高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性》專項(xiàng)測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性》專項(xiàng)測試卷（含答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________【知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.3.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.4.復(fù)雜函數(shù)求最值：對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.【知識點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】1.函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【知識點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對稱性常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=x2?4|x|+3A．(?∞,?2) B．(?C．(?2,2) D．(?2,0)和(2,+【變式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中?？计谥校昂瘮?shù)fx在區(qū)間1,2上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【變式1-2】（2022·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=x2?2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023上·江西鷹潭·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2ax+4,x?1,1A．?1,?12 C．?1,?12 【變式2-1】（2023·山西·?？寄M預(yù)測）已知fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，?x∈R,ffx?xA．114 B．116 C．134 D．136【變式2-2】（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）命題p:fx=x2+ax?8,?1≤x≤1?a+4x?3a,x<?1在x∈(?∞,1]上為增函數(shù)，命題q:g(x)=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-3】（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，存在常數(shù)tt>0，使得對任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈0,t時(shí)，f(x)=x?t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【變式3-1】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x?2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【變式3-2】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【變式3-3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽+，對于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，當(dāng)x>1時(shí)，都有A．5 B．6 C．8 D．12【題型4函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】【例4】（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x?1x?2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．f(x+1)?2 B．f(x+2)?2 C．f(x?2)+2 D．f(x+1)+2【變式4-1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+1是奇函數(shù)，f2x+3A．f0=0 B．f4=0 C．【變式4-2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2?ax+a?1，則滿足A．?∞,?1∪0,1 B．?1,1 C．【變式4-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【題型5函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用】【例5】（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xA．fx是偶函數(shù) B．fC．fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱 D．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對任意實(shí)數(shù)x有fx+2=fx+1?fx，若y=f2x的圖象關(guān)于直線x=A．2 B．1 C．?1 D．?2【變式5-2】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)y=fx滿足fa+x+f(a?x)=2b，則說y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b對稱，則函數(shù)A．(?1011,2022) B．1011,2022 C．(?1012,2023) D．1012,2023【變式5-3】（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，f3=0，且對任意的x1,x2∈?A．?∞,1∪C．?4,?1∪1,2 【題型6函數(shù)的周期性及其應(yīng)用】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知fx+1=1?fxa+fx.若A．2 B．