湖南省衡陽市衡陽縣第四中學2024-2025學年高三上學期1月期末數(shù)學試題（含答案）

好教育云平臺期末備考金卷第=page2*2-13頁（共=sectionPages2*24頁）好教育云平臺期末備考金卷第=page2*24頁（共=sectionPages2*24頁）衡陽縣四中2025屆高三第一學期期末考試數(shù)學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．設集合A=x|log2A．A=B B．B?A C．A?B D．A∩B=?2．已知復數(shù)z=3+4i4?3A．2 B．1 C．5 D．53．“b≤1”是“函數(shù)f(x)=bx+2,x>0,log2(x+2)+b,?2<x≤0是在A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知平面向量a,b滿足a=1,?1,b=1,A．π6 B．π4 C．π35．已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0A．4 B．92 C．5 D．6．將甲、乙等6位身高各不相同的同學平均分為兩組，甲、乙在這六位同學中身高（從高到低）分別排在第4、3位，則分成的兩組中甲不是所在組最矮的且乙不是所在組最高的分組方式共有（

）種.A．4 B．5 C．6 D．87．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為A．32π3 B．43π C．8．已知MN是圓O:x2+y2=4的一條弦，∠MON=60°，P是MN的中點.當弦MN在圓O上運動時，直線l:y=x?4上總存在兩點A,B，使得A．0,42?23C．0,42+23二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)fx=AsinA．ω=2B．fx的圖象關于點?C．將函數(shù)y=2cos2x+π3的圖象向右平移D．若方程fx=m在0,π210．若數(shù)列Fn滿足F1=F2=1，A．aB．aC．aD．若數(shù)列an的前n項和為30，則n=90或11．如圖，若正方體ABCD?EFGH的棱長為1，點M是正方體的側面ADHE上的一個動點（含邊界），P是棱CG上靠近G點的三等分點，則下列結論正確的有（

）

A．沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為34B．若PM⊥BH，點M的運動軌跡是線段C．若PM=133，則點M在側面D．當點M與點D重合時，三棱錐B?MEP的體積最大第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)fx=1213．關于x的不等式mx2?x+1<0的解集為xa<x<b，則14．已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>c>0的左?右焦點分別為F1,F2，若以F2為圓心，b?c為半徑作圓F四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinC?(1)求角A的大小；(2)若2sinAsinB=1+cosC，△ABC外接圓半徑為2，∠BAC的角平分線與16．（15分）已知數(shù)列an滿足2an+1?2an=(1)求an(2)記數(shù)列1Sn的前n項和為Tn17．（15分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜邊為AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=2

(1)求證：PD⊥平面PAB(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在點M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為55?若存在，求出18．（17分）已知fx(1)若gx=2?2x?f(2)當x∈?∞,π時，討論fx零點個數(shù).

19．（17分）已知橢圓C的焦點為F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線PB交直線x=4于點T，連接AT交橢圓C于點Q，直線AP，AQ的斜率分別為kAP，k（i）求證：kAP（ii）設直線PQ:x=ty+n，證明：直線PQ過定點.

數(shù)學答案1．【答案】C【解析】∵A=x|log2∴A錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤．故選：C.2．【答案】B【解析】z=故選：B3．【答案】B【解析】依題意，函數(shù)f(x)是在(?2,+∞由于y=log2x+2+b在(?2,0]上單調遞增，所以所以b>0且1+b≤2，即0<b≤1．b≤1時不能得到0<b≤1，0<b≤1時一定滿足b≤1，所以“b≤1”是“函數(shù)f(x)=bx+2,x>0,log2故選：B.4．【答案】D【解析】由a=(1,?1)，得|a|=所以(a+2b所以a?因此，向量a與向量a+2b的夾角為故選：D.5．【答案】B【解析】由題意可知F1F2=2c=4，則點Q2,2在橢圓C上，則4a解得a2=8,b設P(x,y)，則x2則PQ=?y當且僅當y=?22時，?y+即PQ?PF故選：B6．【答案】B【解析】將6人身高從高到低依次標號為：1、2、3、4、5、6法一：用間接法求解：此事件的反面是“甲是本組的最矮的或乙是本組最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一組：只有124、356一種排法；②甲、乙在同一組：以上命題不可能同時成立，注意到剩下四人任取一人與甲乙同組均符合題意，所以由C41=4而平均分組共有C63?法二：用直接法求解：①甲、乙在同一組：容易發(fā)現(xiàn)這是不可能的；②甲、乙不在同一組：那么1、2中至少有一位與乙一組，5、6中至少有一位與甲一組，取該事件的反面，即：1、2均不與乙一組且5、6均不與甲一組，4人均分兩組共有C42?故選：B.7．【答案】A【解析】解法1：如圖，設正三棱柱ABC?A1B1C記△ABC和△A1B1C1外接圓的圓心分別為由正弦定理得：r=32sin60°所以R2=故選:A.解法2：設正三棱柱ABC?A1因正三棱柱的高為23，由對稱性知其外接球球心必在高線O故R>3,此時故選:A.8．【答案】D【解析】由題意可知：圓O:x2+y2因為∠MON=60°，則OP=R可知點P的軌跡是以O0,0為圓心，半徑r=3的圓C:設AB的中點為E，因為∠APB為鈍角，可知圓C在以AB為直徑的圓E內，可得OE<因為O0,0到直線l:x?y?4=0的距離d=可知OE≥d=2可得AB>2所以AB>4所以AB的取值范圍是42故選：D.9．【答案】AB【解析】由函數(shù)圖象可得A=2，由14?2π所以fx=2sin2x+φ，又函數(shù)過點所以π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2k∴fx對于B：當x=?2π3所以fx的圖象關于點?對于C：將函數(shù)y=2cos2x+πy=2cos對于D：當x∈0,π2令π3≤2x+π3≤π2令π2≤2x+π3≤4π3又f0=2sinπ3故方程fx=m在0,π2上有且只有一個實數(shù)根時，則故選：AB.10．【答案】BC【解析】對于A，因為an=(?1)FnFn+1所以F3=F2+所以F4F5對于B，因為Fn所以Fn的各項為奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶?，所以FnF因為an=(?1)FnFn+1，所以a所以a2024=1，a2025對于C，因為an各項為?1,1,1,?1,1,1,?1,1,1,?，周期為3，所以a對于D，因為an各項為?1,1,1,?1,1,1,?1,1,1,?，周期為3，所以a1+a2若數(shù)列數(shù)列an的前n項和為30，即a1+a2+?a故選：BC.11．【答案】ABD【解析】對于A，將正方體的下面和右面展開可得如下圖形，連接AP，

