2023-2024學年山東省濟南市歷城區(qū)九年級上學期數(shù)學期末試題及答案

2023-2024學年山東省濟南市歷城區(qū)九年級上學期數(shù)學期末試題及答案一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.sin30°的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】sin30°=故答案為：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的問題，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．2.如圖是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體，其左視圖是（） B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面可看到一個長方形和上面一個長方形，且兩個長方形等長．∴左視圖是：故選：A．【點睛】本題考查了三視圖的知識，掌握左視圖是從物體的左面看得到的視圖是解本題的關鍵．3.二次函數(shù)的最小值是（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，是基礎題，熟記二次函數(shù)的最值問題是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答．【詳解】解：，二次函數(shù)有最小值3，故選：B．4.在正方形網(wǎng)格中，以格點O為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點A，B，并在直線右側(cè)圓弧上取一點C，連接，，則的度數(shù)為（）A. B.C. D.不確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，故選C．5.已知關于的一元二次方程的一個根是1，則方程的另一個根是（）A.－3 B.2 C.3 D.－4【答案】C【解析】【分析】設方程的一個根＝1，另一個根為，再根據(jù)根與系數(shù)的關系進行解答即可．【詳解】解：設方程的一個根＝1，另一個根為，根據(jù)題意得：＝3，將＝1代入，得＝3．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握根與系數(shù)的關系的相關知識是解題的關鍵．6.學校運動會中，運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇一個項目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查簡單隨機事件發(fā)生的概率，先列出所有的可能性，在找出滿足題意的可能性，根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇一個項目參加比賽，共有種等可能情況，其中兩人恰好都選擇鉛球項目是其中一種情況，則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是．故選：C7.已知二次函數(shù)的圖像如圖，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，解題的關鍵是直接利用二次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限得出，，的取值范圍，進而利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出答案即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，