1 C．?1 D．?2【變式6-1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，對任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0 【變式6-2】（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x+1)=?f(x)，且x∈[0,1)時(shí)；f(x)=log2(x+1)，給出下列命題：①f(2013)+f(?2014)=0；②函數(shù)f(x)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y=x與函數(shù)y=f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)的值域?yàn)??1,1)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式6-3】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx,gx的定義域?yàn)镽,gx的圖像關(guān)于x=1對稱，且g①g(?3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=?4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【題型7利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023上·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【變式7-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)y=fx滿足以下條件：①函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1軸對稱，②對任意x1,x2∈(?∞,1]，當(dāng)x1≠A．f32>fC．f32>f【變式7-2】（2023上·陜西西安·高一高新一中校考期中）已知函數(shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x1<x2時(shí)，fx2?fx1x2?xA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【變式7-3】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx?1=?1fx+1成立且fx在?2,0上單調(diào)遞增，設(shè)a=f6，b=f22，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a【題型8利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例8】（2023上·廣東廣州·高一?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(?x)=2，且x≥0時(shí)，f(x)=x?1x+1+2，則不等式xf(x)<0A．(?∞,0) C．1?52,0【變式8-1】（2023上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意0<x1<x2，均有x2A．?∞,?3∪C．?3,0∪0,3 【變式8-2】（2022上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2ax+bx2(1)確定函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈?1,1時(shí),判斷函數(shù)f(3)解不等式f2x+1【變式8-3】（2023上·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，滿足f?2=?4，且當(dāng)m,n∈(1)判斷函數(shù)fx(2)解不等式：f5x?1(3)若fx≤2at3?t+4【題型9函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例9】（2022上·江蘇蘇州·高一?？计谥校┮阎婧瘮?shù)fx和偶函數(shù)gx(1)求fx和g(2)判斷并證明gx在0,+(3)若對于任意的x1∈1,2，存在x2∈【變式9-1】（2023上·湖南株洲·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)y=φ(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是y=φ(a+x)?b是奇函數(shù)，給定函數(shù)f(x)=x?6(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx在區(qū)間(0,+(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g(x)=x2?mx+m.若對任意x1∈[0,2]，總存在x【變式9-2】（2023上·浙江湖州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=fx為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,b對稱，證明：(3)已知函數(shù)f(x)=x?e22+lnecxe2?x，其中c>0【變式9-3】（2023上·江蘇無錫·高一?？计谥校┰O(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ex+a（1）若a=1，求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；（2）若a<0．①判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4?1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=x+aln2x?1A．?1 B．0 C．12 2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=xA． B．C． D．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=1?x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．fx?1?1 B．fx?1+1 C．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122f(k)=（A．?3 B．?2 C．0 D．15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+2為偶函數(shù)，f2x+1A．f?12=0 B．f?1=06．（2021·全國·高考真題）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f1+x=f?x.若f?A．?53 B．?13 C．7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域是R，若對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有fx2A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)8．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x?1)≥0的x的取值范圍是（

