2025屆高考數(shù)學一輪知能訓練第二章函數(shù)導數(shù)及其應用第14講函數(shù)模型及其應用含解析

PAGE5-第14講函數(shù)模型及其應用1．(2024年北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，圖X2-14-1描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率狀況．下列敘述中正確的是()圖X2-14-1A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗10L汽油D．某城市機動車最高限速80km/h.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油2．(2024年浙江嘉興模擬)為了預防信息泄露，保證信息的平安傳輸，在傳輸過程中須要對文件加密，有一種隱私密鑰密碼系統(tǒng)(Private－KeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．現(xiàn)在加密密鑰為y＝kx3，若明文“4”通過加密后得到密文“2”，則接收方接到密文“eq\f(1,256)”，解密后得到的明文是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．2D.eq\f(1,8)3．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元4．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分)滿意的函數(shù)關系為p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，圖X2-14-2記錄了三次試驗的數(shù)據(jù)．依據(jù)所述函數(shù)模型和試驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()圖X2-14-2A．3.50分B．3.75分C．4.00分D．4.25分5．某商場在節(jié)日期間實行促銷活動，規(guī)定：(1)若所購商品標價不超過200元，則不賜予實惠；(2)若所購商品標價超過200元但不超過500元，則超過200元的部分賜予9折實惠；(3)若所購商品標價超過500元，其500元內(含500元)的部分按第(2)條賜予實惠，超過500元的部分賜予8折實惠．某人來該商場購買一件家用電器共節(jié)約330元，則該件家電在商場標價為()A．1600元B．1800元C．2000元D．2200元6．某廠有很多形態(tài)為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖X2-14-3，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為()圖X2-14-3A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝147．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當速度為10海里/時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為________海里/時，總費用最小．8．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(單位：萬件)與月份x之間滿意關系y＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知該產(chǎn)品1月、2月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.5萬件，則該產(chǎn)品3月份的產(chǎn)量為________萬件．9．(2024年四川)某公司為激勵創(chuàng)新，安排逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年B．2024年C．2024年D．2024年10．(2024年廣東湛江模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有起先時的八分之一．11．(2024年江蘇江陰模擬)對于一個聲強為I(單位：W/m2)的聲波，其聲強級L(單位：dB)可由如下公式計算：L＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是能引起聽覺的最弱聲強)．設聲強為I1時的聲強級為70dB，聲強為I2時的聲強級為60dB，則I1是I2的________倍．12．我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采納價格調控等手段來達到節(jié)約用水的目的．某市用水收費的方法是：水費＝基本費＋超額費＋損耗費．若每戶用量不超過最低限量a(m3)時，只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費c元；若用水量超過a(m3)時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每1m3付b元的超額費．已知每戶每月的定額損耗費不超過5元．該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：月份用水量/m3水費/元1992151932233(1)請依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求a，b，c的值；(2)寫出某戶在一個月中的水費y元與在這個月中的用水量x(m3)的函數(shù)關系式．

第14講函數(shù)模型及其應用1．D2．A解析：由已知，可得當x＝4時，y＝2，∴2＝k·43，解得k＝eq\f(2,43)＝eq\f(1,32)，故y＝eq\f(1,32)x3.令y＝eq\f(1,32)x3＝eq\f(1,256)，即x3＝eq\f(1,8)，解得x＝eq\f(1,2).故選A.3．C4．B解析：由題中圖形知，三點(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函數(shù)p＝at2＋bt＋c的圖象上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0.7，,16a＋4b＋c＝0.8，,25a＋5b＋c＝0.5.))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).∵t>0，∴當t＝eq\f(15,4)＝3.75時，p取最大值．故t＝3.75分為最佳加工時間．故選B.5．C解析：不超過200元，則不賜予實惠；200元至500元部分節(jié)約30元；超過500元的部分賜予8折實惠，節(jié)約了300元，則超過500元的部分為1500元，故該件家電在商場標價為2000元．6．A解析：由三角形相像，得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，則x＝eq\f(5,4)·(24－y)．∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180.∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.7．40解析：設每小時的總費用為y元，則y＝kv2＋96.又當v＝10時，k×102＝6.解得k＝0.06.∴每小時的總費用y＝0.06v2＋96.勻速行駛10海里所用的時間為eq\f(10,v)小時，故總費用為W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48.當且僅當0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40時等號成立．故總費用最小時輪船的速度為40海里/時．8．1.75解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5a＋b＝1，,0.52a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))故當x＝3時，y＝－2×0.53＋2＝1.75.9．B解析：設從2024年后第n年該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元，由已知，得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>eq\f(200,130).兩邊取常用對數(shù)，得nlg1.12>lgeq\f(200,130).∴n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.3－0.11,0.05)＝3.8.∴n≥4.故選B.10．16解析：當t＝0時，y＝a；當t＝8時，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，故e－8b＝eq\f(1,2).當容器中的沙子只有起先時的八分之一時，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，∴再經(jīng)過16min容器中的沙子只有起先時的八分之一．11．10解析：依題意，可知70＝10lgeq\f(I1,I0)，60＝10lgeq\f(I2,I0)，∴70－60＝10lgeq\f(I1,I0)－10lgeq\f(I2,I0)，則1＝lgeq\f(I1,I2)，∴eq\f(I1,I2)＝10.12．解：(1)若a<9，依據(jù)題中所給表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＋9－ab＝9，,8＋c＋15－ab＝19，,8＋c＋22－ab＝33.))前兩個式子相減得b＝eq\f(5,3)，后兩個式子相減得b＝2，相互沖突，故a<9不行能．若9≤a<15，依據(jù)題中所給表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＝9，,8＋c＋15－ab＝19，,8＋c＋22－ab＝33，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝2，,c＝1.))若15≤a<22，依據(jù)題中所給表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＝