(jié)課中點(diǎn)擊量在區(qū)間[0,1000]內(nèi)的有1節(jié)，點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000,3000]內(nèi)的有3節(jié)，故X的可能取值為0,20,40,60.P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(X＝40)＝eq\f(C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，則X的分布列如下．X0204060Peq\f(1,15)eq\f(2,5)eq\f(1,3)eq\f(1,5)離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明確取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清晰隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確．提示：求隨機(jī)變量某一范圍內(nèi)取值的概率，要留意它在這個范圍內(nèi)的概率等于這個范圍內(nèi)各概率值的和.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣3次．(1)寫出正面對上次數(shù)X的分布列；(2)求至少出現(xiàn)兩次正面對上的概率．解(1)X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3),23)＝eq\f(1,8)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),23)＝eq\f(1,8).所以X的分布列如下．X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)至少出現(xiàn)兩次正面對上的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).題型三超幾何分布2024年8月的臺風(fēng)“利奇馬”對我國多個省市的財產(chǎn)造成了重大損害，據(jù)統(tǒng)計干脆經(jīng)濟(jì)損失達(dá)537.2億元．某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的干脆經(jīng)濟(jì)損失，將收集的損失數(shù)據(jù)分成5組：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000](單位：元)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)試依據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶中損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為X，求X的分布列．解(1)記每個農(nóng)戶的平均損失為eq\o(x,\s\up6(－))元，則eq\o(x,\s\up6(－))＝(1000×0.00015＋3000×0.00020＋5000×0.00009＋7000×0.00003＋9000×0.00003)×2000＝3360.(2)由頻率分布直方圖，得損失超過4000元的農(nóng)戶共有(0.00009＋0.00003＋0.00003)×2000×50＝15(戶)，損失超過8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3(戶)，隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0,1,2；計算P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,15))＝eq\f(22,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,15))＝eq\f(12,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,15))＝eq\f(1,35)，所以X的分布列如下．X012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)1．超幾何分布的兩個特點(diǎn)(1)超幾何分布是不放回抽樣問題．(2)隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．2．超幾何分布的應(yīng)用條件(1)考察對象分兩類．(2)已知各類對象的個數(shù)．(3)從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)ξ的概率分布．3．求超幾何分布的分布列的步驟已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；②設(shè)A為事務(wù)“抽取的3人中，既有睡眠足夠的員工，也有睡眠不足的員工”，求事務(wù)A發(fā)生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)①隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以，隨機(jī)變量X的分布列如下．X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)②設(shè)事務(wù)B為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事務(wù)C為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A＝B∪C，且B與C互斥，由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝eq\f(6,7).所以，事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(6,7).組基礎(chǔ)關(guān)1．拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為ξ，那么“ξ＝4”A．一顆是3點(diǎn)，另一顆是1點(diǎn)B．兩顆都是2點(diǎn)C．兩顆都是4點(diǎn)D．一顆是3點(diǎn)，另一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)答案D解析A，B中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4；而D是ξ＝4代表的全部試驗(yàn)結(jié)果．故選D.2．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ01234Peq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)則|ξ－1|的分布列為()A.|ξ－1|123Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)B.|ξ－1|123Peq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(3,10)C.|ξ－1|0123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)D.|ξ－1|0123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)eq\f(3,10)答案D解析由已知得，|ξ－1|的全部可能取值為0,1,2,3.P(|ξ－1|＝0)＝P(ξ＝1)＝eq\f(1,10)，P(|ξ－1|＝1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，P(|ξ－1|＝2)＝P(ξ＝3)＝eq\f(3,10)，P(|ξ－1|＝3)＝P(ξ＝4)＝eq\f(3,10).所以|ξ－1|的分布列為D.3．某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如下，且m＋2n＝1.2，則m－eq\f(n,2)＝()ξ0123p0.1mn0.1A．－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1答案B解析由m＋n＋0.2＝1，m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，所以m－eq\f(n,2)＝0.2.故選B.4．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a·eq\f(1,3)i，i＝1,2,3，則a＝()A．1 B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D.eq\f(27,13)答案D解析P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，即a[eq\f(1,3)＋（eq\f(1,3)）2＋（eq\f(1,3)）3]＝1，解得a＝eq\f(27,13).故選D.5．一個盒子里裝有大小相同的10個黑球、12個紅球、4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)答案B解析由題意可知，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))表示取1個白球或者一個白球都沒有取得，即P(X≤1)．6．若隨機(jī)變量X的分布列如下，X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)答案C解析由隨機(jī)變量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，則當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．