∴，

∵該拋物線對稱軸位于軸的右側(cè)，

∴，∴，

∵拋物線交軸的負半軸，

∴，

∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖像在二、四象限．

故選：B．8.如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，，連接交于點F，則的面積與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用等高的三角形面積之比等于對應底邊之比求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴．9.如圖，菱形中，，，E，F(xiàn)，P分別是，，上的動點，的最小值等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．作點P關于的對稱點G，連接，作，作，可推出，而，再進一步得出結(jié)果．【詳解】解：作點F關于的對稱點G，連接，作于，作交于，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴點G在上，，，∵，∴最小值為：，故選B．10.在平面直角坐標系中，已知拋物線，直線與軸交于點，與軸交于點，過點作垂直于軸的直線與拋物線有兩個交點，在拋物線對稱軸右側(cè)的交點記為，當為銳角三角形時，則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，依據(jù)題意，當為銳角三角形時，則，進而計算可以得解．能根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)進行判斷是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵直線與軸交于點，與軸交于點，當時，得；當時，得：，∴，，∴，∵過點作垂直于軸的直線與拋物線有兩個交點，在拋物線對稱軸右側(cè)的交點記為，當時，，解得：或，∴點，∵為銳角三角形，∴，∴．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11.已知，則的值為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問題的關鍵，根據(jù)合比性質(zhì)進行計算．【詳解】解：，故答案為：．12.在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是_____個．【答案】15【解析】【分析】本題考查利用頻率估計概率，明確題意，利用概率公式計算出紅球的個數(shù)是解答本題的關鍵．根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，求出紅球的個數(shù)，再計算出黃球的個數(shù)即可．【詳解】解：∵摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸出紅球的概率為，∴袋子中紅球的個數(shù)為（個），∴袋子中黃球的個數(shù)為（個），故答案是：15．13.有個大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，則的值等于__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查解直角三角形，設小正方形的邊長為，依題意可得，，，繼而得到，進而得，根據(jù)正切的定義可求出答案．解題的關鍵是準確識圖，熟練掌握正方形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)和正切的定義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵有個大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，設小正方形的邊長為，∴，，，∴，∴，∴．故答案為：．14.如圖，在的內(nèi)接正方形中，，以點為圓心，長為半徑畫弧，得到，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查扇形面積的計算，正方形的性質(zhì)以及正多邊形與圓，根據(jù)對稱性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，再由扇形面積、弓形面積的計算方法進行計算即可．掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理以及扇形面積的計算公式是正確解答的前提．【詳解】解：如圖，連接，∵正方形是的內(nèi)接正方形，，∴，，∴是的直徑，，∴的半徑為，又∵圓和正方形都是軸對稱圖形，∴，∴圖中陰影部分的面積為．故答案為：．15.如圖，點是反比例函數(shù)圖像上的一點，過作軸于點，點為軸正半軸上一點且，連接交軸于點，連接．若的面積為，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，三角形的面積，設，則，，由，的面積為得出，的面積為，即可得出，求解即可．得到關于的方程是解題的關鍵．【詳解】解：設，∴，，∵，的面積為，∴，的面積為，∴的面積為：，∴的面積為：，∴，解得：．故答案為：．16.如圖，在正方形中，，點M為線段上一點，將沿所在直線翻折得到（點E在正方形內(nèi)部），連接，，，若，則的長為________________．【答案】【解析】【分析】過點A作交于H，過點E作交于F，利用互余逐步得出，，可證得，，結(jié)合全等三角形和相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理，可求得，的長，然后再次利用勾股定理即可求得的長．【詳解】解：如下圖，過點A作交于H，過點E作交于F，由翻折性質(zhì)得：；四邊形是正方形，，，是等腰三角形，(三線合一)；，；又，，；，，即得：；，(AAS)，(勾股定理)；又，；，，；．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理等知識，借助輔助線構(gòu)造三角形全等及相似轉(zhuǎn)化線段之間的關系是解決問題的關鍵．三、解答題（共10小題，滿分86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪及絕對值的代數(shù)意義將原式化簡，再進行二次根式的加減運算即可．【詳解】解：．18.解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．【解析】【分析】利用十字相乘法將方程左邊的多項式分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【詳解】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，可得x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3．【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．19.如圖，在中，，過點D作交的延長線于點E，連接交于點F．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）的長是【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，再證，即可證明四邊形是平行四邊形，又，可證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)四邊形是矩形得出，，，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．【小問1詳解】證明：，，，，四邊形是平行四邊形，點E在延長線上，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；【小問2詳解】解：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，，是等邊三角形，，，，，，的長是．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．20.為提高學生的法律意識，某中學開展了一系列的法律進校園活動，組織九年級全體學生進行了《法律知識知多少》知識競答，學校隨機抽取m名學生的競答成績，對成績（百分制）進行整理、描述和分析，成績劃分為，，，，四個等級，并制作出不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示．