）A．[?1,1]∪[3,+∞) B．[?3,?1]∪[0,1]C．[?1,0]∪[1,+∞) D．[?1,0]∪[1,3]9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，f(x)=ax2+bA．?94 B．?32 C．10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7．若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則k=122fkA．?21 B．?22 C．?23 D．?24參考答案【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=x2?4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．(?∞,?2) B．(?C．(?2,2) D．(?2,0)和(2,+【解題思路】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【解答過程】fx則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)?x≥0時(shí)，y=x2當(dāng)x<0，y=x2+4x+3=故fx的單調(diào)遞減區(qū)間是(?∞,?2)故選：B.【變式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中?？计谥校昂瘮?shù)fx在區(qū)間1,2上不是增函數(shù)”的一個(gè)充要條件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【解題思路】由增函數(shù)的定義，結(jié)合全稱命題的否定形式，即可判斷選項(xiàng).【解答過程】若函數(shù)fx在區(qū)間1,2即任意a,b∈1,2，使得a<b且f則若函數(shù)fx在區(qū)間1,2即存在a,b∈1,2，使得a<b且f故選：B.【變式1-2】（2022·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=x2?2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【解題思路】先根據(jù)題目條件求出a的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【解答過程】解：依題意，a+3=a+32?2,a<0≤a+3,解得a＝－1，故gx故選：D.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【解題思路】對題中條件fx1?f【解答過程】不妨令x1<∵f令g(x)=f(x)+x，∴g(x1又x1<x故選:A.【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023上·江西鷹潭·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2ax+4,x?1,1A．?1,?12 C．?1,?12 【解題思路】首先分析知，x>1，函數(shù)單調(diào)遞減，則x?1也應(yīng)為減函數(shù)，同時(shí)注意分界點(diǎn)處的縱坐標(biāo)大小關(guān)系即可列出不等式組，解出即可.【解答過程】顯然當(dāng)x>1時(shí)，fx=當(dāng)x?1時(shí)，fx=?x2若fx是?12,+∞故選：A.【變式2-1】（2023·山西·?？寄M預(yù)測）已知fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，?x∈R,ffx?xA．114 B．116 C．134 D．136【解題思路】借助換元思想即可解答.【解答過程】由題意可知fx設(shè)fx?x因?yàn)閒f所以ft因?yàn)閒t=t3+3t?1所以t=2，所以fx則f5故選：D.【變式2-2】（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）命題p:fx=x2+ax?8,?1≤x≤1?a+4x?3a,x<?1在x∈(?∞,1]上為增函數(shù)，命題q:g(x)=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】求出命題p,q中a的范圍，根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷.【解答過程】若fx=x則?a2≤?1g(x)=a2x?4x?2=a2(x?2)+2a因?yàn)椤?≤a<4”能推出“a>2或a<?所以命題q是命題p的必要不充分條件，故選：B．【變式2-3】（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，存在常數(shù)tt>0，使得對任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈0,t時(shí)，f(x)=x?t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對值型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)榇嬖诔?shù)tt>0，使得對任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)所以函數(shù)的周期為t，當(dāng)x∈0,t時(shí)，函數(shù)f(x)=x?t所以當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)=x?t2因?yàn)閒x在區(qū)間3,4所以有nt≤32n+1故選：B.【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】【例3】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】令y=6x?x2=?因?yàn)?<x<6，所以當(dāng)x=3時(shí)，6x?x故選：D.【變式3-1】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x?2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【解題思路】畫出fx=x?2x的圖象，分a=0，a>0【解答過程】令?x=x?2x，定義域?yàn)?∞且在?∞畫出函數(shù)圖象如下：

則fx

若a=0，則gx=2，畫出

顯然最小值為2，不合題意，若a>0，則畫出Mx

顯然函數(shù)在A點(diǎn)取得最小值，令2x?x=1，解得令?2a+2=1，解得a=1若a<0，則畫出Mx

顯然函數(shù)在B點(diǎn)取得最小值，令x?2x=1令2a+2=1，解得a=?1綜上，a=±1故選：B.【變式3-2】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【解題思路】根據(jù)題意整理得S=32xy+yx2x【解答過程】∵S=2xy令t=2x∵x>0，y>0，則t=2xy+yx故t∈22,+又∵ft=t+1t在∴S=3t+1t≤故選：B.【變式3-3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽+，對于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，當(dāng)x>1時(shí)，都有A．5 B．6 C．8 D．12【解題思路】找到函數(shù)值特殊的點(diǎn)，得到部分特殊函數(shù)值，利用給定的抽象函數(shù)定義求出端點(diǎn)值后，判斷函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值即可.【解答過程】令x=y=1，則f1故f4=3，且令x=x1，y=設(shè)x2>x1則fx1<fx2∴fx的最大值是故選：A.