2023年高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練專題15 點、直線、平面之間的位置關(guān)系試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練專題15點、直線、平面之間的位置

關(guān)系

第一部分真題分類

1.（2021?全國高考真題（理））在正方體ABC。-ABGA中，P為片。的中點，則直線依與AR所成

的角為（）

A-?B-?c-7D-?

2.（2021?浙江高考真題）如圖已知正方體ABCD-AMCIR,M,N分別是A。，。田的中點，則（）

A.直線4。與直線垂直，直線MN"平面A8CO

B.直線A。與直線平行，直線的V_L平面8?！辏?/p>

C.直線A。與直線相交，直線MN//平面A8CD

D.直線A。與直線。石異面，直線MN一平面8。。隹

3.（2019?全國高考真題（理〉）如圖，點N為正方形A88的中心，AFCD為正三角形，平面ECD_L

平面A6CRM是線段匹的中點，則

A.BM=EN且直線8M,EN是相交直線

B.BMwEN,且直線"M,以V是相交直線

C.=且直線8M,EN是異面直線

D.BM工EN,且直線8M,EN是異面直線

4.（2019?浙江高考真題）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱必1上的點（不

含端點），記直線與直線AC所成角為a,直線總與平面ABC所成角為夕，二面角的平

面角為y,則

A.ft<y,a<YB.p<a,p<y

C.B<a、y<aD.a<R,y<。

5.（2021.全國高考真題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，產(chǎn)為所在棱的中點，M,N為正方體的

頂點.則滿足MN_LOP的是（）

6.（2020?全國高考真題（理））設(shè)有下列四個命題:

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

?。喝艨臻g兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面蜃直線"_L平面a,則6_L/.

則下述命題中所有直命題的序號是.

①PS②Pl八P2③FVP3④7”4

7.（2019.北京高考真題（理））已知/,用是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

?/±w；?m//a.③/J,a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題:

8.（2021?全國高考真題）如圖，在三棱錐A-8C。中，平面A3D_L平面BCO,AB=AD,。為8。的

中點.

(1)證明：OALCDx

(2)若,..OC。是邊長為1的等邊三角形，點E在棱A。上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小為

45°,求三棱錐A-BCQ的體積.

9.(2020.海南高考真題)如圖,四棱錐/M8C力的底面為正方形，底面八BCD.設(shè)平面R4D與平

面PBC的交線為/.

(1)證明：/_L平面POC

(2)己知尸￡>=4。=1,Q為/上的點，Qk&,求P8與平面QCO所成角的正弦值.

10.(2020?全國高考真題(理))如圖，已知三棱柱A8cAi辦G的底面是正三角形，側(cè)面BBCC是矩

形，M,N分別為8C,BiG的中點，P為AM上一點,過BG和P的平面交AB于E,交4C于尸.

(1)證明；AAt//MN,且平面AAMN

(2)設(shè)O為△48iG的中心，若A?！⒚鍱BGF,且40=A5,求直線助￡與平面4AMN所成角的正

弦值.

第二部分模擬訓(xùn)練

一、單選題

1.已知平面。，直線/，加，且有/_La,mug,給出下列命題：①若。〃則/_Lm；②若

〃/6，則a_L力；③若a_L耳，則〃/6；④若/_Lm,則a〃夕.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)〃?、〃為兩條直線，。、尸為兩個平面，則下列命題中假命題是（）

A.若“_L〃，tnl.a?〃1B,則aJ■力

B.若加〃〃，？n_La,〃//￡,則a_L/

C.若根_L〃，mlla?nlIp,則a//

D.若加〃〃，mka?n10,則a"/?