故選C.7．離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P（eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2)）的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)答案D解析由（eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)）×a＝1，得eq\f(4,5)a＝1，解得a＝eq\f(5,4).故P（eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2)）＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).8．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的(至少運(yùn)用過一次)，從盒子中任取3個球來用，用完即為舊的，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，則P(X＝4)的值為________．答案eq\f(27,220)解析由題意，得X＝4是指取出的3個球中有2個舊的1個新的，所以P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).9．從含有2個紅球和4個黑球的盒子中隨意摸出4個球，假設(shè)每個球被摸到的可能性相同，記摸出的4個球中黑球數(shù)與紅球數(shù)的差的肯定值為ξ，則ξ的分布列為________．答案ξ024Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)解析由題意，得ξ的可能取值為0,2,4，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(4,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列如下．ξ024Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)10．一個勻稱小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)有數(shù)字0，兩個面上標(biāo)有數(shù)字1，一個面上標(biāo)有數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積X的分布列為________．答案X0124Peq\f(3,4)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,36)解析隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,4，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,36)，所以分布列為X0124Peq\f(3,4)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,36)組實(shí)力關(guān)1．(2024·長沙質(zhì)檢)一個不透亮的袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)答案D解析當(dāng)X＝2時，即前2個取出的是白球，第3個是黑球，前2個取出白球，有Aeq\o\al(2,m)種取法，再隨意取出1個黑球即可，有Ceq\o\al(1,n－m)種取法，而這3次取球可以認(rèn)為按依次排列，此排列依次即可認(rèn)為是依次取球的依次，即Aeq\o\al(3,n)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,m)C\o\al(1,n－m),A\o\al(3,n))＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．(2024·西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下，ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)答案B解析由題意，知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點(diǎn)，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．已知某一離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，X0123P0.1m4n0.1則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．答案eq\f(45,4)解析由題意，得m＋4n＋0.2＝1，m＞0，n＞0.即m＋4n＝eq\f(4,5)，eq\f(5,4)(m＋4n)＝1.所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(5,4)(m＋4n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(5,4)(5＋2eq\r(4))＝eq\f(45,4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4n,m)＝eq\f(m,n)即m＝2n，n＝eq\f(2,15)，m＝eq\f(4,15)時，“＝”成立．4．若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參與者需從全部的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參與者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出全部個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參與活動，求甲得分X的分布列．解(1)個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，隨機(jī)變量X的取值為0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42).所以X的分布列如下．X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)組素養(yǎng)關(guān)1．(2024·長春二模)某探討機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個企業(yè)各100名員工，得到了A企業(yè)員工收入的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工收入的統(tǒng)計圖如下．A企業(yè)：工資人數(shù)[2000,3000)5[3000,4000)10[4000,5000)20[5000,6000)42[6000,7000)18[7000,8000)3[8000,9000)1[9000,10000]1B企業(yè)：(1)若將頻率視為概率，現(xiàn)從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工收入不低于5000元的概率；(2)①若從A企業(yè)收入在[2000,5000)的員工中，按分層抽樣的方式抽取7人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人收入在[3000,4000)內(nèi)的人數(shù)X的分布列；②若你是一名即將就業(yè)的高校生，依據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計學(xué)相關(guān)學(xué)問，你會選擇去哪個企業(yè)就業(yè)，并說明理由．解(1)由餅狀圖知，工資不低于5000元的有68人，故從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，該員工收入不低于5000元的概率為0.68.(2)①A企業(yè)員工收入在[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)三個不同層次的人數(shù)比為1∶2∶4，即依據(jù)分層抽樣的方式所抽取的7人收入在[3000,4000)的人數(shù)為2.X的可能取值為0,1,2，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，得X的分布列如下，X012Peq\f(10,21)eq\f(10,21)eq\f(1,21)②A企業(yè)的員工平均收入為eq\f(1,100)×(2500×5＋3500×10＋4500×20＋5500×42＋6500×18＋7500×3＋8500×1＋9500×1)＝5260，B企業(yè)的員工平均收入為eq\f(1,100)×(2500×2＋3500×7＋4500×23＋5500×50＋6500×16＋7500×2)＝5270.參考答案一：選B企業(yè)，由于B企業(yè)員工的平均收入高．參考答案二：選A企業(yè)，A企業(yè)員工的平均收入只比B企業(yè)低10元，但是A企業(yè)有高收入的團(tuán)體，說明發(fā)展空間較大，獲得8000元以上的高收入是有可能的．參考答案三：選B企業(yè)，由于B企業(yè)員工平均收入不僅高，且低收入人數(shù)少．(如有其他狀況，只要理由充分，也可給分)2．某班級50名學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)x分布在區(qū)間[50,100)內(nèi)，設(shè)考試分?jǐn)?shù)x的分布頻率是f(x)且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,10)－0.4，10