【題型4函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】【例4】（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x?1x?2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．f(x+1)?2 B．f(x+2)?2 C．f(x?2)+2 D．f(x+1)+2【解題思路】寫出各項(xiàng)對應(yīng)的解析式，根據(jù)奇函數(shù)定義判斷是否為奇函數(shù)即可.【解答過程】A：f(x+1)?2=2x+1x?1?2=B：f(x+2)?2=2x+3x?2=3xC：f(x?2)+2=2x?5x?4+2=D：f(x+1)+2=2x+1x?1+2=故選：B.【變式4-1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+1是奇函數(shù)，f2x+3A．f0=0 B．f4=0 C．【解題思路】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因?yàn)閒x+1是奇函數(shù)，所以f?x+1=?f又f2x+3是偶函數(shù)，所以f?2x+3=f故選：C.【變式4-2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x2?ax+a?1，則滿足A．?∞,?1∪0,1 B．?1,1 C．【解題思路】先通過函數(shù)為奇函數(shù)求出a，再通過求解二次不等式以及奇函數(shù)的對稱性得答案.【解答過程】依題意fx是奇函數(shù)，所以f0=a?1=0則fx=x當(dāng)x≥0時(shí)，令fx≥0，解得x≥1根據(jù)對稱性，當(dāng)?1≤x<0時(shí)，fx故滿足fx≥0的x的取值范圍是故選：C．【變式4-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項(xiàng)A，B；利用函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)C，D.【解答過程】易知函數(shù)fx,gx的定義域均為R．當(dāng)x≥0時(shí)，易知函數(shù)f又f?x+fx易知f0=0，所以函數(shù)fx因?yàn)間x是定義在R上的偶函數(shù)，且在?∞,0上單調(diào)遞增，所以g選項(xiàng)A：因?yàn)閒?x?g選項(xiàng)B：因?yàn)閒?x?g?x選項(xiàng)C：因?yàn)間2023>g2024選項(xiàng)D：因?yàn)?=f0<f2023故選：D.【題型5函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用】【例5】（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=xA．fx是偶函數(shù) B．fC．fx的圖象關(guān)于直線x=3對稱 D．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)【解題思路】對AB，根據(jù)f?x=x【解答過程】對AB，由f?x對C，易得f2=25，對D，fx=x2x?3故fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3,1故選：D.【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對任意實(shí)數(shù)x有fx+2=fx+1?fx，若y=f2x的圖象關(guān)于直線x=A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】由題意fx+2=fx+1?fx?fx+3=fx+2?fx+1?fx+3【解答過程】因?yàn)閒x+2=fx+1從而可得fx+3=?fx，所以f因?yàn)閥=f2x的圖象關(guān)于直線x=所以f1?2x=f1+2x，即函數(shù)f又f1=2，所以f2=f0所以f1所以k=123f(k)=f(1)+故選：C．【變式5-2】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考一模）若函數(shù)y=fx滿足fa+x+f(a?x)=2b，則說y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b對稱，則函數(shù)A．(?1011,2022) B．1011,2022 C．(?1012,2023) D．1012,2023【解題思路】求出定義域，由定義域的對稱中心，猜想a=?1012，計(jì)算出f(?1012+x)+f(?1012?x)=4046，從而求出對稱中心.【解答過程】函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠?1,x≠?2...定義域的對稱中心為(?1012,0)，所以可猜a=?1012，則f(?1012+x)=?1012+xf(?1012?x)==1012+x故f(?1012+x)+f(?1012?x)==2×2023=4046所以y=fx的對稱中心為(?1012,2023)故選：C．【變式5-3】（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，f3=0，且對任意的x1,x2∈?A．?∞,1∪C．?4,?1∪1,2 【解題思路】首先根據(jù)f(x?1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，得出(x)是定義在R上的奇函數(shù)，由對任意的x1，x2∈(?∞,0)，x1≠【解答過程】∵f(x?1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，∴f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∵對任意的x1，x2∈(?∞,0)，x1≠x2，滿足f(又f3=0所以f?3所以當(dāng)x∈?∞,?3∪0,3時(shí)，f所以由x?1fx+1≥0可得x?1<0,?3≤x+1≤0或解得?4≤x≤?1或1≤x≤2，即不等式x?1fx+1≥0故選：C.【題型6函數(shù)的周期性及其應(yīng)用】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知fx+1=1?fxa+fx.若A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】計(jì)算fx+2根據(jù)函數(shù)的周期性有fx+2=f【解答過程】因?yàn)閒xf=a?1+2f所以a?1=0解得a=1.故選:B.【變式6-1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，對任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0 【解題思路】利用賦值法求f(0)的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利用賦值法求得f(n)，n∈N?