3.在空間，已知直線/及不在/上兩個不重合的點A、B,過直線/做平面。，使得點A、B到平面。的

距離相等，則這樣的平面。的個數(shù)不可能是（）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

4.若a,夕，/是空間中三個不同的平面，aQ￡=/,a\y=mt/。夕=〃，則〃/機是〃〃機的

（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方，得兩塹堵?.邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腦.陽馬居二，

鱉膈居一，不易之率也意即把一長方體沿對角面一分為二，這相同的兩塊叫塹堵，沿塹堵的一頂點與

其相對的面的對角線剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉脯，兩者體積之比為定值2:1,這一結(jié)論今稱劉

徽原理.如圖是一個陽馬的直觀圖，側(cè)棱~4_L底面A8CO,且R4=2,PC=26，AB=A。，則

塹堵的體積為（）

C

A.8B.12C.16D.18

6.在長方體48。。一4與。|。中，AB=i,BC=CC、=2丘,E,尸，G分別為A。，A8,

GA上的點，AE=ED,AF=FB,D,G=2GCI（2>4）,分別記二面角G—M—。，G-EF-C,

G-陽一C的平面角為。，/，/,則（）

A.a>p>yB.p>y>a

C.y>p>aD.與;l有關(guān)

一、填空題

7.在空間中，過4點作平面/的垂線，垂足為8,記作：B=￡（A）.關(guān)于兩個不同的平面a,/?有如

下四個命題：

①若a/啰，則存在點尸滿足工（P）=4（P）.

②若aJL夕,則存在點尸滿足力（P）=%（P）.

③若allp,則不存在點P滿足力（加尸））=加工（P））.

④若對空間任意一點尸，恒有。（方（？）二%（力（P）），則尸.

其中所有真命題的序號是.

8.已知正方體ABCO-AMGA的棱長為4,點尸是AA的中點，點M在側(cè)面AABf內(nèi).若

RM±CP,則MM面積的最小值為.

9.在四棱錐P—A3CO中，~4_L平面ABC。，AP=2,點M是矩形ABCO內(nèi)（含邊界）的動點，

且"=1，AD=3,直線PM與平面ABC。所成的角為二.記點M的軌跡長度為a,則tana=

專題15點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第一部分真題分類

1.（2021?全國高考真題（理））在正方體ABC。-A5CQ中，P為8Q的中點，則直線/歸與所成

的角為（）

A.—7TBn.—兀八C.—冗D—.—冗

2346

【答案】D

5

【解析】

如圖，連接BG，PG，P8,因為AR〃8G，

所以NPBG或其補角為直線用與人口所成的角，

因為BB|_L平面A與GA，所以乂PCJBR,BBcBR=B「

所以PG_L平面次洱，所以PG_LP8,

設(shè)正方體棱長為2,則BJ=2立PG=；D出=無,

sinZPBC,=-^-=1,所以NPBG=1

oCjZ6

故選：D

2.(2021?浙江高考真題)如圖已知正方體ABC。-ABC。，M,N分別是A。，的中點，則()

A.直線AQ與直線。出垂直，直線MN"平面A6C。

B.直線A。與直線平行，直線的V_L平面

C.直線A。與直線相交，直線MN〃平面A8C。

D.直線AO與直線RB異面，直線肋V上平面8。/)￡

【答案】A

【解析】

連A4,在正方體48。。一AMGR中，

M是A。的中點，所以M為AR中點，

又N是RB的中點，所以MN//AB,

MN仁平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以WN〃平面A8CD

因為A8不垂直8￡>,所以MN不垂直3。

則不垂直平面瓦）。片，所以選項B,D不正確；

在正方體4BC。一A8GA中，AD.A.A.D,

A8_L平面所以4B_LA。，

AD}r>AB=A,所以A。，平面ABR,

平面A8R,所以A。，。聲,

且直線AD。乃是異面直線，

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

3.（2019?全國高考真題（理））如圖，點N為正方形ABC。的中心，AECD為正三角形，平面ECD_L

平面ABCRM是線段”的中點，則

A.BM=EN,且直線4M,EN是相交直線

B.BM工EN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,硒是異面直線

D.BM于EN,且直線是異面直線

【答案】B

【解析】如圖所示，作EOJ_CD于0,連接ON,過M作于F.

連BF,,「平面CDEJ■平面A8CO.