已知：等級數(shù)據(jù)（單位：分）：80、80、81、82、85、86、86、87、88、89；根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：，；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）抽取的名學生中，成績的中位數(shù)是分，在扇形統(tǒng)計圖中，等級扇形圓心角的度數(shù)是；（4）這所學校共有2100名學生，若全部參加這次競答，請你估計成績能達到等級及以上的學生人數(shù)．【答案】（1）50，20（2）見解析（3）85.5，（4）成績能達到等級及以上的學生人數(shù)約為1260名【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)、求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計圖圓心角度數(shù)、由樣本估計總體，從不同的統(tǒng)計圖得出必要的信息是解此題的關鍵．（1）由等級有人，占，可求，從而求出的值；（2）求出等級的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個數(shù)是、，即可求出中位數(shù)，用乘以等級人數(shù)的占比即可得出圓心角度數(shù)；（4）用總?cè)藬?shù)乘以成績能達到等級及以上的學生人數(shù)的占比即可得出答案．【小問1詳解】解：由圖可得：等級有人，占，，，，故答案為：，；【小問2詳解】解：等級的人數(shù)為：（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖：；【小問3詳解】解：把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個數(shù)是、，中位數(shù)是，，故答案：，；【小問4詳解】解：（人），績能達到等級及以上的學生人數(shù)為人．21.如圖，學校課外興趣活動小組準備利用長為的墻和一段長為的籬笆圍建一個矩形苗圃園．如果矩形苗圃園的一邊由墻和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另三邊由籬笆圍成，設平行于墻一邊長為．（1）當苗圃園的面積為時，求的值．（2）當為何值時，所圍苗圃園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）（2）當?shù)闹禐闀r，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是【解析】【分析】本題考查列代數(shù)式，一元二次方程的應用，二次函數(shù)的最值問題，（1）用含的式子表示，根據(jù)“苗圃園的面積為”列出關于的方程，求解即可；（2）設苗圃園的面積為，根據(jù)面積公式可得到二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；本題的關鍵是利用含x的式子表示線段長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．【小問1詳解】解：∵籬笆的總長為，平行于墻一邊長為，∴垂直于墻一邊長為，根據(jù)題意得：，解得：（不符合題意，舍去），，∴的值為；【小問2詳解】設苗圃園的面積為，依題意，得：，∴，∴當時，，答：當?shù)闹禐闀r，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是．22.如圖，在中，為直徑，與相切于點C，切點為，連接、，若．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】此題重點考查切線的性質(zhì)定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用等量代換可得，即可解答；（2）連接，則，所以，而，即可證明，得，求得，由勾股定理得，則，所以的半徑是．【小問1詳解】證明：連接，與相切于點，，，，，，，，；【小問2詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的半徑是．23.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角．如圖所示，靠墻放置一張圓桌，高度，直徑，當太陽光線與地面的夾角時，請問桌子是否被曬到？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】桌子曬不到，理由見解析【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用．解題的關鍵是把所給的所有線段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形中，利用的三角函數(shù)值得到、的長，進而求得的長，再根據(jù)的三角函數(shù)值求得的長，然后求得的長，再和桌子的半徑比較后可判斷陽光能否照到桌子上．【詳解】解：如圖，作于，于，延長交于，則，由題意知：，，∴四邊形，四邊形是矩形，由題意得：，在中，∵，，∴，，∴，∴，延長交于，交于，由題意知：，，∴，，∴四邊形，四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∵，∴桌子曬不到．24.如圖，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖像交于點．（1）求反比例函數(shù)表達式；（2）將線段向右平移個單位長度，得到對應線段，連接，．①如圖，當點恰好落在反比例函數(shù)圖像上時，過點作軸于點，交反比例函數(shù)圖像于點，求的值；②在①的條件下，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）①；②存在，點坐標為或或【解析】【分析】（1）根據(jù)點在直線上，可確定，再將點的坐標代入反比例函數(shù)中求出的值即可；（2）①先確定，再根據(jù)平移的性質(zhì)及函數(shù)圖像上點的坐標特征可得出，繼而得到，，即可得出結(jié)論；②設，分三種情況討論即可．【小問1詳解】解：∵點在直線上，∴，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴，∴反比例函數(shù)表達式為；【小問2詳解】①∵直線與軸交于點，當時，得，∴，∵將線段向右平移個單位長度，得到對應線段，且點恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，軸，當時，得：，∴，∴，∴，當時，得：，∴，，∴，∴；②在坐標平面內(nèi)存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．理由：設，由①知：，，，可分以下三種情況：當且，以為對角線時，即將線段向右平移個單位再向上平移個單位得到線段，此時可得平行四邊形，此時點的坐標為；當且，以為對角線時，即將線段向右平移個單位得到線段，此時可得平行四邊形，此時點的坐標為；當且，以為對角線時，即將線段向左平移個單位得到線段，此時可得平行四邊形，此時點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或或時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查了平移的性質(zhì)、點坐標平移的規(guī)律，函數(shù)圖像上點的坐標特征，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定等知識，運用分類討論思想是解題的關鍵．25.在菱形中，，點是射線上一動點，以為一邊向右側(cè)作等腰，使，，點的位置隨著點的位置變化而變化．（1）如圖，若，當點在菱形內(nèi)時，連接，與的數(shù)量關系是，與的位置關系是；（2）若，當點在線段的延長線上時，①如圖，與有何數(shù)量關系，與有何位置關系？請說明理由；②如圖，連接，若，，求線段的長．【答案】（1）；（2）①，，理由見解析；②【解析】【分析】（1）連接，延長交于，證明，即可得出，，得出即可；（2）①如圖，連接交于點，延長交于點，過點作于點，證明，繼而得到，，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可推出即可；②如圖，連接，，由①知，得到，，繼而得到，根據(jù)勾股定理可得，可得，最后由可得出答案．【小問1詳解】如圖，連接，延長交于，∵菱形中，，∴，，平分，∴、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，即，在與中，，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分，∴，故答案：；；【小問2詳解】①與的數(shù)量關系：，與的位置關系：．理由如下：如圖，連接交于點，延長交于點，過點作于點，∵菱形中，，，∴，，，平分，平分，∴，∴，∴，∵是等腰三角形，，，，∴，，∴，∴，∴，，∴，即，∴，∴，即，，∵平分，∴，∴平分