的值有周期性，即可求得n=12023【解答過程】對于A，令x=y=0，則由f(x+y)+f(x?y)=2f(x)?f(y)可得，2f(0)=2f故f(0)=0或f(0)=1，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)f(0)=0時(shí)，令y=0，則f(x)+f(x)=2f(x)?f(0)=0，則f(x)=0，故f′(x)=0，函數(shù)令x=0，則f(y)+f(?y)=2f(0)?f(y)，則f′當(dāng)f(0)=1時(shí)，f′(y)?f′(?y)=2綜合以上可知f′(x)必為奇函數(shù)，對于C，令x=y，則f(2x)+f(0)=2f2(x)由于x∈R，令t=2x，t∈R，即f(t)+f(0)≥0，即有f(x)+f(0)≥0，故C對于D，若f(1)=12，令x=1，y=0，則f1故令x=y=1，則f(2)+f(0)=2f2(1)，即f(2)+1=12令x=2，y=1，則f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+12=?令x=3，y=1，則f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)?12=?1，∴令x=4，y=1，則f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)?1=?12，∴令x=5，y=1，則f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)?12=令x=6，y=1，則f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+12=1，∴由此可得f(n)，n∈N?的值有周期性，且6個(gè)為一周期，且故n=12023f(n)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=1故選：A．【變式6-2】（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x+1)=?f(x)，且x∈[0,1)時(shí)；f(x)=log2(x+1)，給出下列命題：①f(2013)+f(?2014)=0；②函數(shù)f(x)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y=x與函數(shù)y=f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)的值域?yàn)??1,1)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】由函數(shù)關(guān)系式及偶函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在x≥0、x≤0上分別是周期為2的函數(shù)，并可寫出其對應(yīng)的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【解答過程】由題設(shè)，f(x+2)=?f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期為2的函數(shù)，令1≤x<2，則0≤x?1<1，而x∈[0,1)時(shí)；f(x)=log∴f(x)=?f(x?1)=?log∴綜上：f(x)={log2(x+1),0≤x<1∵f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，∴在x≤0上周期為2且f(x)={log①f(2013)+f(?2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(0)=0，正確；②函數(shù)f(x)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù)，錯(cuò)誤；③直線y=x與函數(shù)y=f(x)的圖象如下圖示，只有1個(gè)交點(diǎn)，正確；④函數(shù)f(x)如下圖示，其值域?yàn)??1,1)，正確；故選：D.【變式6-3】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx,gx的定義域?yàn)镽,gx的圖像關(guān)于x=1對稱，且g①g(?3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=?4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)定義得到g?2x+2=?g2x+2【解答過程】因?yàn)間2x+2為奇函數(shù)，所以g?2x+2=?g所以gx對稱中心為2,0又因?yàn)間x的圖像關(guān)于x=1對稱，則g所以?gx+2=gx所以gx的周期T=4①g?3②因?yàn)間1=1，g?x+2=gx所以g0=g2③因?yàn)閒x=g3?x因?yàn)?gx+2=gx則f4=g?1④因?yàn)閒x=g3?x+1且所以fx+4=g3?x?4+1=g3?x因?yàn)閒1=g2+1=1，f2所以f1所以n=12024故選：C.【題型7利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023上·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】根據(jù)題意能得到函數(shù)fx關(guān)于直線x=1軸對稱，且fx在【解答過程】由?x1,x2>1，x1由f1+x=f1?x得函數(shù)f所以函數(shù)fx在?又因?yàn)?2?1≈1.42?1=0.3（最遠(yuǎn)離所以f3故選：A.【變式7-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)y=fx滿足以下條件：①函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1軸對稱，②對任意x1,x2∈(?∞,1]，當(dāng)x1≠A．f32>fC．f32>f【解題思路】根據(jù)已知條件判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大?。窘獯疬^程】∵函數(shù)y=fx圖象關(guān)于x=1對稱，且對任意x當(dāng)x1≠x∴y=fx在?∞,1f0∵3>2>32>1∴f3故選：B．【變式7-2】（2023上·陜西西安·高一高新一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x1<x2時(shí)，fx2?fx1x2?xA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【解題思路】先比較a1【解答過程】當(dāng)0≤x1<可知函數(shù)fx在0,+又因?yàn)楹瘮?shù)fx所以b=f?設(shè)a1=5所以a1<b所以b1<c又因?yàn)楹瘮?shù)fx在0,+所以a<b<c.故選：A.【變式7-3】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx?1=?1fx+1成立且fx在?2,0上單調(diào)遞增，設(shè)a=f6，b=f22，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a【解題思路】由fx?1=?1fx+1，可得函數(shù)f【解答過程】由題意，fx?1=?∴f∴fx=f(x+4)，可得函數(shù)f∴a=f6=f(?2)，b=f由于fx在?2,0∴f(?2)<f(2即∴a<b<c故選：D.【題型8利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例8】（2023上·廣東廣州·高一?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(?x)=2，且x≥0時(shí)，f(x)=x?1x+1+2，則不等式xf(x)<0A．(?∞,0) C．1?52,0【解題思路】根據(jù)f(x)+f(?x)=2可知函數(shù)關(guān)于0,1對稱，并求出x<0時(shí)函數(shù)f(x)的解析式，畫出大致圖象，然后結(jié)合圖象得到xf(x)<0的解集.【解答過程】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(?x)=2，所以f(x)關(guān)于0,1對稱，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x?1x+1+2，因?yàn)閥=x在0,+∞上單調(diào)遞增,y=?1x+1在0,+∞上單調(diào)遞增,所以f(x)=x?1x+1因?yàn)閒(x)+f(?x)=2，當(dāng)x<0，即?x>0時(shí)，fx令fx=x2?x?1所以畫出fx

