江西省萍鄉(xiāng)市2024屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（解析版）

【新結(jié)構(gòu)】（萍鄉(xiāng)二模）2023-2024學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，若的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意是的子集，從而求解.【詳解】，因?yàn)榈某浞謼l件是，所以，則，故選：B.2.復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.的實(shí)部為12 B.的虛部為C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，然后結(jié)合選項(xiàng)分析即可求解.【詳解】由于復(fù)數(shù)，所以的實(shí)部為0，虛部為13，故錯誤；所以，故C錯誤，D正確.故選：D.3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)直接得到答案即可.【詳解】隨機(jī)變量，所以，所以，故.故選：C.4.已知，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，然后對兩邊平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，又，，，解得，，且，，即向量與的夾角為．故選：A．5.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成．如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意易得陀螺的外接球半徑，球心為圓柱的中心，再利用球的幾何性質(zhì)，分別求出圓柱與圓錐的高，最后根據(jù)體積公式，即可求解．【詳解】如圖：做陀螺的軸截面，則陀螺的軸截面內(nèi)接于圓，設(shè)圓的半徑為，圓柱的底面半徑為.由，球心為圓柱的中心，又圓柱的底面半徑，所以球心到圓柱底面距離，所以圓柱的高為，圓錐的高為，所以該陀螺的體積為.故選：B6.已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合，可得答案.【詳解】令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，則，即.故選：C.7.點(diǎn)將一條線段分為兩段和，若，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn).已知直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個交點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)B.對于給定的常數(shù)，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)C.對于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)D.對于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】依題意，作出圖形，結(jié)合題意可分析計(jì)算得出答案.【詳解】若，則，即點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，故選項(xiàng)A，C錯誤；如下圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則存在一個使得，故選項(xiàng)錯；對于選項(xiàng)D，若與相交于相鄰的三點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，則，將變換成后，點(diǎn)分別對應(yīng)到點(diǎn)，且滿足，故，即對比值無影響，故選項(xiàng)D正確.故選：D.8.如圖1，與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個三角形有三個旁心．如圖2，已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個旁心．直線與軸交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，即可求解．【詳解】解：因?yàn)槭堑囊粋€旁心，所以平分，所以,又平分，所以,所以，即，所以,所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：D二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為遞增數(shù)列 D.為周期數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得，，，得到數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解．【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A錯誤；當(dāng)時(shí)，；若為奇數(shù)，則，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，則，，，；若為偶數(shù)，則，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，則，，，.所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.故，B正確：又由，故遞增，C正確；由上述討論可知，的項(xiàng)為1，，1，，故是周期數(shù)列，D正確．故選：BCD．10.已知，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，對A選項(xiàng)，，所以，故A正確；對B選項(xiàng)，，所以，故B選項(xiàng)不正確；對C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；對D選項(xiàng)，故D正確.故選：AD11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，滿足與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.面積的最大值為1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合向量關(guān)系求選項(xiàng)；進(jìn)而根據(jù)四邊形為平行四邊形求選項(xiàng)；當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對稱性求選項(xiàng)；最后設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，則，則，求選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，則平分線段，又，則平分線段，則四邊形為平行四邊形，故A對；因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，對于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：若斜率存在，設(shè)：，，與方程聯(lián)立，得：，由直線過焦點(diǎn)，成立，，，，若斜率不存在，則：，易求得，，故，故B對；當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對稱性，在軸上，此時(shí)，故錯；對于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，設(shè)：，與方程聯(lián)立，得：，則，則，則，又，則，即為等腰三角形，且軸為的垂直平分線，故必在軸上，此外，，則，則，當(dāng)與拋物線相切時(shí)，取得最大值1，即的最大值為1，故D對，故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若線段是拋物線的一條過焦點(diǎn)F的弦，則，.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一種春節(jié)吉祥物為分布均勻的正十二面體模型（如圖），某興趣小組在十二個面分別雕刻了十二生肖的圖案.若其中的2個成員將該模型各隨機(jī)拋出一次，則恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上（即龍的圖案在最上面）的概率為__________.