EO1CD,EOu平面CDE,/.E0±平面ABCD,MF±平面ABCD,

.?.&W/話與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,易知E0=X/5,ON=1EN=2,

MF=B,BF=),:.BM=出.:.BM手EN,故選B.

22

4.（2019.浙江高考真題）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，尸是棱E4上的點（不

含端點），記直線尸8與直線AC所成角為直線尸8與平面A8C所成角為夕，二面角尸-AC-8的平

面角為7,則

A.0〈y,a<yB.p<a,p<y

C.P<a,y<aD.a<B、y<0

【答案】B

【解析】方法1：如圖G為AC中點，V在底面ABC的投影為。，則尸在底面投影。在線段AO上，過。

作OE垂直AE,易得正〃VG,過P作/YV/AC交出于尸，過。作OH//AC,交BG于H,則

PFF6

a=NBPF,B=NPBD，Y=/PED,則cosa=。=空=?<叱=cosp,即a>/?,

PBPBPBPB

PDPD

tanY=-^＞-^=canp,即＞＞。，綜上所述，答案為B.

EDBD

方法2：由最小角定理/〈a,記V—A3-C的平面角為？'（顯然y'=Y）

由最大角定理P<y'=Y，故選B.

方法3：（特殊位置）取丫-A8C為正四面體，尸為E4中點，易得

cosa=在nsina=叵,singgsiny=辿，故選B.

6633

5.（2021?全國高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的

頂點.則滿足MN_LQP的是（）

【答案】BC

【解析】設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則MN//AC,

故NPOC（或其補角）為異面直線OP,MN所成的角,

在直角三角形OPC,OC=近,CP=\,故tan/POC=9=*,

故MN_LOP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取AT的中點為Q,連接尸Q,OQ,則。QJ.MT,PQ工MN,

由正方體7可得SN_L平面4V而。Qu平面AWT,

故SN工OQ,而SNMN=N,故OQJ■平面SN7M,

又JWu平面SN7M,OQ1MN,而O0C|PQ=Q,

所以M?V_L平面OPQ,而POu平面?！?。，故MN上OP,故B正確.

對于C,如圖（3）,連接80,則BD//MN,由B的判斷可得OPJ.,

故"_LMN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取AO的中點Q,A8的中點K,連接4cPQ,O。,尸KOK,

則AC//MN,

因為DP=PC,極PQHAC,WPQHMN,

所以/QPO或其補角為異面直線PO，MN所成的角，

因為正方體的棱長為2,故PQ=；AC=V5,OQ=JAC^+AQ?=vm=6,

PO=\IPK2+OK2=A/4+T=>/5>QO1<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故尸0,MN不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

6.（2020,全國高考真題（理））設(shè)有下列四個命題；

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

pj：若直線/u平面Q,直線m_L平面a,則加_L/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①PlAP[②Pi八P2③「P2V23④Vf

【答案】①?④

【解析】對于命題P1,可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為a;

若4與4相交，則交點A在平面a內(nèi)，

同理，4與6的交點B也在平面a內(nèi)，

所以，ABua,即gua,命題Pi為真命題；

對于命題〃2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，

命題為假命題；

對于命題心，空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題為假命題；

對于命題P4,若直線機_L平面a,

則m垂直于平面a內(nèi)所有直線，

…直線/u平面a,.??直線m_L直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，P],〃為真命題，Py小為假命題，

PSP4為真命題，Pl八P2為假命題，

「P2Vp3為真命題，3V為真命題.

故答案為：①③④.

7.(2019?北京高考真題(理))己知/,機是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①LLm；②m〃a；③LL。.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

【答案】如果/_La,m〃a,則LLm或如果LLa,/Xm,則機〃a.

【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：

(1)如果/_La,m〃a,則/_Lm.正確；

(2)如果LLa,LLm,則用〃a.正確；

(3)如果/_Lm,"?〃a,則/_La.不正確，有可能/與a斜交、/〃a.

