1.1探索勾股定理

1.1探索勾股定理導圖先學邊學邊練1．勾股定理勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：．【注意】（1）應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．題型一：認識勾股定理【例1】（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中）在中，已知兩直角邊分別是5和12，則第三邊長度為A．13 B．7 C．17 D．169【變式1】（2023春?云浮校級期中）在中，，，的對邊分別是，，，若，則A． B． C． D．題型二：利用勾股定理求長度【例1】（2023春?河東區(qū)期中）如圖，中，，于點，，，則的長為A．5 B． C． D．2【變式1】（2023?宜陽縣二模）如圖，在中，，，點為垂足，若，，則A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2【變式2】（2022秋?曲沃縣期末）如圖，中，，，，的垂直平分線分別交，于點，，則線段的長為A． B．2 C． D．【變式3】（2023春?長沙期中）如圖，在中，，，，為邊上的高．（1）求斜邊的長；（2）求的長．題型三：利用勾股定理求面積【例1】（2023?肇東市一模）如圖，在中，，，，則該三角形的面積為A．12 B．6 C．10 D．8【變式1】（2023春?和平區(qū)校級期中）如圖，在中，，，，四邊形是正方形，則正方形的面積是A．8 B．16 C．18 D．20【變式2】（2023春?新城區(qū)期中）如圖，在中，，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)求陰影部分（長方形）的面積．2．勾股定理的證明在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理．對于勾股定理的證明，現(xiàn)在世界上已找出很多種運用圖形的割、移、補、拼構(gòu)造特殊圖形，并根據(jù)面積之間的關系進行推導的方法，著名的證法有趙爽“勾股圓方圖”（“趙爽弦圖”）、劉徽（“青朱出入圖”）、加菲爾德總統(tǒng)拼圖、畢達哥拉斯拼圖等．題型一：勾股定理的證明【例1】（2022秋?順德區(qū)期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有個A．4 B．3 C．2 D．1【變式1】（2023春?長沙期中）勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，下列四個圖形，哪一個是趙爽弦圖A． B． C． D．【變式2】（2023春?雄縣月考）課堂上，王老師給出如圖所示甲、乙兩個圖形，能利用面積驗證勾股定理的是A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行【變式3】圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若，，將四個直角三角形中的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是A．52 B．49 C．76 D．無法確定題型二：有關勾股樹的問題【例1】（2023春?東西湖區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形的面積是A．26 B．22 C．16 D．94【變式1】（2023春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，在中，，分別以、、為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作、、，其中，，A． B． C． D．【變式2】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為A． B． C． D．【變式3】（2023春?香坊區(qū)校級期中）如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的邊長分別是3、2、3、4，則最大的正方形的面積是．隨堂練習在中，斜邊，則等于A．5 B．25 C．50 D．100勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是A． B． C． D．如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為，長直角邊長為，大正方形的面積為25，小正方形的面積為5，則的值是A．4 B．6 C．8 D．10（2023春?南寧期中）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為25，則小正方形的面積為A．9 B．6 C．4 D．3（2023春?靖西市期中）如圖，所有陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面積依次為4，3，9，則正方形的面積為A．2 B．5 C．1 D．6（2023春?東莞市校級期中）如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面積分別為12、16，則正方形的面積是A．10 B．8 C．4 D．2（2023春?滑縣期中）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則所代表的正方形的面積為A．28 B．36 C．64 D．81在中，，平分交于點．若，，，則點到的距離是．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為，，直角三角形的面積為，小正方形的面積為，則用含，的代數(shù)式表示正確的是A． B． C． D．（2023春?思明區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面積分別是4，5，2，4，則最大正方形的面積是．如圖，在中，，，邊上的高，求的長．（2023春?渦陽縣期中）（1）為了證明勾股定理，李明將兩個全等的直角三角形按如圖1所示擺放，使點、、在同一條直線上，如圖1，請利用此圖證明勾股定理；（2）如圖2，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒，若點在的平分線上，求此時的值．（2022秋?遂平縣期末）我國著名的數(shù)學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三