【答案】【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?個人拋出一次時(shí)龍的圖案在最上面的概率為，所以2個成員各拋一次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為.故答案為：13.在中，點(diǎn)分別在邊上，，若交于點(diǎn)，則__________；當(dāng)時(shí)，面積為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用平面向量的基本定理，可得，用待定系數(shù)法可得的值，再結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)值計(jì)算出，利用三角形的面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，令，所以，所以，因?yàn)楣簿€，所以，①因共線，所以，所以②，聯(lián)立①②，，解出，故，所以，解出，故；在中，由余弦定理，，因?yàn)?，所以，，則.故答案為：①1；②.14.正方體的棱長為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，列出分別與直線所成角的正切值之和的表達(dá)式，從而得到點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，可得點(diǎn)到平面的距離的取值范圍，最后利用棱錐的體積公式計(jì)算得到答案即可.【詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，整理可得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)在中點(diǎn)的正上方；最小值為時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)或者點(diǎn)的正上方，所以四棱錐的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用空間向量解決空間角問題，涉及三角函數(shù)的計(jì)算以及空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵是通過計(jì)算得出動點(diǎn)P的軌跡方程，即，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出距離的取值范圍，再根據(jù)錐體的體積公式即可解決問題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，因此，故的取值范圍為．16.定義兩組數(shù)據(jù)，的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中．某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的排名與知識競賽成績的排名如下表：123456789101112131415153498761021214131115（1）試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”；（2）已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機(jī)抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生有人，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）0.8；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.【解析】【分析】（1）根據(jù)“斯皮爾曼系數(shù)”的計(jì)算公式即可求解.（2）的值可能為0，1，2，3，計(jì)算出各自對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依題意，，所以這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”是0.8.【小問2詳解】依題意，的值可能為0，1，2，3，，，則的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為．17.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，是弧上一動點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在上，且，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）若四棱錐的體積大于等于.①求二面角的取值范圍；②記異面直線與所成的角為，求的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理與勾股定理可證，再由，，可得平面，從而有，再由線面垂直的判定定理，即可得證；（2）①設(shè)，則二面角的平面角即為，易得四邊形的面積，由，可得，即二面角的取值范圍；②以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用含的式子表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求異面直線夾角，即可求解.【小問1詳解】由題知，在中，，,,求得，則，又,,,,平面，故平面，又平面，所以，又,平面，平面【小問2詳解】①設(shè)，,,則二面角的平面角即為，在上取點(diǎn)，使，連接,，四棱錐的體積，其中表示四邊形的面積，則，由，可得，，則，故，解得，即二面角的取值范圍為；②以方向軸正方向，在內(nèi)垂直于的方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,，,,即的最大值為.18.已知橢圓的離心率為是上的不同兩點(diǎn)，且直線的斜率為，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，點(diǎn)都不在軸上，連接，分別交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題，利用弦長公式列出弦長的表達(dá)式，結(jié)合橢圓的離心率，計(jì)算可得答案；（2）聯(lián)立直線，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，對立方程，可知直線的圖象性質(zhì)，故分析可得結(jié)果.【小問1詳解】依題意，則，因此，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合，得，所以，解得，故，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)，可知的斜率存在，設(shè)為，則，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，，整理得其中，得或，，則，又，故，同理可得，易知的斜率不為0，設(shè)的方程為，則，，又，則，對比的方程可知，直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．（1）寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；（2）任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解析（2），（3）存在實(shí)數(shù)，使得成立．【解析】分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求的取值范圍即可；（3）方法一、求出，，，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．方法二、構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)，利用遞推公式求解即可．【小問1詳解】①導(dǎo)數(shù)：，，證明如下：，②二倍角公式：，證明如下：；③平方關(guān)系：，證明如下：；【小問2詳解】令，，，①當(dāng)時(shí)，由，又因?yàn)?，所以，等號不成立，所以，即為增函?shù)，此時(shí)，對任意，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知是增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，所以對任意，，不合題意；綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問3