8.(2021?全國高考真題)如圖，在三棱錐A-8CO中，平面A8O_L平面8cO,AB=AD,。為8力的

中點.

(1)證明：OALCD；

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小為

45°,求三棱錐A-8C。的體積.

【答案】(1)詳見解析(2)正

6

【解析】(1)因為AB=AD,0為BD中點，所以AO_LBD

因為平面ABD平面BCD=8Q,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因為CQu平面BCD,所以AO_LCD

⑵作EF±BD于F,作FM_LBC于M,連FM

因為AO_L平面BCD,所以AO_LBD,AO_LCD

所以EF_LBD,EF_LCD,8DcCD=，因此EFJ_平面BCD,即EF_LBC

因為FM_LBC,尸MIM=F，所以BC_L平面EFM,即BC_LME

則Z.EMF為二面角E-BC-D的平面角，NEMF=3

因為BO=OD,OCD為正三角形，所以-BCD為直角三角形

1112

因為=產(chǎn)=_(1+—)=_

2233

2

從而EF=FM=-.\AO=\

3

QAO_L平面BCD,

所以1/='AOSMCD=-xlx—xlx>/3=—

3326

A

9.（2020?海南高考真題）如圖，四棱錐P-A88的底面為正方形，PO_L底面488.設(shè)平面PAD與平

面P8C的交線為/.

（1）證明：/_!_平面尸OC；

（2）已知PAAO=I,。為/上的點，QB=E,求尸8與平面QCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）底.

3

【解析】（1）證明：

在正方形A58中，AD//BC,

因為平面P8C,8Cu平面P8C,

所以AO〃平面PBC,

又因為4）u平面P4。，平面RAOn平面尸BC=/,

所以A0/〃，

因為在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，所以AO_LOC,.」_LOC,

且PO_L平面ABC0,所以

因為CDPD=D

所以/J?平面PDC；

（2）如圖建立空間直角坐標系。一個z,

因為PD=A￡>=1,則有D(O,O,O),C(O,LO),Aa,O,O),P(O,O,l),B(l,l,O),

設(shè)如,0,1),則有力e=(0,1,0),=30,1),P5=(1,1,-1),

因為％近,所以有以+(0一If+(1—0)2=忘=>加=1

設(shè)平面QC。的法向量為〃=(x,y,z),

y=0

則,即《

DQn=0x+z=0

令x=l,則z=—l,所以平面。8的一個法向量為〃=(1,0,T),則

nPB___________1+0+12_x/6

cos<小PB>=

網(wǎng)網(wǎng)Vi2+o2+(-i)2-Vi2+i2+i2應(yīng)xG―3,

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線

ruur、床

與平面所成角的正弦值等于Icos<n,PB+號

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值為好.

3

10.(2020?全國高考真題(理))如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面B8CC是矩

形，M,N分別為BC,BiG的中點，P為AM上一點,過BG和P的平面交AB于七，交4c于尸.

(1)證明：AA\//MN,且平面4AMNJ_￡5iGF；

(2)設(shè)O為△4BiG的中心，若AO〃三面EBiGF,且AOAB,求直線SE與平面4AMN所成角的正

弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

10

【解析】（1）,M,N分別為8C,8c的中點,

又AA〃BB,

：.MN〔M

在中，”為BC中點，則8C_LAA1

又■惻面BBC。為矩形，

..BC工BB、

MNHBB]

