2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第七章解析幾何第7講拋物線(xiàn)含解析

PAGE5-第7講拋物線(xiàn)1．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為2eq\r(2)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)(xA>xB)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,4)C．3D．22．如圖X7-7-1，拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為eq\r(3)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是()圖X7-7-1A．4B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．83．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)過(guò)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線(xiàn)NF的距離為()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)4．(2024年新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線(xiàn)y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．25．已知不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y2＝2px于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若OA，AB的斜率分別為kOA＝2，kAB＝6，則OB的斜率為()A．3B．2C．－2D．－36．設(shè)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M(eq\r(5)，0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于C，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比eq\f(S△BCF,S△ACF)＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(6,7)7．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)已知F為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條相互垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16B．14C．12D．108．如圖X7-7-2，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線(xiàn)y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實(shí)線(xiàn)部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是()圖X7-7-2A．(2,6)B．(6,8)C．(8,12)D．(10,14)9．(多選)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則()A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3D．拋物線(xiàn)C的方程為y2＝6x10．(2024年新課標(biāo)Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線(xiàn)C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.11．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)A，B為曲線(xiàn)C：y＝eq\f(x2,4)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線(xiàn)AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，C在M處的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，且AM⊥BM，求直線(xiàn)AB的方程．12．(2024年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求直線(xiàn)l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程．

第7講拋物線(xiàn)1．D解析：設(shè)直線(xiàn)方程為y＝2eq\r(2)(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，得2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝eq\f(1,2)，x2＝2.∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝eq\f(1,2).∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA＋\f(p,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB＋\f(p,2))))＝eq\f(2＋1,\f(1,2)＋1)＝2.故選D.2．C解析：由題意可得F(1,0)，直線(xiàn)AF：y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝eq\f(1,3).由于點(diǎn)A在x軸上方，∴其坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))．∵|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率為eq\r(3)，即傾斜角為60°，∴∠KAF＝60°，∴△AKF為等邊三角形，∴△AKF的面積為eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).3．C解析：由拋物線(xiàn)的定義，知|MN|＝|MF|，明顯△MNF為正三角形，|MN|＝|MF|＝|NF|＝4，則M到直線(xiàn)NF的距離為2eq\r(3).故選C.4．D解析：∵F為拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)，∴F(1,0)．又∵曲線(xiàn)y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．∴k＝2.故選D.5．D解析：方法一，∵點(diǎn)A，B均在拋物線(xiàn)y2＝2px上，∴設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2p)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2p)，y2)).∵kOA＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1)＝2，∴p＝y(tǒng)1.由kAB＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1＋y2)＝6，知y1＋y2＝eq\f(p,3)，∴y2＝－eq\f(2p,3).∴kOB＝eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),2p))＝eq\f(2p,y2)＝－3.方法二，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2p)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2p)，y2))，kOA＝eq\f(2p,y1)，kOB＝eq\f(2p,y2)，kAB＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),2p))＝eq\f(2p,y1＋y2).由eq\f(y1＋y2,2p)＝eq\f(y1,2p)＋eq\f(y2,2p)，知eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,kOA)＋eq\f(1,kOB)，結(jié)合kOA＝2，kAB＝6.∴eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,kOB)，解得kOB＝－3.6．D解析：設(shè)直線(xiàn)x＝my＋eq\r(5)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\r(5),y2＝4x))，y2－4my－4eq\r(5)＝0，B(2，－2eq\r(2))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\r(10)))eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(BB1,AA1)＝eq\f(3,xA＋1)＝eq\f(3,\f(5,2)＋1)＝eq\f(6,7).7．A解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，E(x4，y4)，直線(xiàn)l1的方程為y＝k(x－1)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，有x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).同理設(shè)直線(xiàn)l2的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)，有x3＋x4＝2＋4k2.由拋物線(xiàn)的定義，可得|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝2＋eq\f(4,k2)＋2＋4k2＋4＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋4×2eq\r(\f(1,k2)·k2)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1，k＝±1時(shí)等號(hào)成立．故選A.8．C解析：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：x＝－2，焦點(diǎn)F(2,0)，由拋物線(xiàn)定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2,0)，半徑為4，∴△FAB的周長(zhǎng)為|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由拋物線(xiàn)y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)，故選C.9．BCD10．2解析：設(shè)直線(xiàn)方程x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.又∠AMB＝90°，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(my1＋2，y1－1)·(my2＋2，y2－1)＝0.整理，得(m2＋1)y1y2＋(2m－1)(y1＋y2)＋5＝0.代入，得4m2－4m＋1＝0.∴m＝eq\f(1,2)，k＝2.11．解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直線(xiàn)AB的斜率kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2)，設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，x3＝2，則M(2,1)．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋m，代入y＝eq\f(x2,4)，得x2－4x－4m＝0，又Δ＝16＋16m>0，∴m>－1.故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|，|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(2m＋1)，由AM⊥BM，有|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)．解得m＝7.∴直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋7.12．解：(1)由題意，得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此直線(xiàn)l的方程為y＝x－1.(2)由(1)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，∴AB的垂直平分線(xiàn)方