由圖象知，當(dāng)x∈1?52,+∞時(shí)，fx>0，當(dāng)x∈所以，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，xfx>0，當(dāng)當(dāng)x∈?∞,1?52時(shí)，xfx所以不等式xf(x)<0的解集為1?5故選：C.【變式8-1】（2023上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意0<x1<x2，均有x2A．?∞,?3∪C．?3,0∪0,3 【解題思路】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)gx=fxxx≠0，由題可知gx在0,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合fx【解答過程】因?yàn)?<x1<x2設(shè)函數(shù)gx則函數(shù)gx=fxx當(dāng)x>0時(shí)，不等式fx?x>0等價(jià)于即gx=fxx當(dāng)x=0時(shí)，f0?0=0，不滿足因?yàn)閒x是定義在R所以gx=fxx當(dāng)x<0時(shí)，不等式fx?x>0等價(jià)于即gx=fxx綜上，不等式fx?x>0的解集為故選：D.【變式8-2】（2022上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2ax+bx2(1)確定函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈?1,1時(shí),判斷函數(shù)f(3)解不等式f2x+1【解題思路】(1)根據(jù)奇函數(shù)可得f0=0,結(jié)合f1(2)先判斷單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性的定義證明,先取值,再做差,變形至幾個(gè)因式的乘積,定號,最后寫出結(jié)論即可.(3)將f12x移至右側(cè),根據(jù)奇函數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為f2x+1<f【解答過程】（1）解:由題意可知fx∴f0即ba=0,∵f12=∴fx（2）當(dāng)x∈?1,1時(shí),函數(shù)f證明如下:設(shè)x1,x2為∴f=2∵x∴x∴fx故函數(shù)fx在?1,1（3）∵f2x+1∴f2x+1∵fx∴f2x+1∵當(dāng)x∈?1,1時(shí),函數(shù)f∴?1<2x+1<1∴?1<x<?2∴不等式的解集為?1,?2【變式8-3】（2023上·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，滿足f?2=?4，且當(dāng)m,n∈(1)判斷函數(shù)fx(2)解不等式：f5x?1(3)若fx≤2at3?t+4【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的知識判斷出函數(shù)fx在?2,2（2）根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性求得不等式的解集.（3）先求得fx的最大值，然后利用轉(zhuǎn)換主參變量的方法，列不等式來求得t【解答過程】（1）fx為奇函數(shù)，所以f則由f?m?f?nm?n<0當(dāng)n>m時(shí)，f(n)>f(m)，函數(shù)fx在?2,2當(dāng)m>n時(shí)，f(m)>f(n)，函數(shù)fx在?2,2綜上，函數(shù)fx在?2,2（2）由（1）知函數(shù)fx為?2,2則5x?1>x+1解得12<x≤3（3）因?yàn)閒?2=?4，所以若fx≤2at則f(x)max≤2a所以4≤2at3?t+4對a∈?2,2恒成立，即令ga則g?2≥0g2≥0即t4t2故實(shí)數(shù)t的取值范圍是?1【題型9函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例9】（2022上·江蘇蘇州·高一校考期中）已知奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gx(1)求fx和g(2)判斷并證明gx在0,+(3)若對于任意的x1∈1,2，存在x2∈【解題思路】（1）根據(jù)已知條件用?x替換x，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于f?x、g（2）先判斷，在利用定義法證明；（3）設(shè)A=5?g(x)|1≤x≤2，B=mf(x)|1≤x≤2，由A?B，列出不等式組即可求出k的范圍．【解答過程】（1）由奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gf?x=?fx因?yàn)閒x用?x替換x得故f?x+g?x聯(lián)立解得，fx=（2）gx在0,+取?所以g(====因?yàn)閤所以2x1所以g(所以gx在0,+（3）設(shè)A=5?g(x)|1≤x≤2令2x=t∈2,4，則易知y=t+1t故gxmin=故A=23設(shè)B=mf(x)|1≤x≤2令2x=t∈2,4，則易知y=t?1t故fxmin則x∈1,2時(shí)，若對于任意的x1∈1,使得gx1+mfx則A?B，則顯然m>0，則B=34則238則34m≤23【變式9-1】（2023上·湖南株洲·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)y=φ(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是y=φ(a+x)?b是奇函數(shù)，給定函數(shù)f(x)=x?6(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx在區(qū)間(0,+(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g(x)=x2?mx+m.若對任意x1∈[0,2]，總存在x【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到f(a+x)+f(a?x)?2b=0，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義與判定方法，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx的值域?yàn)閒x值域的子集，由（2）求得fx的值域?yàn)閇?2,4]，轉(zhuǎn)化為A?