復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式

、復數(shù)的三角形式一、復數(shù)的幅角與模我們知道復數(shù)對應著復平面上的點(,)，也對應復平面上一個向量（如右圖所示）這個向量的長度叫做復數(shù)的模，記為，一般情況下，復數(shù)的模用字母表示。xy同時，這個向量針對軸的正方向有一個方向角，我們稱為幅角，記為()，幅角一般情形下用希臘字母θ表示。顯然把它們代入復數(shù)的代數(shù)形式得：、復數(shù)的三角形式這樣，我們把叫做復數(shù)a+bi的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則引入復數(shù)三角形式的一個重要原因在于用三角形式進行乘除法、乘方、開方相對于代數(shù)形式較為簡單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開方的運算法則。、復數(shù)的乘法設那么、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則、復數(shù)的乘法這說明，兩個復數(shù)相乘等于它們的模相乘而幅角相加即這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：將向量的模擴大為原來的倍，然后再將它繞原點逆時針旋轉角θ，就得到。、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則、復數(shù)的除法、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則、復數(shù)的除法即這說明，兩個復數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：將向量的?？s小為原來的分之一，然后再將它繞原點順時針旋轉角θ，就得到÷。、復數(shù)的乘方。利用復數(shù)的乘法不難得到這說明，復數(shù)的次方等于它模的次方，幅角的倍。、復數(shù)的開方對于復數(shù)，根據(jù)代數(shù)基本定理及其推論知，任何一個復數(shù)在復數(shù)范圍內都有n個不同的n次方根。將向量的模變?yōu)樵瓉淼拇畏?，然后再將它繞原點逆時針旋轉角θ，就得到。、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則、復數(shù)的乘方。這個運算在幾何上可以用下面的方法進行：設的一個n次方根為、復數(shù)的開方、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則那么所以即顯然，當從依次取到－,所得到的角的終邊互不相同，但從開始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復數(shù)的個次方根為、復數(shù)的開方、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則從求根公式可以看出，相鄰兩個根之間幅角相差所以復數(shù)的個次方根均勻地分布在以原點為圓心，以它的模的次算術根為半徑的圓周上。因此，求一個復數(shù)的全部次方根，可以用下面的幾何手段進行：先作出圓心在原點，半徑為的圓，然后作出角的終邊以這條終邊與圓的交點為分點，將圓周等分，那么，每個等分點對應的復數(shù)就是復數(shù)的次方根。、復數(shù)的指數(shù)形式在對復數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的三角形式將復數(shù)的乘法“部分地”轉變成加法（模相乘，幅角相加）這種改變運算等級的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過體現(xiàn)：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)前者將兩個同底冪的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將兩個真數(shù)積的對數(shù)變成兩個同底對數(shù)的和。從形式上看，復數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關系更為密切些：、復數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)這個特點，復數(shù)應該可以表示成某種指數(shù)形式即復數(shù)應該可以表示成的形式這里有三個問題需要解決：（）反映復數(shù)本質特征的三個因素：模、幅角θ、虛數(shù)單位應各自擺放在什么位置？（）在這些位置上它們應呈現(xiàn)什么形態(tài)？（）作為指數(shù)形式的底應該用什么常數(shù)？先來研究第一個問題.、復數(shù)的指數(shù)形式再重新觀察下面的等式首先，顯然模r應該占據(jù)中系數(shù)y的位置,其次，幅角θ應該占據(jù)中指數(shù)x的位置,對于虛數(shù)單位，如果放到系數(shù)的位置會怎樣？由于等式右邊是實數(shù)，對于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角θ也應該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個問題就產生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上是什么關系？（相加？相乘？）、復數(shù)的指數(shù)形式幅角θ與虛數(shù)單位是相加的關系會怎樣？先考察模為1的復數(shù)如果寫成的形式一方面，由于與的形式差別不是很大，其次在復數(shù)的乘方法則中，應該僅是幅角的倍而沒有虛數(shù)單位也要倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應該是相加關系，而應該是相乘關系現(xiàn)在來審查乘法、除法和乘方法則是否吻合、復數(shù)的指數(shù)形式乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的次方、幅角的倍”的本質特征下面來解決最后一個問題：應該選用哪個常數(shù)作為底數(shù)？我們暫時將形式化地看做r與θ的“二元函數(shù)”數(shù)學是“形式化的科學”，因此，一些形式化的性質應該“形式化”地保持不變。下面我們將等式兩邊對θ形式化地求“偏微分”、復數(shù)的指數(shù)形式于是由這樣我們利用不太嚴格的推理得到了復數(shù)的第三種表現(xiàn)形式——指數(shù)式從復數(shù)的模與幅角的角度看，復數(shù)的指數(shù)形式其實是三角形式的簡略化對于指數(shù)形式的嚴格證明可以參讀《復數(shù)的指數(shù)形式的證明》的證明：泰勒級數(shù)法寫成泰勒級數(shù)形式：將代入可得：（歐拉公式）?將函數(shù)、復數(shù)的指數(shù)形式由復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們很容易得到下面的兩個公式：這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式在復數(shù)的指數(shù)形式中，令,θπ，就得到下面的等式或數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但卻不能理解它。它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的五個數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底，圓周率π；三個單位——虛數(shù)單位、自然數(shù)的乘法單位和加法單位?；?、復數(shù)的指數(shù)形式關于自然對數(shù)的底和圓周率π，這里我想多說那么幾句：它們是迄今為止人類所發(fā)現(xiàn)的兩個彼此獨立的超越數(shù)，盡管從理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代數(shù)數(shù)（可以表示為有理系數(shù)一元多項式的根的數(shù)）要多得多，但為人類所認識的超越數(shù)卻僅此兩個！令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個簡單關系彼此聯(lián)系著。在復數(shù)的指數(shù)形式中，令,θπ，就得到下面的等式、復數(shù)的應用利用復數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學其他領域里的問題。由于我們這門課的特點，我們僅限于在初等數(shù)學領域里舉兩個例子。例：三角級數(shù)求和解：令那么對任何自然數(shù)，有于是、復數(shù)的應用例：三角級數(shù)求和解：另一方面、復數(shù)的應用例：三角級數(shù)求和解：、復數(shù)的應用例：三角級數(shù)求和即所以、復數(shù)的應用例：設是單位圓周上的動點，點與定點(,)和點構成一個等邊三角形的頂點，并且→→→成逆時針方向，當點移動時，求點的軌跡。分析：此題若用一般解析幾何的方法尋找點與之間的顯性關系是比較困難的。下面用復數(shù)的乘法的幾何意義來尋找這種關系。設、、對應的復數(shù)依次為：那么向量可以用向量繞點逆時針旋轉度得到用復數(shù)運算來實現(xiàn)這個變換就是、復數(shù)的應用例：設是單位圓周上的動點，點與定點(,)和點構成一個等邊三角形的頂點，并且→→→成逆時針方向，當點移動時，求點的軌跡。即所以但故、復數(shù)的應用例：設是單位圓周上的動點，點與定點(,)和點構成一個等邊三角形的頂點，并且→→→成逆時針方向，當點移動時，求點的軌跡。整理得：或思考與練習2：設M是