MN1BC

8C_L平面AAWN

又?；BC〃BC,且與&0平面48C,8Cu平面48C,

???片?！ㄆ矫鍭5C

又;B。1u平面EBCF,且平面EBC/c平面48。=所

:.BS〃EF

EFHBC

又1.BC_L平面A4MN

"_L平面AAMN

E尸u平面上印。尸

平面E4c7_L平面AAMN

（2）連接NP

,AOH平面EBCF,平面AONPc平面EB￡F=NP

AOf/NP

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面平面ABC=AM,面A'MAc平面人耳。1=A、N

?.ON//AP

故：四邊形OM%是平行四邊形

設(shè)二MC邊長是6加（6>0）

可得：ON—AP、NP-AO-AB-6m

。為的中心，且△A4G邊長為6帆

.1.ON='x6xsin60°=>/5〃7

3

故：ON=AP=廝

EF//BC

.APEP

.y/3_EP

"3^=T

解得：EP=rn

在旦G截取8?=EP=m,故QN=2m

BQ=EP且B|Q〃EP

二?四邊形MQPE是平行四邊形，

B、EHPQ

由（1）B,C,1平面AAMN

故NQPN為同E與平面4AMN所成角

在RdQPN,根據(jù)勾股定理可得：PQ="QM+PN2=J（2m）2+（6m1=2而m

QN2mV10

..sinZ.QPN==—=----

PQ2M機10

.??直線與平面AAMN所成角的正弦值：叵.

10

第二部分模擬訓(xùn)練

一、單選題

1.已知平面。，夕，直線/,加，且有/J_a,給出下列命題：①若a〃4，則/JL機；②若

l//m,則a_16；③若a_L〃，貝|“〃加；④若/_Lm,則a/〃3.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①：因為a〃〃，Zia,所以/，又mu0,所以/_1_陽，故正確；

對于②：因為〃/m，/la,所以又mu0,所以故正確；

對于③：因為ILa,所以/與團可能平行或異面，故錯誤；

對于④：因為/_Lm,/_La,所以m"a或加ua,所以a〃￡不一定成立，故錯誤；

故選：B.

2.設(shè)〃?、〃為兩條直線，。、夕為兩個平面，則下列命題中假命題是（）

A.若m_L〃，/n±a?n±/?,則。_1_齊

B.若機〃〃，機_La,〃//￡,則a_L￡

C.若〃?_!_〃，mJla,nilp,則a///

D.若加〃〃，tnLa,孔工0,則a///?

【答案】c

【解析】A.若根_L〃，mla,〃，￡,相當于兩平面的法向量垂直，兩個平面垂直，A正確；

B.若加〃〃，mLa，則〃_La,又〃“萬，則平面月內(nèi)存在直線c//〃，所以c_La,所以a_L￡,

B正確;

C.若“J_〃，mlla,nlIft,則a,￡可能相交，可能平行，C錯；

D.若mHn,mJLa,n±/3,則a,￡的法向量平行，所以a//〃，D正確.

故選：C.

3.在空間，已知直線/及不在/上兩個不重合的點A、8,過直線/做平面。，使得點4、8到平面。的

距離相等，則這樣的平面。的個數(shù)不可能是（）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

【答案】C

【解析】（1）如圖，當直線AB與/異面時，則只有一種情況；

4B

（2）當直線A8與/平行時，則有無數(shù)種情況，平面。可以繞著/轉(zhuǎn)動;

/

過線段A8的中垂面時，有兩種情況.

故選：C.

4.若夕，/是空間中三個不同的平面，ar}p=l

,?rir=w,八0=n,則〃/加是〃/歷I的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】如圖所示，設(shè)平面為。，平面3CG用為夕，ACQA為產(chǎn)

，直線為/,直線AA為〃"CG為〃.

若〃/加，mu

平面/,lay,

所以〃4，又lu。

,B，=〃，所以〃/〃,所以〃/6〃〃，即充分性成立：

反之，若nHtn,mu

平面a,〃<za,

所以//y,又nu。

,尸ca=/,所以〃/〃，所以〃/機〃〃，即必要性成立.

故〃/加

是山/”的充要條件.

故選：c.

