2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第二節(jié)一元二次不等式及其解法講義理

第二節(jié)一元二次不等式及其解法總綱目錄教材研讀1.“三個(gè)二次”的關(guān)系考點(diǎn)突破2.

(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集考點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題考點(diǎn)一一元二次不等式的解法教材研讀1.“三個(gè)二次”的關(guān)系2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

口訣:大于取兩邊、小于取中間.1.函數(shù)f(x)=

的定義域?yàn)?/p>

()A.[0,3]

B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞)

D.(-∞,0)∪(3,+∞)A答案

A要使函數(shù)f(x)=

有意義,則3x-x2≥0,即x2-3x≤0,解得0≤x≤3.2.不等式

≤0的解集為

(

)A.{x|x<1或x≥3}

B.{x|1≤x≤3}C.{x|1<x≤3}

D.{x|1<x<3}答案

C由

≤0,得

解得1<x≤3.C3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實(shí)數(shù)a的取值集合是

()A.{a|0<a<4}

B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}

D.{a|0≤a≤4}D答案

D

a=0時(shí),滿足條件;a≠0時(shí),由題意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤

4,所以0≤a≤4,故選D.4.不等式-x2-3x+4>0的解集為

(-4,1)

.(用區(qū)間表示)答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等價(jià)于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若不等式ax2+bx+2>0的解集為

,則a+b=

-14

.答案-14解析由題意知x1=-

,x2=

是方程ax2+bx+2=0的兩個(gè)根,則

解得

(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意).∴a+b=-14.考點(diǎn)一一元二次不等式的解法考點(diǎn)突破典例1解下列不等式:(1)19x-3x2≥6;(2)8x-1≤16x2;(3)0<x2-x-2≤4;(4)ax2-(a+1)x+1<0.解析(1)解法一:原不等式可化為3x2-19x+6≤0,函數(shù)y=3x2-19x+6的圖象開口向上且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

和(6,0),所以原不等式的解集為

.解法二:原不等式可化為3x2-19x+6≤0,即(3x-1)(x-6)≤0,所以

(x-6)≤0,所以原不等式的解集為

.(2)8x-1≤16x2?16x2-8x+1≥0?(4x-1)2≥0,∴對(duì)于任意的x∈R,原不等式都成立,∴原不等式的解集為R.(3)原不等式等價(jià)于

?

?

?

利用數(shù)軸(如圖)可知,原不等式的解集為{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.

(4)原不等式可變形為(ax-1)(x-1)<0,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x>1};當(dāng)a≠0時(shí),原不等式可變形為a

(x-1)<0.若a<0,則

(x-1)>0,∴x<

或x>1.若a>0,則

(x-1)<0,∴當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為

;當(dāng)a=1時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為

.綜上,當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為

;當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為{x|x>1};當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為

;當(dāng)a=1時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為

.規(guī)律總結(jié)1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化:把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)判:計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式,根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根

時(shí),不等式解集為R或?).(3)求:求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根.(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí),應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0,小于0,還是

大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與

0的關(guān)系.(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大

小關(guān)系,從而確定解集形式.1-1解下列不等式:(1)-4x2+12x-9<0;(2)

≥-1.解析(1)由題知4x2-12x+9>0,變形得(2x-3)2>0,即

>0,∴x≠

,即不等式的解集為

.(2)將原不等式移項(xiàng)通分得

≥0,等價(jià)于

所以原不等式的解集為

.典例2已知不等式mx2-2x-m+1<0.是否存在實(shí)數(shù)m,使對(duì)所有的實(shí)數(shù)x不

等式恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題命題方向一形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)恒成立,求參數(shù)范圍解析不存在.理由如下:設(shè)f(x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下

方.當(dāng)m=0時(shí),f(x)=1-2x,令1-2x<0,則x>

,不滿足題意;當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1為二次函數(shù),需滿足圖象開口向下且方程mx2-2x-m+1=0無解,即

此方程組無解.綜上,不存在滿足題意的m.典例3已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.命題方向二形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])恒成立,求參數(shù)范圍答案

解析要滿足f(x)=x2+mx-1<0對(duì)于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需

即

解得-

<m<0.典例4對(duì)任意m∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的

取值范圍.命題方向三形如f(x)>0或f(x)<0(參數(shù)m∈[a,b])恒成立,求x的范圍解析

f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由題意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,∴

解得x<1或x>3.故當(dāng)x<1或x>3時(shí),對(duì)任意的m∈[-1,1],函數(shù)f(x)的值恒大于零.方法技巧一元二次不等式恒成立問題的求解思路(1)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)的不等式確定參數(shù)的范圍時(shí),結(jié)合一元二次

方程,利用判別式來求解.(2)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])的不等式確定參數(shù)范圍時(shí),要根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性,求其最小值(或最大值),使最小值大于0(或最大值小于0),從

而求參數(shù)的范圍.(3)形如f(x)>0或f(x)<0(參數(shù)m∈[a,b])的不等式確定x的范圍時(shí),要注意變

換主元,一般地,知道誰(shuí)的范圍,就選誰(shuí)當(dāng)主元,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).2-1不等式x2-2x+5≥a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()