高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1課件新人教版A

3.3.2

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題(一)第三章§3.3

二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1.了解線性規(guī)劃的意義.2.理解約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.3.掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)引例已知x，y滿足條件該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，求2x＋3y②的最大值.以此為例，嘗試通過下列問題理解有關(guān)概念.知識(shí)點(diǎn)一線性約束條件在上述問題中，不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.知識(shí)點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)在上述問題中，②是要研究的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù).因?yàn)樗顷P(guān)于變量x、y的

次解析式，這樣的目標(biāo)函數(shù)稱為線性目標(biāo)函數(shù).一知識(shí)點(diǎn)三線性規(guī)劃問題一般地，在線性約束條件下求

的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.線性目標(biāo)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)四可行解、可行域和最優(yōu)解滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.在上述問題的圖中，陰影部分叫

，陰影區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都是一個(gè)

，其中能使②式取最大值的可行解稱為

.可行域可行解最優(yōu)解題型探究類型一最優(yōu)解問題命題角度1問題存在唯一最優(yōu)解例1已知x，y滿足約束條件

該不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，求2x＋3y的最大值.解答設(shè)區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)P(x，y)，z＝2x＋3y，則y＝－

x＋

，這是斜率為定值－

，在y軸上的截距為

的直線，如圖.由圖可以看出，當(dāng)直線y＝－

x＋

經(jīng)過直線x＝4與直線x＋2y－8＝0的交點(diǎn)M(4,2)時(shí)，截距

的值最大，此時(shí)2x＋3y＝14.反思與感悟圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，基本步驟：①確定線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；②作圖——畫出可行域；③平移——平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線z＝ax＋by，看它經(jīng)過哪個(gè)點(diǎn)(或哪些點(diǎn))時(shí)最先接觸可行域或最后離開可行域，確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置；④求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.跟蹤訓(xùn)練1已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范圍.解答作出二元一次不等式組

所表示的平面區(qū)域(如圖)即為可行域.設(shè)z＝2x－3y，變形得y＝

，則得到斜率為

，且隨z變化的一組平行直線.－

z是直線在y軸上的截距，當(dāng)直線截距最大時(shí)，z的值最小，由圖可知，當(dāng)直線z＝2x－3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z最小.∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.當(dāng)直線z＝2x－3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，截距最小，即z最大.得B的坐標(biāo)為(2，－1).∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范圍是[－5,7].命題角度2問題的最優(yōu)解有多個(gè)例2已知x，y滿足約束條件

若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y的最大值有無數(shù)個(gè)最優(yōu)解，求實(shí)數(shù)a的值.解答約束條件所表示的平面區(qū)域如圖：由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當(dāng)a＝0時(shí)，最優(yōu)解只有一個(gè)，過A(1,1)時(shí)取得最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)y＝－ax＋z與x＋y＝2重合時(shí)，最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，此時(shí)a＝1；當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)y＝－ax＋z與x－y＝0重合時(shí)，最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，此時(shí)a＝－1.綜上，a＝1或a＝－1.反思與感悟當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最優(yōu)解時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的一段邊界(實(shí)線)重合，則此邊界上所有點(diǎn)均為最優(yōu)解.

跟蹤訓(xùn)練2給出平面可行域(如圖)，若使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則a等于答案解析由題意知，當(dāng)直線y＝－ax＋z與直線AC重合時(shí)，最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則－a＝

，即a＝

，故選B.類型二生活中的線性規(guī)劃問題例3營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B各多少kg?將已知數(shù)據(jù)列成右表：解答食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么目標(biāo)函數(shù)為z＝28x＋21y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖可見，當(dāng)直線z＝28x＋21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，即z最小.所以為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物Akg，食物Bkg.反思與感悟(1)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)在y軸上的截距

是關(guān)于z的正比例函數(shù)，其單調(diào)性取決于b的正負(fù).當(dāng)b>0時(shí)，截距

越大，z就越大；當(dāng)b<0時(shí)，截距

越小，z就越大.(2)最優(yōu)解是誰，和目標(biāo)函數(shù)與邊界函數(shù)的斜率大小有關(guān).跟蹤訓(xùn)練3某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤(rùn)和托運(yùn)能力等限制數(shù)據(jù)列在下表中，那么為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為____.貨物體積(m3/箱)重量(50kg/箱)利潤(rùn)(百元/箱)甲5220乙4510托運(yùn)限制2413

4,1答案解析設(shè)甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為x，y，則目標(biāo)函數(shù)z＝20x＋10y，畫出可行域如圖.易知當(dāng)直線z＝20x＋10y平移經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，即甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)分別為4和1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn).當(dāng)堂訓(xùn)練123√41.若變量x，y滿足約束條件

則x＋2y的最大值是答案解析1234畫出可行域如圖陰影部分(含邊界).2.設(shè)變量x，y滿足約束條件

則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為1234作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.由圖可知，z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z有最小值，z的最小值為7.答案解析A.6 B.7 C.8 D.23√3.在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為A.－3 B.3 C.－1 D.11234√答案解析12344.已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件

則z＝2x＋4y的最大值為___.答案解析由不等式組表示的可行域，知目標(biāo)函數(shù)z在點(diǎn)(0,2)處取得最大值8.8規(guī)律與方法1.用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；(2)作圖——畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l；(3)平移——將直線l