《泰勒公式的應(yīng)用》2800字

泰勒公式的應(yīng)用綜述首先,給出常見的泰勒公式.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù),x0∈(a,bf其中Rn(x)為余項(xiàng),常見的余項(xiàng)有:佩亞諾型余項(xiàng):Rnx拉格朗日型余項(xiàng):Rn柯西型余項(xiàng):Rnx=fn+1?n!根據(jù)實(shí)際的學(xué)習(xí)情況,我們知道遇到的大多數(shù)有關(guān)泰勒公式的問題是,泰勒公式在x0=0時(shí)的特殊形式(見文獻(xiàn)[15])fxfx式及(2)式就是分別帶佩亞諾型及拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.類似的常見函數(shù)的余項(xiàng)不同的麥克勞林公式有:exsinxcosxln1+1+x11?exsinxcosxln1+(1+11?泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用泰勒公式在求極限上的應(yīng)用求極限limx→0討論:觀察發(fā)現(xiàn)針對(duì)于此題,我們當(dāng)然可以采用之前學(xué)習(xí)過的方法進(jìn)行解答，但是我們發(fā)現(xiàn)由于題中出現(xiàn)指數(shù)冪的形式,求解過程較繁瑣,在上面泰勒公式的證明中,我們知道帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可以在極限求解中使用,因此我們不妨一試(見文獻(xiàn)[14]).根據(jù)前面我們可以寫出余弦函數(shù)和底數(shù)為e的冪指數(shù)麥克勞林公式,并做差有:cosxe?cosx故而求得:lim泰勒公式在近似計(jì)算上的應(yīng)用例1:計(jì)算e的值,使其誤差不超過10?解一開始我們不妨寫出函數(shù)fx=ex的麥克勞林公式形式,這個(gè)可以由泰勒公式寫出,即:ex=1+x+x22!+???+xnn其中0<θ<1,x∈(?∞,+∞).故Rn1=eθn+1!<3(n+1)!,e=1+1+例2:證明e為無(wú)理數(shù).證明常見函數(shù)fx=ex它的麥克勞林公式,就是:e其中0<θ<1,x∈(?∞,+∞).當(dāng)e=1+1+即由上式得:n!ee=pq(p,q為正整數(shù)),n左邊是正整數(shù).且我們可知:一方面eθ(n+1)<e(n+1)<1(n+1),另一方面n泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用(見文獻(xiàn)[4])泰勒公式在數(shù)值微分上的應(yīng)用設(shè)步長(zhǎng)?>0,把函數(shù)f(x+?),以及函數(shù)ffx+?=fx??=其中x??<?2<x<?f'所以,一階導(dǎo)數(shù)的向前差分公式近似為:f'x≈fx+??fx?,同時(shí)??2f''其中?2<?3<?1.則:f'x≈fx+??fx??f''x其中?2<?3<?1.則:f''除了上述之外,我們進(jìn)行近似求導(dǎo)時(shí),不妨使用積分來(lái)實(shí)現(xiàn),即有:D?對(duì)函數(shù)f(x+t),t∈[??,fx+t并由上式可知:x??<?5<xD?即:f'且其誤差為??泰勒公式在常微分方程數(shù)值解上的應(yīng)用(見文獻(xiàn)(4))考慮一階常微分方程初值問題:p的數(shù)值解.解首先我們要知道,數(shù)值解就是將一般函數(shù)p(x),pn≈p(xn)求解出來(lái).其次考慮在[s,t]上,建立等距的且離散的節(jié)點(diǎn):s將p(x)在xn點(diǎn)泰勒展開,可得(8)p即得求解上述問題的歐拉法:pn假設(shè)pn是正確的,即pn=p(xn),則(8)式減(pxn對(duì)泰勒公式截?cái)嗾`差,我們還可以在局部進(jìn)行分析.下面,以辛普森(Simpson)方法:pn為例,且當(dāng)它的近似值是準(zhǔn)確值時(shí)展開分析,即:pn分別將p(x)和p'(x)在pxp'又k取值為5時(shí),在(13)式中取x=xn+2,在(14)式中分別取x=xn+1和x=xnpx參考文獻(xiàn)徐會(huì)林,劉智廣,肖中永.從多項(xiàng)式逼近函數(shù)引出泰勒公式[J].高師理科學(xué)刊,2018,38(02):57-60.張笛.羅爾中值定理及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2014(01):122-123.李晟威.泰勒公式的證明及應(yīng)用[J].課程教育研究,2018(42):129-130.徐會(huì)林.泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào),2019,40(12):5-8.闕鳳珍,溫少挺.柯西中值定理的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016(21):19+21.王建云,全宏波,趙育林.淺談拉格朗日中值定理的幾種證明方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2021(07):150-151.陳天戈.泰勒的著作與成就[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(高中版下旬),2021(04):63-64.胡有婧.向量函數(shù)的泰勒公式的不同形式及其證明[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2021(29):140-141.韓樹新,何軍,王鑰,王煒卿.淺談拉格朗日對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)[J].教育教學(xué)論壇,2020(32):322-323.何銳,春光.數(shù)學(xué)“詩(shī)人”——柯西[J].課堂內(nèi)外(小學(xué)智慧數(shù)學(xué)),2021(12):24-27.IanTweddle.Thepricklygenius–ColinMacLaurin(1698–1746)[J].TheMathematicalGazette,1998,82(495).遲炳榮,王秀紅.用數(shù)學(xué)歸納法證明泰勒公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2008(09):13-14.姚海燕.帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的新證明[J].教育教學(xué)論壇,2014(20):120.胡