5.劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方，得兩塹堵.邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉嚅.陽馬居二，

鱉犒居一，不易之率也意即把一長方體沿對角面一分為二，這相同的兩塊叫塹堵，沿塹堵的一頂點與

其相對的面的對角線剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉㈱，兩者體積之比為定值2:1,這一結(jié)論今稱劉

徽原理.如圖是一個陽馬的直觀圖，側(cè)棱R4_L底面43co

,且B4=2,PC=26，AB=AD,則簟堵的體積為（）

A.8B.12C.16D.18

【答案】A

【解析】由已知得，陽馬是一個四棱錐，其中側(cè)棱尸A_L底面A8CD,PA_LAC

，且Z4=2,PC=2小,

連接AC,所以底面對角線AC=4,又A8=4),故底面ABC。是邊長為2J5

的正方形，所以陽馬的體積為％=；x(2應(yīng)『x2二號，則設(shè)塹堵的體積為丫，則依題意可知*

2162_

故V=%+1=§+1=8.

故選：A.

6.在長方體ABC。一Age。中，AB=1?BC=CC[=2五,E,F,G分別為4Z),AB,

CR

上的點，AE=ED，AF=FB^D1G=2GCia>4),分別記二面角G—石/一R,G-EF-C,

G—Ffi—C的平面角為夕，產(chǎn),則（）

A.a>p>y

B.p>y>a

C.y>p>a

D.與;l有關(guān)

【答案】B

【解析】過G點作GMJ_CD于M

點，過M作MNJ.M于N點

CE=7CZ）2+D￡2=V3<2V2=BC

由￡>C=；lGG（；lN4）

,可知MN<CE<BC

GM工CD

,MNtEF,;.EF1GN

GM

p=4GNM

~MN

GML^ABCD,過M作M尸_L4B于點P，

GM

tany=-----

BC

,.也>些=

MNBC

/.p>y=45,

設(shè)。為R—EF—C,則。=a+6<90,

又p>45,，av45

故選：B

二、填空題

7.在空間中，過A點作平面/的垂線，垂足為5,記作：8=力（4）.關(guān)于兩個不同的平面a,夕有如

下四個命題：

①若Q//￡,則存在點P滿足。（P）=￡（P）.

②若則存在點;＞滿足。（P）=.［（P）.

③若alip,則不存在點P滿足力（乃（尸））=為（0（P））.

其中所有真命題的序號是.

【答案】②?④

【解析】①設(shè)耳=）（P）￡a，2=%（P）e￡,因為a%,所以aQQ=0,則力（P）工方（尸），故

錯誤；

②設(shè)《=力仍）￡。，8=%（巧￡氏若當點Pe'ac6時，滿足力仍）=力儼），故正確;

③設(shè)6=力（2）￡火巴=加?）盟，則以（方（巧）￡。，力（。（2））￡夕，.因為。華，所以

一萬=0,則工（%（P））。%（力（尸）），故正確；

④設(shè)6=力（尸）￡。，6=%（P）￡6則2=。（方（尸））=。（2），。2=%（。①））二%（外，因為

恒有力（方仍））=%（力（2）），則儲，口重合與一點Q，則尸66。為矩形，所以aJ?夕，故正確；

故答案為：②③④

8.已知正方體A8CO-44GA的棱長為4,點P是A4t的點M在側(cè)面44,8乃內(nèi).若RMLCP,

則LBCM面的最小值為

【答案】延

5

【解析】如圖所示，取A8的中點N,AO的中點Q,連接A。，QN,B】N,BR,由正方體的性

質(zhì)可得Q,N,R四點共面.

由于CP在平面ABC。內(nèi)的射影為AC,QN工AC,所以QN_LCP.

由于。在平面AOAA內(nèi)的射影為。pD'QtDP,所以〃Q_LOP,由QN_L",D"CP,

DQcQN=Q,得CQ_L平面

要使CP1RM,則點M必須在平面D、QNBi內(nèi).