[?2,4]，分m2≤0【解答過程】（1）解：設(shè)函數(shù)fx的圖象的對稱中心為(a,b)，則f(a+x)+f(a?x)?2b=0即(x+a)?6整理得(a?b)x可得a?b=0(a?b)(a+1)2所以fx的對稱中心為(?1,?1)（2）解：函數(shù)f(x)=x?6x+1在證明如下：任取x1,x則f(x因?yàn)閤1,x2∈(0,+∞)所以f(x1)?f(所以函數(shù)f(x)=x?6x+1在（3）解：由對任意x1∈[0,2]，總存在x2可得函數(shù)gx的值域?yàn)閒由（2）知fx在[1,5]上單調(diào)遞增，故fx的值域?yàn)樗栽瓎栴}轉(zhuǎn)化為gx在[0,2]上的值域A?[?2,4]當(dāng)m2≤0時(shí)，即m≤0時(shí)，g(x)在又由g(1)=1，即函數(shù)g(x)=x2?mx+m可知gx在(1,2]上亦單調(diào)遞增，故gx在又因?yàn)間(0)=m，g(2)=2?g(0)=2?m，故A=[m,2?m]，因?yàn)閇m,2?m]?[?2,4]，所以m≥?2，2?m≤4，解得?2≤m≤0，當(dāng)0<m2<1時(shí)，即0<m<2時(shí)，gx在因?yàn)間x過對稱中心(1,1)，故gx在(1,2?m故此時(shí)A=min欲使A?[?2,4]，只需g(2)=2?g(0)=2?m≥?2g(m2解不等式，可得2?23≤m≤4，又因?yàn)?<m<2，此時(shí)當(dāng)m2≥1時(shí)，即m≥2時(shí)，g(x)在[0,1]遞減，在由對稱性知g(x)在[0,2]上遞減，所以A=[2?m,m]，因?yàn)閇2?m,m]?[?2,4]，所以2?m≥?2m≤4，解得2≤m≤4綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是[?2,4].【變式9-2】（2023上·浙江湖州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=fx為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,b對稱，證明：(3)已知函數(shù)f(x)=x?e22+lnecxe2?x，其中c>0【解題思路】（1）令gx=fx+a?b，由gx（2）令gx=fx+a?b，由gx（3）由函數(shù)f(x)=x?e22+c+lnx?ln(f2022e22023+f【解答過程】（1）解：令gx=fx+a所以g?x=?gx所以??x+a化簡得6x2a?1解得a=1,b=2，即fx圖像的對稱中心為1,2（2）解：令gx=fx+a所以g?x=?gx所以f?x+a令x+a=t，則ft+f?t+2a（3）解：因?yàn)閒(x)=x?e所以f?x+所以fx+f?x+e2因?yàn)閒f兩式相加得：2022×2c≤2022a+b，即a+b≥2c又由λ≤2ac+方法一：由a=a+2c當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=2c方法二：由ab令ab則a當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=2c【變式9-3】（2023上·江蘇無錫·高一?？计谥校┰O(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ex+a（1）若a=1，求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；（2）若a<0．①判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4?【解題思路】（1）把a(bǔ)=1代入得f(x)=ex+1ex?1，且f(x)定義域?yàn)椋?）①結(jié)合單調(diào)性的定義，先設(shè)x1<x2，利用作差法比較②結(jié)合命題的否定，然后結(jié)合不等式的恒成立，利用單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=e因?yàn)閑x?1≠0，則所以f(x)定義域?yàn)閧x|x≠0}，對任意x≠0，f(?x)=e所以f(x)=e（2）①當(dāng)a<0時(shí)，f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下：證明：a<0時(shí)，ex?a>0恒成立，故函數(shù)f(x)定義域?yàn)槿稳1，x2∈R，且x因?yàn)閒(x所以f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).②設(shè)命題p：存在x∈[1，2]，使得f(x下面研究命題p的否定：?p:?x∈[1，2]，f(x若?p為真命題，由①，f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，故?x∈[1，2]，x2設(shè)g(x)=x2+2ax+a2則a<0g(1)?0g(2)?0，解得因?yàn)閜為真，則?p為假命題，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,?3)．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=x+aln2x?1A．?1 B．0 C．12 【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出a值，再檢驗(yàn)即可.【解答過程】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(?1)，∴(1+a)ln當(dāng)a=0時(shí)，fx=xln2x?12x+1，2x?1則其定義域?yàn)閤|x>12或f?x故此時(shí)fx故選：B.2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=xA． B．C． D．【解題思路】分析函數(shù)fx的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在?【解答過程】函數(shù)fx=x且f?x函數(shù)fx又當(dāng)x<0時(shí)，fx當(dāng)x>1時(shí)，fx故選：D.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=1?x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．fx?1?1 B．fx?1+1 C．【解題思路】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【解答過程】由題意可得f(x)=1?x對于A，fx?1對于B，fx?1對于C，fx+1對于D，fx+1故選：B.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122f(k)=（A．?3 B．?2 C．0 D．1【解題思路】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)fx的一個(gè)周期為6，求出函數(shù)一個(gè)周期中的f【解答過程】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)閒x+y+fx?y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所