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文檔簡介

第六節(jié)第一型線積分第一型面積分第一型線積分與面積分我們將把積分概念推廣到積分范圍為一段曲線弧或一片曲面的情形。曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分（第一型線積分）對坐標(biāo)的曲線積分（第二型線積分）對面積的曲面積分（第一型面積分）對坐標(biāo)的曲面積分（第二型面積分）本節(jié)討論：1.引例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值一、對弧長的曲線積分的概念

一曲線形構(gòu)件在xoy平面內(nèi)所占位置是一段曲線弧L，L上任一點(diǎn)處的線密度ρ(x,y)在L上連續(xù).計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量.2.定義積分弧段定理

二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分注意:特殊情形推廣:例1例2.計(jì)算曲線積分

其中

為螺旋線的一段弧.三、幾何與物理意義三、對面積的曲面積分的概念引例:求具有連續(xù)面密度的曲面形構(gòu)件的質(zhì)量.類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,其中,表示n小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).定義則對面積的曲面積分存在.即在光滑曲面

上連續(xù),定理?對積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面四、對面積的曲面積分的計(jì)算法

1.曲面面積的計(jì)算則2.對面積的曲面積分的計(jì)算法

定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有則曲面積分定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有則曲面積分則例1.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:設(shè)上的部分,則與原式=分別表示

在平面

1:x=0

2:y=0

3:z=0

4:x+y+z=1例3.計(jì)算其中

是介于平面之間

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