則AP=AD2對于B，建系如圖，設M(x,0,z),P(0,1,2

所以MP=(?x,1,23?z)，又M是側面ADHE上的一個動點（含邊界），所以M的運動軌跡是線段，為DA靠近D點的三等分點和AE靠近E點三等分點的連線段，對；對于C，由B選項過程可得|MP|=x所以M在側面ADHE內運動路徑是以(0,0,23)而點(0,0,23)到A(1,0,0)所以要保持|MP|=133，則點所以點M在側面ADHE內運動路徑長度為0，錯；對于D，設平面BEP的法向量為m=(a,b,c)，則BE所以m?BE=?b+c=0m?所以點M到平面BEP的距離等于|ME因為點M在平面ADHE內，所以0≤x,z≤1，當x=z=0，即M與D點重合時，三棱錐M?BEP的高最大，又△BEP的面積為定值，所以M與D重合時，三棱錐的體積最大，對.故選：ABD12．【答案】?1【解析】因為fx=1得到f'?1=?故答案為：?1.13．【答案】4【解析】因為關于x的不等式mx2?x+1<0所以m>0且方程mx2?x+1=0則a+b=1因為m>0，所以a>0,b>0，所以a+b=ab，則1a所以b=1+1a?1=則1a?1當且僅當1a?1=4a?1所以1a?1+4故答案為：4.14．【答案】35/【解析】如下圖所示：易知PT=又PT的最小值為32a?c可得PF根據焦半徑公式可得PF2的最小值為a?c，即可知所以b?c2=14a?c整理可得b=a+c2，即可得5c2+2ac?3a2故答案為：315．【解析】（1）因為sinC?所以(c?3即a2=b因為A∈(0,π)，所以（2）∵2sin所以cos(A?B)=1，從而A=B=所以C=2因為△ABC外接圓半徑為R=2，所以△ABC外接圓直徑為2R=4，由正弦定理得asin所以a=4因為∠BAC的角平分線為AD，所以∠CAD=15°，所以∠CDA=45°在△ACD中，由正弦定理得ADsinC=AC16．【解析】（1）因為2an+1?2所以an是公差為a又a2=a所以an（2）Sn1S所以T===11因為n∈N?，所以17．【解析】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD,∴AB⊥PD，又∵PD⊥PA且AB∩PA=A，PA、AB?平面PAB,∴PD⊥平面PAB；（2）取AD中點為O，連接PO、CO，又∵PD=PA,∴PO⊥AD，則AO=PO=2，∵AC=CD=22,AD=4,∴CD⊥CA,CO⊥AD，則以O為坐標原點，分別以OC,OA,OP所在的直線分別為x，∴P∴PB設n=（x∴由n?PD=0n?PC=0設PB與平面PCD所成角的角為θ，∴（3）假設在棱PB上存在點M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為55由（2）可知，∴AP=∴設m=x2∴由n?AM=0則m=易知平面ABCD的一個法向量為OP=設平面ADM與平面ABCD的夾角為α.∴cos∴λ=12

18．【解析】（1）由題意，gx則g'由于0<x<π2，所以cosx∈0,1，則ex進而g'x<0，所以g又g0=2>0，根據零點存在性定理可知：函數(shù)gx在0,（2）fx=ex?sinx?x當x≤?π2時，因為所以f'x=此時fx單調遞減，f所以fx在?當?π2<x≤則?'所以f'x在?π故當?π2<x<0時，f'x<0，則當0<x≤π2時，f'x>0因此，當?π2<x≤π2當π2≤x<π時，?'x又f'π=?故?x0∈π2,π，使得f當x∈x0,π時，x∈x而fπ2=所以當π2≤x<x0時，當x∈x0,綜上