又點M在平面A4MB內(nèi)，所以點M在兩個平面的交線上，即

當BM_L51N時，3M最小，此時8M===空？

2石5

則二BCM面積的最小值為,x4x拽=九5

255

故答案為：感

5

9.在四棱錐尸-ABC。中，PA_L平面ABC。，AP=2,點〃是矩形4BCO內(nèi)（含邊界）的動點,

且A8=l，AD=3,直線PM與平面43co所成的角為2.記點〃的軌跡長度為。，則tana=

4

【答案】5/3

【解析】如圖1，因為PA_L平面48CQ,所以NPM4即為直線PM與平面A8CO所成的角,

7t

所以/PMA二.因為”=2'所以A“=2,

所以如圖2點M位于矩形ABCD內(nèi)的以點4為圓心，2為半徑的圓上,

則點M的軌跡為圓弧E/L

連接A尸，則A尸=2.因為AB=1，AZ)=3,

所以/AFB=NFAE=%,

6

則弧EF的長度。=二乂2=二"，所以tana--

63

故答案為：B

專題16空間向量與立體幾何

第一部分真題分類

1.(2021?全國高考真題)在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA.=\,點尸滿足5P=43。+〃仍「其中

何0/，//G[0,1],則()

A.當2=1時，△A87的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點尸，使得4尸，8戶

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得_L平面48/

2.(2021?天津高考真題)如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A5GA中，E為棱BC的中點，尸為

棱。。的中點.

(I)求證：〃平面AEG;

(II)求直線4c與平面AEG所成角的正弦值.

(ill)求二面角A-AG-E的正弦值.

3.（2021.全國高考真題）在四棱錐。-，488中，底面48。是正方形，若

AD=2,QD=QA=氏QC=3.

（1）證明：平面平面A8CO；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

4.（2021?北京高考真題）已知正方體ABC。-AqCA，點E為AA中點，直線4G交平面CDE于點尸.

（1）證明：點F為片0的中點;

⑵若點〃為棱9上一點，且二面角一的余弦值為手’求籍的值.

6.（2021?全國高考真題（理））已知直三棱柱ABC-A8G中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,

E,產(chǎn)分別為4c和CQ的中點,。為棱A媯上的點.BFA.AA

（1）證明：BF1DE；

(2)當耳。為何值時，面BMGC與面。尸E所成的二面角的正弦值最小?

7.(2021.全國高考真題(理))如圖，四棱錐尸的底面是矩形，?DJ_底面A5CO,

PD=DC=1,M為8c的中點，且P81AA/.

(1)求BC；

(2)求二面角A-產(chǎn)M-8的正弦值.

8.(2020?天津高考真題)如圖，在三棱柱AAC'-A心C；中，。。；_1平面人以；,4?！?0。=6。=2,

0=3,點D,E分別在棱AA和棱CG上，且AD=1CE=2,M為棱A片的中點.

(I)求證：QM1B\D；

(II)求二面角B-8遂-￡＞的正弦值；

(III)求直線A3與平面所成角的正弦值.

9.(2020?北京高考真題)如圖，在正方體ABS-A與GR中，E為B片的中點.

（I）求證：BCJ/平面ARE；

（ID求直線AA與平面4。盧所成角的正弦值.

第二部分模擬訓(xùn)練

一、單選題

1.在平行六面體ABC?！?4GR中，M為AG與巴R的交點，若A4=，AD=b,AA(=c,

則與相等的向量是（）

1一1『

A.—a+—b+c

22

C.Fj+c

2.如圖，四邊形43co和A。。。均為長方形，且AB=AQ=2,AD=4,它們所在的平面互相垂直,

M,瓦尸分別為產(chǎn)Q,A用8C的中點，則異面直線EM與AF所成角的余弦宜是（）

3.在四面體ABC。中，AB=6,BC=3,B￡>=4,若NABD與NABC互余,則6A（8C+8O）的

最大值為（）

A.20B.30C.40D.50

4.已知正方體ABCD—ABCA的棱長為1,點E是底面ABCO上的動點，則（?！暌弧?）?。4的最

大值為（）

A.—B.1C.0D.76

2

5.如圖所示，在直三棱柱45C-A用C中，AC1BC,且8C=3,AC=4,CG=3,點尸在棱

AA,上，且三棱錐A—PBC的體積為4,則直線BG與平面P8C所成角的正弦值等于（）

6.如圖，在正方體ABC力一人qGA中，AB=hM、N分別是AB、8C的中點，平面片4。分

別與RM、D\N交于P、。兩點，則S△與

B告

A-萼

L

c.一

5

二、填空題

7.在三棱錐尸一ABC中，PA=PB=PC=2,A45C是正三角形，E為PC中息,有以下四個結(jié)論:

①若PC工BE,則AA6c的面積為百；

②若PC上BE,且三棱錐P—AAC的四個頂點都在球。的球面上，則球。的體積為遍開：

③若以_LBE,則三棱錐P—ABC的體積為其E；

3

④若以J_8E,且三棱錐尸—ABC的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為12%.

其中結(jié)論正確的序號為.

8.如圖，棱長為1的正方體ABOASGA中，尸為線段4B上的動點（不含端點），有下列結(jié)論:

①平面AQiP_L平面AiAP；

②多面體A—COP的體積為定值;

JT

③直線。砂與8C所成的角可能為彳；

3

④AAP。能是鈍角三角形.

其中結(jié)論正確的序號是__________（填上所有序號）.

9.正四棱柱A8CO-A4aA中，AB=4,外=2百.若M是側(cè)面BCQ片內(nèi)的動點，且

AM1.MC,則AM與平面BCC.B,所成角的正切值的最大值為.

三、解答題

10.如圖，在四棱錐P—A3CQ中，已知R4J_平面A8CO,且四邊形A8CO為直角梯形，

TT

ZABC=ZBAD=-,A￡>=2,AB=BC=l.

2

(1)當四棱錐尸—A8CD的體積為1時，求異面直線AC與〃。所成角的大小;

(2)求證：COJ_平面P4C.

11.如圖1,矩形ABCO中，6AB=BC，將矩形ABC。折起，使點A與點。重合，折痕為EF，連

接A/、CE,以A尸和EF為折痕，將四邊形A8EE折起，使點5落在線段召C上，將△CDE向上折

起，使平面DEC_L平面尸EC,如圖2.

(1)證明：平面4運_L平面EFC；

(2)連接跳、BD，求銳二面角4一3七一。的正弦值.

12.如圖，在四棱柱ABCO-ASGA中，明，底面438，AD-LAB^AO//8C,且

AB=AD=BC=1,AA,=DC=>f2.

（1）求證：平面BDD.1平面CDDG；

（2）求二面角C-BR-G所成角的余弦值,

專題16空間向量與立體幾何

第一部分真題分類

1.（2021?全國高考真題）在正三棱柱ABC-AMG中，==1,點p滿足=,其中

Ae[0J],//e[0,l],則（）

A.當2=1時，AAB產(chǎn)的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當；1=：時，有且僅有一個點兒使得A/，3P

D.當〃時，有且僅有一個點?，使得平面從4〃

【答案】BD

易知，點尸在矩形BCC石內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當％=1時，BP=BC+juBB}=BC+pCC],即此時Pc線段△明尸周長不是定值，故A錯

誤；

對于B,當〃=1時，BP=ABC+BB=BBi+ABiC],故此時尸點軌跡為線段B?,而且CJ/BC,〃平

面A8C,則有。到平面A3c的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當2時，BP=；BC+〃陰，取BC,8c中點分別為Q,H,則B尸=8。+〃。〃，所以P

點軌跡為線段Q",不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，A與。，1，P(0,0，〃)，

則4P=(一杏BP=fo,-l/,AP8P=〃(〃—1)=0,所以〃=0或〃=1.故”,Q均滿足，

2\2；x7

\z

故C錯誤；

對于D,當寸，BP=/BC+；BB「取陰，CG中點為M,N.BP=BM+AMN，所以P點軌跡為

百1\1

一

V3一

線段MM設(shè)因為A與0,0,所以麗=A8所以

-加---2,-

22-2

7-

311,

+-Q=0=%=-鼻，此時尸與N重合，故D正確.

故選：BD.

2.(2021.天津高考真題)如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABIGR中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為

棱